拉格朗日法研究流体运动论文

拉格朗日法研究流体运动论文

拉格朗日力学，分析力学中的一种，由拉格朗日在1788年建立，是对经典力学的一种的新的数学表述。经典力学，最初的表述形式由牛顿建立，它着重分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系，又称为矢量力学。拉格朗日引入了广义坐标的概念，运用达朗贝尔原理，得到和牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。但拉格朗日方程具有更普遍的意义，适用范围更广泛。并且，选取恰当的广义坐标，可以使拉格朗日方程的求解大大简化。目录1简介2相关人物简介成就3坐标1简介拉格朗日力学是分析力学中的一种，于1788年由约瑟夫·拉格朗日所创立。拉格朗日力学是对经典力学的一种的新的理论表述，着重于数学解析的方法，是分析力学的重要组成部分。力学系统由一组坐标来描述。比如一个质点的运动（在笛卡尔坐拉格朗日力学标系中）由x，y，z三个坐标来描述。一般的，N个质点组成的力学系统由3N个坐标来描述。力学系统中常常存在着各种约束，使得这3N个坐标并不都是独立的。力学系统的独立坐标的个数称之为自由度。对于N个质点组成的力学系统，若存在m个约束，则系统的自由度为S = 3N − m哈密尔顿量H可以通过对拉格朗日量进行勒让德变换得到。哈密尔顿量是经典力学的另一种表述哈密尔顿力学的基础。拉格朗日量可以视为定义在所有广义坐标可能值组成的组态空间的切丛上的函数，而哈密尔顿量是相对应的余切丛上的函数。哈密尔顿量在量子力学中到处出现（参看哈密尔顿量 (量子力学)）。1948年, 费曼发明了路径积分表述，将最小作用原理扩展到量子力学。在该表述中，粒子穿过所有可能的始态和终态的所有路径；特定终态的概率是所有可能导向它的轨迹的概率之和。在经典力学的范围，路径积分表述简单的退化为哈密尔顿原理。拉格朗日力学2相关人物简介拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑拉格朗日力学兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。拉格朗日1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。1783年，拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院"，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。成就拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使拉格朗日力学数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。拉格朗日力学在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。拉格朗日力学他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。3坐标在矢量力学中，约束的存在体现于作用于系统的约束力。约束力引入额外拉格朗日力学的未知量，通常使问题变得更为复杂。但若能选取适当的s个完全满足约束条件的独立坐标，则约束不再出现在问题中，只需要求解关于s个未知变量的方程，使问题得以大大简化。这样的s个坐标不再局限于各质点的位置坐标，而可以是任何能描述系统的几何参量，因此称为“广义坐标”。假设格朗日力学的一个基本假设是：具有n个自由度的系统，其运动状态完全由n个广义坐标及它们的微商（广义速度）决定。或者说，力学系统的运动状态由一个广义坐标和广义速度的函数描述：这个函数称为拉格朗日函数或拉格朗日量。

刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动（拉格朗日陀螺）的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。拉格朗日法是描述流体运动的两种方法之一，又称随体法，跟踪法。 是研究流体各个质点的运动参数（位置坐标、速度、加速度等）随时间的变化规律。综合所有流体质点运动参数的变化，便得到了整个流体的运动规律。 在研究波动问题时，常用拉格朗日法。拉格朗日法中，三维空间中单个流体质点的位置坐标是时间的函数，其中，下标表示第个流体质点。通过对时间求导数，可以得到每一个流体质点的运动速度和加速度。流场中有无穷多流体质点，这种离散表达式就有无穷多个，应用时很不方便。因此，拉格朗日法一般用流体质点的初始坐标来标识不同的流体质点，不同的流体质点有不同的初始坐标，称为拉格朗日变量。所以第个流体质点在时刻的位置坐标就可以表示流体质点运动规律的运动方程。对于给定的，此式即表示初始坐标为的流体质点的运动轨迹。若给定时间，上式为时刻流体质点的位置

刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动（拉格朗日陀螺）的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。

拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期。当对数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学的主流是力学；天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。下面就拉格朗日的主要贡献分别评述。数学数学分析的开拓者牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派。英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法，进展缓慢；欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法（当时包括代数方法），进展很快，当时叫分析学（analysis）。拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者，在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献。变分法这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果。他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”（Recherches sur la méthode demaximis et minimies）[2]是他研究变分法的序幕； 1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”（Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies）[3]是用分析方法建立变分法的代表作。发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”（themethod of variation）。欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”（the calculus of variation）。变分法这个分支才真正建立起来。拉格朗日方法是对积分进行极值化，函数y=y(x)待定。他不像欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲线y(x)的变分。J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J。他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展。1770年以后，拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，已发展成为变分法的标准内容。微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果。他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程。他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价。在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”（Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles）[22]中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G.达布（Darboux）等人完成的。常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行。拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”（Essai sur le problémedes trois corps）[8]中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解。他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立。拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”（Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order）[21]和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”（Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires）[23]中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法。他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系。后来又进一步证明了解线性方程Pp+Qq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)与解等价，而解(6)式又与解常微分方程组等价。(5)式至今仍称为拉格朗日方程。有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组。但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自己在1772年的结果。现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法。因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服。方程论18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域。拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上。他在代数方程解法中有历史性贡献。在长篇论文“关于方程的代数解法的思考”（Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421）中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程。拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数（是有理函数）。他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功。尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解（有理）函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子。因而拉格朗日是群论的先驱。他的思想为后来的.阿贝尔（Abel）和E.伽罗瓦（Galois）采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法。设p为方程，这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数。他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围。数论拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”（Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés）[14]和送交都灵《论丛》的“一个算术问题的解”（Solution d'un problème d'arithmetique）[15]中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)不定问题解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)[16]中得到更一般的费马方程 (B也为整数)(10)的解。还讨论了更广泛的二元二次整系数方程 ，(11)并解决了整数解问题。拉格朗日还在1772年的“一个算术定理的证明”（De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，—201）中，把欧拉40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。在1773年发表的“质数的一个新定理的证明”（Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers）[17]中，证明了著名的定理：n是质数的充要条件为(n-1)！+1能被n整除。拉格朗日不仅有大量成果，还在方法上有创新。如在证明(9)式研究”（Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，—795）中，研究(11)式解时采用的方法和结果，是二次型理论的基本文献。函数和无穷级数同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广。他还试图用代数建立微积分的基础。在他的《解析函数论……》（《文集》Ⅸ）中，书名上加的小标题“含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术”，表明了他的观点。由于回避了极限和级数收敛性问题，当然就不可能建立真正的级数理论和函数论，但是他们的一些处理方法和结果仍然有用，他们的观点也在发展。拉格朗日就在《解析函数论……》中，第一次得到微分中值定理（书中第六章）f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)后面并用它推导出泰勒（Taylor）级数，还给出余项Rn的具体表达式（第二十章）Rn就是著名的拉格朗日余项形式。他还着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的。虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零。表明他已注意到收敛问题。他同欧拉、达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论，虽未解决，但为以后三角级数理论的建立打下了基础。拉格朗日内插公式最后要提一下他在《师范学校数学基础教程》中，提出了著名的拉格朗日内插公式。直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用。另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用。其他除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意。尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分（《文集》Ⅰ，）。但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入。这可能是他晚年研究工作少的原因。他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎（数学）矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它……”（《文集》XⅢ368）这说出了他和其他同事们的心情。事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展。 分析力学的创立者他在所著《分析力学》(1788)中，吸收并发展了欧拉、达朗贝尔等人的研究成果，应用数学分析解决质点和质点系(包括刚体、流体)的力学问题。他在总结静力学的各种原理，包括他1764年建立的虚速度原理的基础上提出分析静力学的一般原理，即虚功原理，并同达朗伯原理结合而得到动力学普遍方程。对于有约束的力学系统，他采用适当的变换，引入广义坐标，得到一般的运动方程，即第一类和第二类拉格朗日方程。全书用数学分析形式写成，没有一幅图，故名《分析力学》。书中还给出多自由度系统平衡位置附近微振动的基本理论，但对振动特征方程有重根情况说得不确切，这个错误直到19世纪中叶才分别由K．维尔斯特拉斯(1858)和O．H．索莫夫(1859)作了改正。拉格朗日继欧拉之后研究过理想流体运动方程，并最先提出速度势和流函数的慨念，成为流体无旋运动理论的基础。他在《分析力学》中从动力学普遍方程导出的流体运动方程，着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程。这种方法现在称为拉格朗日方法，以区别着眼于空间点的欧拉方法，但实际上这种方法欧拉也应用过。拉格朗日研究过重刚体定点转动并对刚体的惯性椭球是旋转椭球且重心在对称轴上的情况作过详细的分析。这种情况称为重刚体的拉格朗日情况。这一研究在他生前未发表，后经J．比奈整理，收在《分折力学》第二版(1818)的附录中。在此以前，泊松在1811年曾独立得到同样的结果。拉格朗日在1811年还导得弹性薄板的平衡方程。 天体力学的奠基者天体力学是在牛顿发表万有引力定律（1687）时诞生的，很快成为天文学的主流。它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的。主要奠基者为欧拉，.克莱罗（Clairaut）、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯。最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学。拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待。虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献。首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程。其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”（Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes）[13]中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价。另外在一篇有关三体问题的获奖文章中[8]，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶。在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解[8]，即拉格朗日平动解。其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形。他的这个理论结果在100多年后得到证实。1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星[后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯（Achilles），编号588]，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形。到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名。有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近，名为脱罗央（Trojan）群。1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名。至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的。1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明。至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群（三体共线情况）处附近的天体，因为这三个特解不稳定。另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法（《文集》Ⅴ，—414），并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理（参见《世界著名科学家传记·天文学家Ⅰ》中“拉普拉斯”条）。此外，拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用。在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题。他的月球运动理论研究论文多次获奖。1763年完成的“月球天平动研究”（Recherches sur laLibration de la lune）[6]获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好。后来在1780年完成的论文解决得更好（参见《文集》Ⅴ，—123）。获1772年度奖的就是著名的三体问题论文[8]，也是针对月球运动研究写出的。获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”（Sur l’equation séculaire de la lune）[9]，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动。关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖。1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文[10，11，12，]其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响。1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇[13]。获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究……”（Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…）[7]，其中第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响，结果比达朗贝尔的更好。拉格朗日从事的天体力学课题还有很多，如在柏林时期的前半部分，还研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法（《文集》Ⅳ，—532），所得结果成为轨道计算的基础。另外他还得到了一种力学模型——两个不动中心问题的解，这是欧拉已讨论过的，又称为欧拉问题。是拉格朗日推广到存在离心力的情况，故后来又称为拉格朗日问题（《文集》Ⅱ，—121）。这些模型仍在应用。有人用作人造卫星运动的近似力学模型。此外，他在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础。总的看来，拉格朗日在天体力学的五个奠基者中，所做的历史性贡献仅次于拉普拉斯。他创立的“分析力学”对以后天体力学的发展有深远的影响。

