线性代数教学论文发表期刊

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线性代数教学中线性相关性的一种解释和理解［摘要］线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，特别是被表示向量组的线性相关性与被表示向量组中向量的个数以及表示向量组中向量的个数之间的关系的有关结论，对学生来说是很难理解的，在教学中，我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”，在教学上可收到较好的效果。［关键词］线性相关线性无关多余没有多余线性相关性在线性代数课程中是一个重要内容，对学生来说是非常困难的内容，许多学生学完线性代数后还没有弄懂，有的学生学到这一内容时觉得很难学，就丧失信心。认为整个线性代数都很难学，甚至放弃学习。线性相关性是线性代数课程中教学的难点，它与后面线性方程组的解的理论有密切的联系，对于这一难点的处理是非常重要的。根据不同层次的学生采用不同的教学要求。使得学生正确的理解线性相关性的定义,定理。大多数经济类的本科线性代数课程的教材在叙述向量组的极大无关组和向量组的秩的理论时,由于这一章节的理论性比较强，一般都是从定理到定理,从证明到证明,例子较少。在教学中,在讲完线性相关的定义和有关定理后，在介绍向量的极大无关组之前，用”多余”来解释线性相关性,可使后面的问题简单化,直观化。我们以龚德恩等主编的《经济数学基础》的第二分册线性代数的教材为例进行说明。首先来看线性组合的概念。对于向量组α1,α2,…,αs和向量β,如果存在s个数k1,k2,…,ks使得β=k1α1+k2α2+…+ksαs则称向量β是向量组α1,α2,…,αs的线性组合。换句话说向量β相对于向量组α1,α2,…,αs是“多余”的向量。关于线性相关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果存在不全为零的数k1,k2,…,ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0称向量组α1,α2,…,αs线性相关。因k1,k2,…,ks不全为零,不妨假设α1≠0则α1=-k2k1α2-…-ksk1αs。因此向量组α1,α2,…,αs线性相关,看成是向量组α1,α2,…,αs中至少有一个“多余”的向量。关于线性无关概念,对于向量组α1,α2,…,αs,如果仅当k1,k2,…,ks都等于零时,才能使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立。称向量组α1,α2,…,αs线性无关。由于α1,α2,…,αs线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余向量线性表示，因此向量组α1,α2,…,αs线性无关看成是α1,α2,…,αs中“没有多余”的向量。一些结论也可作相应的理解和解释。如:“如果一个向量组中的部分组线性相关,则整个向量组也线性相关”，解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也有多余的向量。“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”，解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后也没有多余的向量。下面两个定理是学生们在学习向量组的线性相关性的过程中感到最难理解和掌握的。定理1设向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs可由向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt线性表示，且s＞t，则α1,α2,…,αs线性相关。在课堂教学中我们是作如下解释的，向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs称为“被表示向量组”，向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt称为“表示向量组”。条件s＞t，看成是有”多余”的向量。即“被表示向量组（Ⅰ）α1,α2,…,αs相对于表示向量组（Ⅱ）β1,β2,…,βt有多余的向量，则α1,α2,…,αs线性相关,这样解释便于学生理解和记忆。推论1如果一个向量组α1,α2,…,αs线性无关，并且可由向量组β1,β2,…,βt线性表示。则s≤t。推论1可解释为：如果“被表示向量组α1,α2,…,αs线性无关，则被表示的向量组α1,α2,…,αs相对于表示向量组β1,β2,…,βt没有多余的向量，即s≤t。推论2两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。两个向量组都线性无关，且彼此可相互线性表示，两个向量组彼此相对于另一个向量组都没有多余的向量，得两个向量组所含的向量的个数相同。下面再举一些例子进行说明。例1设向量组α1,α2,…,αs线性无关,且可由向量组β1,β2,…,βt线性表示,则必有()。

《线性代数》教学的一些思考中华硕博网 2009年02月13日 点击数： 1 来源：中国论文下载中心中华硕博网核心提示: [摘要]《线性代数》是工科高校中颇为重要的一门课，也是较抽象难学的一门课程。本文从理论与实践两方面以作者的体会与熟悉，提出《线性代数》教学抽象概念的[摘要]《线性代数》是工科高校中颇为重要的一门课，也是较抽象难学的一门课程。本文从理论与实践两方面以作者的体会与熟悉，提出《线性代数》教学抽象概念的讲解应注重的几点问题，阐释了如何进行《线性代数》课程的课堂教学，并且能收到良好的教学效果。[关键词]线性代数数学概念教学方法《线性代数》是高等院校理、工类专业重要的数学基础课。它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已渗透到自然科学的其它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域。不仅如此，这门课程对提高学生的数学素养、练习与提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力都有重要作用。但由于“线性代数”本身的特点，对其内容学生感到比较抽象，要深入理解与把握代数的基本概念与基本理论学生感到相当吃力、难以理解。因此，为培养与提高学生应用数学知识、解决实际问题的能力，进一步研究这门课程的教学思想和方法对提高教学效果甚为重要。一、加强基本概念的教与学线性代数这一抽象的数学理论和方法体系是由一系列基本概念构成的。行列式、矩阵、逆矩阵、初等矩阵、转置、线性表示、线性相关、特征值与特征向量等抽象概念根植于客观的现实世界，有着深刻的实际背景，即是比较直接抽象的产物。高等数学与初等数学在含义与思维模式上的变化必然会在教学中有所反映。线性代数作为中学代数的继续与提高，与其有着很大不同，这不仅表现在内容上，更重要的是表现在研究的观点和方法上。在研究过程中一再体现由具体事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具体事物去的辨证观点和严格的逻辑推理。新生刚进入大学，其思维方式很难从初等数学的那种直观、简洁的方法上升到线性代数抽象复杂的方式，故思维方式在短期内很难达到线性代数的要求。大部分同学习惯于传统的公式，用公式套题，不习惯于理解定理的实质，用一些已知的定理、性质及结论来推理、解题等。在概念的教学中，教师要研究概念的熟悉过程的特点和规律性，根据学生的熟悉能力发展的规律来选择适当的教学方式。因此，在概念教学中应注重以下几点。1。合理借助概念的直观性尽管抽象性是《线性代数》这门课的突出特点，直观性教学同样可应用到这门课的教学上，且在教学中占有重要地位。欧拉认为：“数学这门科学，需要观察，也需要实验，模型和图形的广泛应用就是这样的例子。”直观有助于概念的引入和形成。如介绍向量的概念，尽管抽象，但它具有几何直观背景，在二维空间、三维空间中，向量都是有向线段，由此教学中可从向量的几何定义出发讲解抽象到现有形式的过程，降低学生抽象思考的难度。2。充分利用概念的实际背景和学生的经验教师在教学中应充分利用学生已有的数学现实和生活经验，引导和启发学生进行概念发现和创造。如在讲解n阶行列式，首先从学生已把握的二元、三元一次方程组的求解入手，然后求出方程组的解由二阶、三阶行列式表示，分析二阶、三阶行列式的特点。二阶行列式，不难看出：它含有两项，若不考虑符号，每项均是来自不同行不同列的两个元素的乘积，那么会提出这样的问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律？同样的，三阶行列式若不考虑符号，它含有3！=6项，每项也是来自不同行不同列的三个元素的乘积，并且包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合。为解决n阶行列式，又引出排列的概念、性质，介绍奇偶排列后，又回到我们提出的问题上，可以发现，行标按自然排列，列标排列为奇排列时，该项为负；列标排列为偶排列时，该项为正（问题得到解决）。经过这一过程，学生对n阶行列式已有接触和了解，此时可给出n阶行列式定义，这样一来，学生就轻易理解和把握n阶行列式的性质了。3。注重概念体系的建立R。斯根普指出：“个别的概念一定要融入与其它概念合成的概念结构中才有效用。”数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行（列）满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。二、学生要把握科学的学习方法学习重在理解，学生必须在理解、领悟其深刻含义的基础上记忆定义、定理及一些结论，才能收到理想的效果。线性代数的最大特点就是：知识体系是一环扣一环，环环相连的。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，教师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。三、加强对学生解题的基本练习一定量的典型练习题能有助于学生深化对所学知识的理解，培养学生一题多解的能力，解题后反思，及时总结解题思路和方法。如证实抽象矩阵的可逆，就有很多方法，一是用定义。二是用秩的有关命题。三是借助于特征值理论。四是证实矩阵的行列式不为零等。四、培养与激发学生的学习爱好爱好是最好的老师。教师一方面在传授知识，另一方面要鼓励学生有针对性的设计他们的目标，这样，他们才肯自觉钻研，乐于钻研。同时，课堂教学中可选择近年来研究生入学考题及一些与实际联系较紧的题目讲解或练习，以激发学生的学习欲望，并给他们带来成功的满足。此外，还可以适当介绍一些有趣的应用典范或教学史来激发学生的学习热情，提高他们的学习爱好。五、发挥多媒体优势，增强教学效果多媒体教学成为当前高校教学模式的重要手段。教师只有把传统教学手段、教师自己的特色和多媒体辅助教学三者有机结合起来，才能真正发挥多媒体课堂教学的效果。总之，教师在教学中所做的一切，其目的应在于既教会他们有用的知识，又教会学生有益的思考方式及良好的思维习惯。参考文献：[1]张向阳．线性代数教学中的几点体会．山西财经大学学报（高等教育版），2006。[2]于朝霞．线性代数与空间解析几何．北京：中国科学技术出版社，2003。