拉格朗日插值法研究论文

三种插值方法的比较如下：

（1）拉格朗日插值评述

拉格朗日插值法无谓就是利用已知的个插值节点及其所在节点处的函数值，在每个插值节点处构造相应的插值基函数，再根据特定的线性关系将这个插值基函数进行线性组合，即得拉格朗日插值函数。

用几何的语言来描述这种方法就是将有限个点通过一条光滑的且与高度契合的次数不超过的函数来表示，其方法简洁明了，但是拉格朗日插值多项式在实际应用的过程中也暴露了本身存在的问题。如果对数据点的个数进行增加，那么原来我们所得的拉格朗日插值函数就毫无用处，必须从基函数构造重新开始整个过程。

在实际应用中节点的增减是特别普遍常见的，面临这种情况拉格朗日插值法就难免会面临较大的局限性，不仅会浪费时间，也会造成先前劳动力的浪费，这样就会极大的抑制大机器的生产，更加体现不出函数插值法的优化作用。

（2）牛顿插值评述

牛顿插值很好地解决了上述拉格朗日插值中的局限，即当增加节点时已得成果无法被利用的问题。牛顿插值法仅需在已有的多项式的基础上添加一项即可，这就很好的解决了上述拉格朗日插值方法所遇到的当增加节点时已得成果全部作废无法被继续使用的问题。

在日常实际问题解决过程中，利用有限个插值节点所构造的插值函数可能并不能达到我们所要求的插值精度。对于这个问题如果我们仅从增加插值节点个数这一方面来入手很可能会起到相反的作用。

（3）埃尔米特插值评述

通过对前面拉格朗日插值法和牛顿插值法的分析，我们可以很明显的观察到这两种插值方法的构造仅仅与插值节点以及插值节点处的函数值有关，并没有涉及到其它约束条件。但是如果插值条件不仅含有对节点处的函数值的约束，而且还增加对节点处的导数的限制，解决这一类问题的方法就要利用埃尔米特插值多项式。

对比上述拉格朗日插值方法和牛顿插值方法，埃尔米特插值具有较高的精度可以应用的领域更加宽泛，更加适应于实际问题的解决，所以在现实生活中也就凸现出高度的灵活性和适应性。

约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日生平拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。1783年，拉格朗日的故乡建立了都灵科学院，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义)，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。拉格朗日的科学成就拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。

拉格朗日插值法公式算法

体育运动中的流体力学研究论文

试论体育科研中的创造性思维论述了影响体育科研中的创造性思维的各种因素,并对如何通过建立正确的思维观念来提高体育科研的创造性进行探讨。关键词：体育科研创造性思维创造性思维是指突破人类已有知识与经验的局限,开拓认识新领域的一种思维,它与一般思维的不同之处在于具有新颖性、独创性和突破性。体育科学研究涉及的学科门类众多,是一项十分复杂的系统性工作。要提高对体育运动的本质及其规律的认识,在现有的体育运动技术和理论上有所突破或者创新,就必须以正确的方法去观察问题,用创造性的思维去突破已有的认知水平。“申奥”成功标志着我国的体育事业进入一个快速发展的崭新时期,无论是竞技体育还是群众体育都面临前所未有的发展新机遇,如何抓住这一有利时机提高我国的竞技运动水平、增强人民的本质,是摆在体育科研工作者面前的一个重大课题。创造性思维无疑是完成这一课题的重要途径和有力武器。1、制约创造性思维的因素分析、思维定式在一般情况下,人们处理问题时每采取一次特定思路,下一次很可能还会采取相同的思路,多次采用后形成思维定式。思维定式制约了人们思考问题的深度和广度,使人们不能发现解决问题的新途径、新方法,但一旦冲破了思维定式的制约,往往会产生具有创造性的成果[1]。例如,当运动员出现技术错误时,一般教练员往往会考虑如何采用针对性的训练手段来改正它,而原国家队男排队员汪嘉伟出现扣排球起跳后前冲太大的错误,导致经常触网犯规时,教练员却没有强迫他改正动作,而是与他一起分析缺点的实质,充分利用其中的合理成分变正网起跳为沿网起跳,使前冲力变为横向空中位移的动力,由此创新出了“空间差”扣球技术,汪嘉伟本人也成为著名的“网上飞人”。、迷信权威对权威的迷信会束缚人们的思想,有时甚至会使人们对简单的事实都不敢承认,更不用说有所创新。殊不知,由于人的认知水平受各种主、客观因素的局限,即使是权威泰斗有时也难免作出错误的判断。例如,短跑理论界曾一度认为短跑后蹬时“应该充分蹬伸髋、膝、踝三个关节”,而现代的短跑“屈蹬”技术已经证明,在途中跑阶段,膝关节的适宜蹬伸角度为150°—160°左右,过分强调快跑时蹬直大腿可能延缓支撑时间不利与发展步频,极限平伸膝关节(膝角达165°以上)会增大大腿后群肌肉拉伤的可能。过分崇拜名家学者,对他们的理论或者观点深信不疑,会扼杀人们的智慧,阻碍创新能力的发展,使人们不能接受新思想、创造新事物。2、开拓创造性思维的思路、思维方式新颖、独特体育运动发展到今天,各项运动技术日趋完善,而运动技术上的许多重大进步,源于教练员或者运动员运用新颖、独特的思维方式增加了思维的创造性,从而矫正了“常理”的误导并开拓了认识的新领域。例如,在50年代时,苏联体育界曾提出跳远运动员踏跳时应意想“把踏跳板踏入地下”,同时用力蹬伸起跳腿以提高成绩的主张,这符合当时人们认为蹬地越有力,跑得越快、跳得越高的观点。但实践证明,这一主张不能达到预期的效果,因为要靠踏跳腿瞬间的蹬伸,发挥出巨大的爆发力是困难的,而且,着意于踏跳,神经的指挥重点偏重于踏跳动作本身,以致降低助跑速度。后来联邦德国的体育科研人员运用逆向思维方法,尝试采用与苏联运动员相反的跳远踏跳技术起跳,跳远运动员在起跳时起跳腿放松踏跳,摆动腿有力地向前上方摆动,同时意想“大步跑向空中”,取得了优异的成绩,由此也引起了跳高、三级跳远起跳技术的明显改进。、挑战传统,勇于实践许多人有一个习惯就是顺应传统观念。它会禁锢人们的观念,甚至导致创造性思维的成果得不到认可。克服传统观念的不良影响,勇于实践才能将创造性思维转发为创造力,创造出新生事物。例如在60年代前[3],跳水界普遍认为首先接触水的面积越小,水花也越小。我国著名跳水运动员杜度有一次由于左手腕受伤,跳水时只好用右手腕抓住左手腕以减轻疼痛,结果发现入水时水花反而小了。于是他开始对传统的入水技术理论产生了怀疑,并有意识的采用翻手腕的入水动作———后来被称为“翻掌压水花”的入水技术。由此,杜度成为当时唯一掌握此项技术的运动员,独树一帜,并取得了优异的成绩。3、结束语创造性思维是思维的一种智力品质,在体育科研中不但必要而且重要。现代科学技术的飞速发展和快速更新,为发展体育运动提供了良好的契机,同时也要求体育科研工作者必须善于进行创造性思维,才能研究出具有创造性的成果,更好的完成发展我国体育事业的一系列新的课题。