线性代数论文发表

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家， 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz ， 1693 年） 。 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为 0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论， 数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的。 (1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵，或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。 矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。 由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

如何学习线性代数论文

《线性代数》课程是高校理工科专业、经管专业开设的重要基础课之一，课程本身具有很强的抽象性与逻辑性，使得很多学生在学习的过程中很难接受理解和掌握。因此，教学内容、教学方法是《线性代数》这门课程的重点问题，如何根据这门课程的特点，找到理论内容的衔接关系，将零散的知识点进行逻辑关联，形象生动的表达给学生，激发学生对这门课程的学习兴趣，加强学生对课程内容的理解，提高学生的学习效率是非常重要的。学好《线性代数》可以培养学生良好的逻辑思维能力、分析解决实际问题的能力。因此，本文就如何学好这门课程，提出以下几点心得。

1、上好第一节课

上好第一节课很重要，好的开端是成功的一半，对这门课程感不感兴趣，开篇很重要。在第一节课，我们要介绍《线性代数》这门课程的历史，通过科学家的奇闻异事，引入课程的基本计算单元：行列式、矩阵和向量，引起学生对这门课程的强烈的好奇心。讲一讲《线性代数》在数学、物理学和技术科学中的重要地位，说一说在计算机高度发达的今天，大数据时代的今天，《线性代数》在图像识别、密码学和大数据处理上处的主要地位和作用，提高学生对这门课程的强烈的求知欲望。

2、引入MOOC

MOOC的概念是2008年的一项在线课程实践中首次提出。接下来几年各国学者对其进行了深入研究，2013年国内知名高校逐渐加入MOOC的建设行列中，很多高校的课程是以MOOC的模式设计和开设课程，《线性代数》这门课程也在其中，基于MOOC的混合式教学模式有自己的课堂优势：它可以将传统的课堂讲授与在线的网络学习很好地融合在一起，发挥两者的优势，强强联合。在这种混合式教学过程中强调了老师的主导作用、学生的主体地位，教师讲授内容学生可以时刻在线观看、反复回看，可以使学生在最短的时间内通过混合式学习这种方式对课程讲授的内容理解、吸收和掌握，从而消除学生因为没听懂一点而导致后续断片，进而讨厌学习这门课程的现象，提高了学生学习的积极性和主动性。也避免了传统教学中教师课堂灌输，没有办法根据学生的个体差异，因材施教而抹杀了一部分同学学习的积极性。有了MOOC还可以改变对学生的考核方式，采取灵活多样的考核方式，全面考核学生在学习过程中的能力，过程性评价学生的学习情况：在线课堂测试的成绩、MOOC作业的完成情况，自评互评得分，都可以作为学生最终考核的一部分。

3、翻转课堂

翻转课堂这个概念第一次出现是由美国科罗拉多州的林地公园高中的两位化学老师提出来的，他们录制了上课的教学PPT和同步讲解教学内容的视频，上传到网络给缺课的学生自我学习。翻转课堂跟传统的教学模式不同，不再是课上教师讲解，课后学生自己复习、消化吸收，而是变成课前学生先自我学习，找到不理解的问题，讲课过程中学生提出疑问，然后教师讲解答疑，之后学生根据网络上的PPT和教学视频结合上课过程中教师的答疑来巩固学习的内容。这种新的教学方式充分体现了学生的主体地位，教师以辅导的形式出现在整个教学过程中，更能提高学生的自我学习积极性和学习效率。此外，翻转课堂的实现需要很多优秀的视频资源，这就要求教师花费大量的时间和精力来做好课程内容的设计，对教师来说这是非常有挑战性的。

4、结束语

本文首先讨论了教师如何通过讲好第一节线性代数课程，使学生了解这门课程的发展史，这门课程在现代的社会科各个领域的重要应用，激发学生学习这门课程的兴趣，提高学习积极性，了解学好这门课程的重要性。然后，线性代数是一门数学基础课程，包含的内容很抽象，学习难度很大，但是应用很广，要求学生要很好的掌握相关知识，才能做到学以致用，因此，有必要把传统的教学模式和现代的教学手段相结合：MOOC作为一种全新的学习形式被引入到线性代数教学中，可以避免学生上课的盲目性，提高听课效率，提升了学生的学习效率，另外，也是对学习内容的补充，可以让学生学到更多课堂上学不到的新知识；翻转课堂改变了传统的教学模式，学生可以课前通过视频自主学习，课中与教师互动探讨疑惑，使学生为主教师为辅全新的尝试和变革，这种新的教学模式在一定程度上提高了学生的学习效率，激发了学生的学习兴趣，给课程的学习注入新的活力和生命力，提高线性代数教学效果。总之，我们不断地更新教学方法和手段，整合资源，利用好网络资源的给学生更合适的教学方式。

线性代数论文发表笔记

把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个元素的全排列 (简称排列) ．n 个不同元素的所有排列的种数, 通常用 表示. 且有:

先规定各元素之间有一个 标准次序 . 当某一对元素的先后次数与标准次序不同时, 就说它构成 1 个 逆序 . 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的 逆序数 . 逆序数为奇 (偶) 数的排列叫做 奇 (偶) 排列 .

定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 证明?

推论 奇 (偶) 排列对换成标准排列的兑换次数为奇 (偶) 数. 证明? (标准排列逆序数为 0 , 是偶数列. )

为给出 n 阶行列式的定义, 先研究三界行列式的结构. 三阶行列式定义为:

等式右边的每一项都是三个元素的乘积, 这三个元素 不同行不同列 . 因此, 每一项除正负号以外都可以写成 的形式. 即每一项元素的第一个下标(行标)排为标准次序 123 , 第二个下标(列标)排为 为 1, 2, 3 三个数的某个排列.

各项的正负号与列标的排列对照: 带正号的三项列标排列为 123, 231, 312 均为偶排列; 带负号的三项列标排列为 132, 213, 321 均为奇排列. 故:

其中 t 为排列 的逆序数.

定义 设有 个数, 排成 n 行 n 列的数表

则 个形如 的项的和 称为 n 阶行列式, 记作

简记作 , 其中数 为行列式 D 的 元.

主对角线以下 (上) 的元素都为 0 的行列式叫做上 (下) 三角形行列式; 特别主对角线一下和以上的元素都为 0 的行列式叫做对角行列式.

下三角行列式 ​证明?

记:

则行列式 称为行列式 的 转置行列式 .

性质 1 行列式与它的转置行列式相等.

​证明?

性质 1 说明了行列式中的行与列具有同等的地位.

性质 2 对换行列式的两行 (列) , 行列式变号。

​证明?

表示第 i 行, 表示第 i 列, 对换 i, j 两行记作 , 对换 i, j 两列记作 .

推论 如果行列式中有两行 (列) 完全相同, 则此行列式等于零.

性质 3 行列式中某一行 (列) 中所有元素都乘同一数 k, 等于用数 k 乘此行列式. 性质 4 行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列式等于零.

性质 5 若行列式中的某一行 (列) 的元素都是两数之和: 则: ​证明?

性质 6 把行列式的某一行 (列) 的各元素乘同一个数然后加到另一行 (列) 对应的元素上去, 行列式不变.

​证明?