体育运动中的力学知识 想必在同学之间一定有很多热爱体育运动的吧，可就在你们挥洒汗水的时候，有没有想到过于物理的联系呢？其实在体育运动和体育训练中的各种运动器械上，都存在着运动者的举、压、推、拉、跑、蹬、踢、打、击、投、弹跳等力的作用。与力有关的这些运动都包含着丰富而深奥的物理知识，如果运动者懂得这些知识并加以运用，必会提高自己的运动成绩和竞技水平。特别是在提倡素质教育、重视学生能力教学的今天，如果我们学生能在课外积极地了解有关的这方面知识，必会提高我们参入运动的积极性。因为这样不仅可以锻炼身体的目的，还可以使我们感到学有所用、学有所得，便于巩固学到的科学文化知识，既然这样又何乐而不为呢。下面我们来谈谈物理知识在体育运动中的一些应用。一、物理中的“速度” 物理学里，速度是用来反映物体运动快慢的物理量。运动场上的各种运动几乎都有一个速度快慢的问题。所以各种球类运动中的“快攻战术”就是利用速度的定义，快速奔跑、快速移动、摆脱对手、寻求空挡，达到完成“快攻”的目的。所谓“快攻”，就是运动员在运动过程中增大运动速度，即进行加速运动。根据牛顿第二定律，运动员进行加速运动，必须用力；如果运动员在运动过程中匀速运动，则不需要用力。在激烈的比赛中，为了达到目的，某一方队员常常利用这方面的知识来实施战术，俩队员相互配合，采取一队员在运动过程中不断加速，给对方比赛队员施加心理压力，迫使对方队员也加速，消耗对方队员的体力或造成对方队员犯规；而另一队员则进行匀速运动，保存体力，达到最后胜利的目的。例如，2000悉尼奥运会上，我国优秀运动员王丽萍就是靠队友的配合而获得20公理竞走冠军的。二、物理中的“摩擦力”    物理学里，摩擦力的大小跟压力的大小和接触面的粗糙程度有关。任何物体在运动过程中都要受到摩擦力的作用，参入各种运动的运动者和运动器械也会受到摩擦力的作用。    有些运动项目，为了提高运动者的成绩，需要增大摩擦力。例如，在百米赛跑中，运动者必须穿着底上带有鞋钉的跑鞋；还有体操运动员和举重运动员在比赛之前，总是要在手上抹些镁粉，这样做的目的都是为了增大摩擦力便于提高运动成绩。采取的方法都是增大接触面的粗糙程度来增大摩擦力的。特别是体操运动员在杠上做回环动作时，手握杠又不能太紧（即不能增大手对杠的压力来增大摩擦），所以，在手上抹些镁粉来增大摩擦就显得尤为重要。还有球类运动的一些器械，在制造时，都考虑到了增大摩擦的因素。例如，足球守门员戴的手套、篮球表面上的花纹、乒乓球正胶球拍胶皮上的胶粒长短和反胶球拍胶皮上的粘性度、铅球表面铸造得很粗糙等，都是采取增大接触面的粗糙程度来增大摩擦力的。三、 物理中的“惯性”    任何物体都具有惯性，运动着的物体具有继续保持运动状态的性质。惯性即有利，又有害。运动员在运动场上进行的各种项目的运动，有时要利用惯性，有时又要防止惯性，才能提高运动成绩和竞技水平。例如，跳高、跳远及标枪运动中的助跑过程，且标枪运动员在投标枪之前，手臂要尽量向后伸摆，这些必要的动作都是为了利用惯性。