在 n 阶行列式中, 把 元 所在的第 i 行和第 j 列划去后, 留下来的 阶行列式叫做 元 的余子式, 记作 .

叫做 元 的代数余子式.

引理 一个 n 阶行列式, 如果其中第 i 行所有元素除 元 外都为零, 那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积, 即

证明?

定理 行列式等于它的任一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即

或

证明?

推论 行列式某一行 (列) 的元素与另一行 (列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即

或

前面的章节已经学习了大量关于矩阵的知识，现在我们来集中探讨一下方阵的性质，其中行列式和特征值是重中之重，本章来单独讨论行列式。

行列式是每个方阵都具有的值，我们将矩阵 的行列式记作 。行列式将很多矩阵信息压缩到这一个数值中，例如矩阵的不可逆（奇异矩阵）与行列式的值为 等价（也就是说行列式可以直接判断矩阵是否可逆）。

我们先从行列式最主要的三个性质开始讲起，因为这三个性质定义了行列式，然后再拓展到其他性质上。

（1）单位矩阵的行列式为 。

例如二维单位矩阵：

（2）如果发生行交换，那么行列式的正负号会改变。

将性质（1）和性质（2）结合在一起，就能得到所有置换矩阵 的行列式。

例如

通过该性质还可以得出，置换矩阵 具有奇偶性，也就是说，一个矩阵不可能经过奇数次置换得到和偶数次置换相同的方阵。

性质（3）有两个，分别为

（3）a.

（3）b.

为什么说由以上三个性质可以定义行列式，因为行列式其余的性质皆可由上述三个性质推导而出，以下是行列式其余的性质及它们的推导过程。

（4）如果矩阵中的两行相等，则它的行列式为 。

矩阵中的两行相等，意味着发生两行交换时，行列式不变，根据性质（2）：“如果发生行交换，那么行列式的正负号会改变。”，那么行列式只能为 。

（5）行列式不因消元操作而改变。

证明：

（6）若矩阵中有一行是 ，那么行列式为

矩阵中有一行是0，可以看作 ，那么有

（7）对于三角阵的行列式，主元的乘积等于行列式。例如在四维中，设上三角矩阵 ，则 ， 维同理。

对于三角矩阵，我们可以通过不断地消元最终得到对角矩阵，例如，通过消元法可以得到

那么我们再利用性质（3）a.来证明对角矩阵的行列式就是对角线元素相乘

（8） ，则矩阵 为奇异矩阵。相反，若 ，则矩阵 可逆。

因为如果A可逆，化简后能得到矩阵各列都含非0主元，得到三角矩阵，再利用性质（7）得到其行列式。

（9）

这意味着 ，这也可以作为本性质的证明，也可以用对角阵 和 ，但是我们必须一步步进行消元，整个证明过程需要是非耐心，最终证明该性质对任意矩阵成立。

同时本性质还能推出

这说明如果矩阵进行平方，那么它的行列式也会平方。

此外，本性质还能推出

因为对一个 矩阵，将矩阵翻倍意味着各列向量都翻倍，一共翻倍 次，因此行列式变成了 倍。

（10）

证明：

根据 ，有

由于 和 都是三角矩阵，因此它们的行列式都是对角线的乘积，因此

所以最后我们得出

对于行列式的计算，我们先来推导二维行列式的求解过程。

观察二维行列式的求解过程，我们发现，行列式的求解取决于那些分解后非零行列式的和，即各行各列均有非零元素的行列式。因此我们按照这个规律，继续推导三维行列式，我们这次只写出非 项，有

可以发现规律，因为各行各列均需有非零元素，所以对于 的矩阵，其行列式分解后的非零项有 个。

同理，我们根据 阶行列式可以分解为 个非零行列式来推到出高维行列式的一般求解公式，即

例 求

如果检查该行列式分解出的24项会发现其中有22项为 ，剩下的非零行列式为

因此 。

接下来引入代数余子式的概念，它的作用是把 阶行列式化简为 阶行列式。

先来看 行列式的情况，上一节我们得到了

那么我们以行列式第一行的三个元素来合并同类项，可以得到

合并同类项后，我们又可以把新的三个项看作是三个矩阵的行列式

由此我们定义 的代数余子式：将原行列式的第 行与第 列抹去后得到的 阶行列式记为 ， 为偶数时，该项前的符号为 ， 为奇数时，该项前的符号为 ，规律如下

例 的代数余子式为

因此，将矩阵 沿第一行展开的公式为

例

求 、 、 、

发现规律： ，因此可知

会发现，随着维度增加，行列式的值呈现 ，以这样 个值循环，因此周期为 。

至此，我们掌握了三种方法来求一个方阵的行列式：

我们已经接触到很多逆矩阵了，但是一直没有给出逆矩阵的公式，你可以通过Gauss-Jordan消元法来求矩阵的逆，不过现在学习了行列式，可以直接求逆矩阵。

我们已经知道二阶逆矩阵的公式为：

那么我们能否通过二阶公式来推导至更高维度？

通过观察公式我们发现：

因此可以得出，逆矩阵公式为

等式右侧矩阵外的因子，其分母是矩阵的行列式，而矩阵为 代数余子式矩阵（Cofactor Matrix） 的转置 ，称为 伴随矩阵（Adjoint Matrix） 。因此 矩阵 的逆就是矩阵行列式的倒数与其伴随矩阵的乘积。

那么为什么是这个公式呢？我们来验证一下，假设等式成立，首先将等式两边都乘上矩阵 得到

因此，若逆矩阵公式成立其实就是判断 是否与 相等。

根据矩阵相乘，我们观察发现，矩阵 的第一行第一列元素等于矩阵 第一行和矩阵 第一列进行点积，计算可得

也就是说，它们的点积其实就是矩阵 的行列式计算公式，而 对角线上的所有元素都是如此，因此我们可以得到，它们相乘后的矩阵，其对角线处全部都是行列式。那么非对角元素呢？以第二行第一列为例，相乘我们发现，各个代数余子式的形式不变，但是与代数余子式相乘的变为了矩阵 第二行第 列元素。因此这个形式相当于用矩阵 第二行的元素替代第一行的元素得到的矩阵，前两行的元素相同，因此按照行列式性质（4），其值为 。

因此最后我们得到

对于可逆矩阵 ，方程 必有解 ，将逆矩阵的公式代入，那么

克莱姆法则（Cramer's Rule）则是从另一个角度来看待这个公式，即 的分量 为

其中，矩阵 为用向量 替换矩阵 的第 列所得到的新矩阵。例如

矩阵 的行列式的值从第j列用代数余子式进行展开计算，正好是伴随矩阵 的第j行，与向量 点积的结果。

但是相较于高斯消元法，克莱姆法则计算方程的解的效率较低，它仅仅只是提供了一个代数表达式，让人们能代数运算而不是写算法。

在二维中，行列式的几何意义其实就是矩阵所对应的线性变换所改变由空间中两基向量构成的矩形的面积的比例，对应到三维就是对应空间中三个基向量对应的平行六面体的体积的比例。

线性代数论文发表笔记模板

把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个元素的全排列 (简称排列) ．n 个不同元素的所有排列的种数, 通常用 表示. 且有:

先规定各元素之间有一个 标准次序 . 当某一对元素的先后次数与标准次序不同时, 就说它构成 1 个 逆序 . 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的 逆序数 . 逆序数为奇 (偶) 数的排列叫做 奇 (偶) 排列 .

定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 证明?

推论 奇 (偶) 排列对换成标准排列的兑换次数为奇 (偶) 数. 证明? (标准排列逆序数为 0 , 是偶数列. )

为给出 n 阶行列式的定义, 先研究三界行列式的结构. 三阶行列式定义为:

等式右边的每一项都是三个元素的乘积, 这三个元素 不同行不同列 . 因此, 每一项除正负号以外都可以写成 的形式. 即每一项元素的第一个下标(行标)排为标准次序 123 , 第二个下标(列标)排为 为 1, 2, 3 三个数的某个排列.

各项的正负号与列标的排列对照: 带正号的三项列标排列为 123, 231, 312 均为偶排列; 带负号的三项列标排列为 132, 213, 321 均为奇排列. 故:

其中 t 为排列 的逆序数.

定义 设有 个数, 排成 n 行 n 列的数表

则 个形如 的项的和 称为 n 阶行列式, 记作

简记作 , 其中数 为行列式 D 的 元.

主对角线以下 (上) 的元素都为 0 的行列式叫做上 (下) 三角形行列式; 特别主对角线一下和以上的元素都为 0 的行列式叫做对角行列式.

下三角行列式 ​证明?

记:

则行列式 称为行列式 的 转置行列式 .

性质 1 行列式与它的转置行列式相等.

​证明?

性质 1 说明了行列式中的行与列具有同等的地位.

性质 2 对换行列式的两行 (列) , 行列式变号。

​证明?

表示第 i 行, 表示第 i 列, 对换 i, j 两行记作 , 对换 i, j 两列记作 .

推论 如果行列式中有两行 (列) 完全相同, 则此行列式等于零.

性质 3 行列式中某一行 (列) 中所有元素都乘同一数 k, 等于用数 k 乘此行列式. 性质 4 行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列式等于零.

性质 5 若行列式中的某一行 (列) 的元素都是两数之和: 则: ​证明?

性质 6 把行列式的某一行 (列) 的各元素乘同一个数然后加到另一行 (列) 对应的元素上去, 行列式不变.

​证明?

在 n 阶行列式中, 把 元 所在的第 i 行和第 j 列划去后, 留下来的 阶行列式叫做 元 的余子式, 记作 .

叫做 元 的代数余子式.

引理 一个 n 阶行列式, 如果其中第 i 行所有元素除 元 外都为零, 那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积, 即

证明?

定理 行列式等于它的任一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即

或

证明?

推论 行列式某一行 (列) 的元素与另一行 (列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即

或

前面的章节已经学习了大量关于矩阵的知识，现在我们来集中探讨一下方阵的性质，其中行列式和特征值是重中之重，本章来单独讨论行列式。

行列式是每个方阵都具有的值，我们将矩阵 的行列式记作 。行列式将很多矩阵信息压缩到这一个数值中，例如矩阵的不可逆（奇异矩阵）与行列式的值为 等价（也就是说行列式可以直接判断矩阵是否可逆）。

我们先从行列式最主要的三个性质开始讲起，因为这三个性质定义了行列式，然后再拓展到其他性质上。

（1）单位矩阵的行列式为 。

例如二维单位矩阵：

（2）如果发生行交换，那么行列式的正负号会改变。

将性质（1）和性质（2）结合在一起，就能得到所有置换矩阵 的行列式。

例如

通过该性质还可以得出，置换矩阵 具有奇偶性，也就是说，一个矩阵不可能经过奇数次置换得到和偶数次置换相同的方阵。

性质（3）有两个，分别为

（3）a.

（3）b.

为什么说由以上三个性质可以定义行列式，因为行列式其余的性质皆可由上述三个性质推导而出，以下是行列式其余的性质及它们的推导过程。

（4）如果矩阵中的两行相等，则它的行列式为 。

矩阵中的两行相等，意味着发生两行交换时，行列式不变，根据性质（2）：“如果发生行交换，那么行列式的正负号会改变。”，那么行列式只能为 。

（5）行列式不因消元操作而改变。

证明：

（6）若矩阵中有一行是 ，那么行列式为

矩阵中有一行是0，可以看作 ，那么有

（7）对于三角阵的行列式，主元的乘积等于行列式。例如在四维中，设上三角矩阵 ，则 ， 维同理。

对于三角矩阵，我们可以通过不断地消元最终得到对角矩阵，例如，通过消元法可以得到

那么我们再利用性质（3）a.来证明对角矩阵的行列式就是对角线元素相乘

（8） ，则矩阵 为奇异矩阵。相反，若 ，则矩阵 可逆。

因为如果A可逆，化简后能得到矩阵各列都含非0主元，得到三角矩阵，再利用性质（7）得到其行列式。

（9）

这意味着 ，这也可以作为本性质的证明，也可以用对角阵 和 ，但是我们必须一步步进行消元，整个证明过程需要是非耐心，最终证明该性质对任意矩阵成立。

同时本性质还能推出

这说明如果矩阵进行平方，那么它的行列式也会平方。

此外，本性质还能推出

因为对一个 矩阵，将矩阵翻倍意味着各列向量都翻倍，一共翻倍 次，因此行列式变成了 倍。

（10）

证明：

根据 ，有

由于 和 都是三角矩阵，因此它们的行列式都是对角线的乘积，因此

所以最后我们得出

对于行列式的计算，我们先来推导二维行列式的求解过程。

观察二维行列式的求解过程，我们发现，行列式的求解取决于那些分解后非零行列式的和，即各行各列均有非零元素的行列式。因此我们按照这个规律，继续推导三维行列式，我们这次只写出非 项，有

可以发现规律，因为各行各列均需有非零元素，所以对于 的矩阵，其行列式分解后的非零项有 个。

同理，我们根据 阶行列式可以分解为 个非零行列式来推到出高维行列式的一般求解公式，即

例 求

如果检查该行列式分解出的24项会发现其中有22项为 ，剩下的非零行列式为

因此 。

接下来引入代数余子式的概念，它的作用是把 阶行列式化简为 阶行列式。

先来看 行列式的情况，上一节我们得到了

那么我们以行列式第一行的三个元素来合并同类项，可以得到

合并同类项后，我们又可以把新的三个项看作是三个矩阵的行列式

由此我们定义 的代数余子式：将原行列式的第 行与第 列抹去后得到的 阶行列式记为 ， 为偶数时，该项前的符号为 ， 为奇数时，该项前的符号为 ，规律如下

例 的代数余子式为

因此，将矩阵 沿第一行展开的公式为

例

求 、 、 、

发现规律： ，因此可知

会发现，随着维度增加，行列式的值呈现 ，以这样 个值循环，因此周期为 。

至此，我们掌握了三种方法来求一个方阵的行列式：

我们已经接触到很多逆矩阵了，但是一直没有给出逆矩阵的公式，你可以通过Gauss-Jordan消元法来求矩阵的逆，不过现在学习了行列式，可以直接求逆矩阵。

我们已经知道二阶逆矩阵的公式为：

那么我们能否通过二阶公式来推导至更高维度？

通过观察公式我们发现：

因此可以得出，逆矩阵公式为

等式右侧矩阵外的因子，其分母是矩阵的行列式，而矩阵为 代数余子式矩阵（Cofactor Matrix） 的转置 ，称为 伴随矩阵（Adjoint Matrix） 。因此 矩阵 的逆就是矩阵行列式的倒数与其伴随矩阵的乘积。

那么为什么是这个公式呢？我们来验证一下，假设等式成立，首先将等式两边都乘上矩阵 得到

因此，若逆矩阵公式成立其实就是判断 是否与 相等。

根据矩阵相乘，我们观察发现，矩阵 的第一行第一列元素等于矩阵 第一行和矩阵 第一列进行点积，计算可得

也就是说，它们的点积其实就是矩阵 的行列式计算公式，而 对角线上的所有元素都是如此，因此我们可以得到，它们相乘后的矩阵，其对角线处全部都是行列式。那么非对角元素呢？以第二行第一列为例，相乘我们发现，各个代数余子式的形式不变，但是与代数余子式相乘的变为了矩阵 第二行第 列元素。因此这个形式相当于用矩阵 第二行的元素替代第一行的元素得到的矩阵，前两行的元素相同，因此按照行列式性质（4），其值为 。

因此最后我们得到

对于可逆矩阵 ，方程 必有解 ，将逆矩阵的公式代入，那么

克莱姆法则（Cramer's Rule）则是从另一个角度来看待这个公式，即 的分量 为

其中，矩阵 为用向量 替换矩阵 的第 列所得到的新矩阵。例如

矩阵 的行列式的值从第j列用代数余子式进行展开计算，正好是伴随矩阵 的第j行，与向量 点积的结果。

但是相较于高斯消元法，克莱姆法则计算方程的解的效率较低，它仅仅只是提供了一个代数表达式，让人们能代数运算而不是写算法。

在二维中，行列式的几何意义其实就是矩阵所对应的线性变换所改变由空间中两基向量构成的矩形的面积的比例，对应到三维就是对应空间中三个基向量对应的平行六面体的体积的比例。

发表线性论文

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。 线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易. 一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。 线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。 二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数 上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家， 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz ， 1693 年） 。 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为 0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论， 数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的。 (1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵，或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。 矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。 由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。