而运动员在跑到百米冲刺的终点时，不能及时停下来，还得逐渐减速地跑一段距离；篮球运动员在进行三步上篮时，投篮的一瞬间不能正对篮环中心，否则由于惯性，反而投不中，而是要落后篮环中心一点投球，这些都是为了防止惯性。还有投掷铁饼的选手，为了提高比赛成绩，在规定的圆圈内做加速旋转动作，目的是为了增大铁饼出手时的初始速度；而铁饼出手后，为了确保自己不离开圆圈内，还得继续转几圈，所以，铁饼选手为了获得好的成绩，即要利用惯性，又要防止惯性。 四、物理中的“功能原理”及“机械能守恒” 所谓功能原理，就是外力对物体做的功等于物体机械能的增加。当没有外力对物体做功时， 物体机械能不变，即机械能守恒。机械能又包括动能、重力势能和弹性势能，且物体在运动 过程中，动能、重力势能和弹性势能可以相互转化。例如，跳水运动员为了获得足够的高度， 在起跳前，必须用力向下蹬跳板，将跳板的弹性势能最终转化为自己的重力势能，便于在空 中做旋转动作。在举重运动中，运动员对杠铃做的功等于增加杠铃的重力势能与增加自己的 重力势能之和。由于杠铃比较重，运动员要想获得成功，一般要经过三个阶段。在第二个阶 段中，由于杠铃增加的高度最大，运动员需做的功也最多，难度当然最大。所以，我们经常 看到，运动员在完成第二个阶段的瞬间，都要将双脚前后分开，这样做的目的是为了降低一 点高度，减少一点重力势能的增量，便于杠铃能举过自己的头顶。为了顺利地完成第三个阶 段，双脚也不能分得太开，否则会增加最后阶段的难度。还有跳高、跳远以及各种投掷体的 运动等都含有此方面的知识内容。 物理中的“冲量”及“转动惯量” 物理学里的冲量等于作用在物体上的力与力的作用时间的乘积，作用在物体上的冲量等于动量的改变量。当动量的改变量一定时，如果力的作用时间越长，则作用在物体上的力越小。冲量定律的这种特例在各种体育器械及运动中的应用非常普遍。例如，供跳高运动员着地用的海绵垫、供跳远运动员着地用的沙坑，都是为了延长力的作用时间，从而减小运动员着地时受到的作用力，确保运动员着地时不受损伤。还有在篮球运动中，运动员在接已方队员传过来的篮球时，双手往往要伸前顺着来球的运动方向后移接球。这样做的目的也是为了延长篮球对手的作用力时间，从而减小篮球对手的作用力大小，便于稳稳地接住飞来的篮球。我们还经常看到，在比赛场上，有经验的运动员在场地上摔倒时，会顺势翻滚来延长着地的时间，从而减小地面对人体的作用力。在羽毛球、乒乓球、网球、排球等运动中，选手们在击球的瞬间，球的运动情况都含有冲量定律的内容。    如果物体受到某一力矩的作用，此物体就会围绕某一固定轴旋转。当转动惯量一定时，力矩越大，则旋转越强烈。例如，乒乓球选手拉的弧圈球，都是设法引用球拍给乒乓球以摩擦，对乒乓球施一力矩的作用而产生的。现在，国际乒联决定，改“小球”为“大球”后，由于“大球”的转动惯量比“小球”的转动惯量大，所以，球的旋转没有以前强烈。还有足球运动员射门和排球运动员发球时，为了造成对方球员接球的难度，都会适当地给球一力矩的作用，使球产生旋转。还有铁饼选手在投掷的一瞬间，也要给铁饼一力矩的作用，使铁饼在空中加速旋转，从而提高比赛成绩。    如果正在旋转着的物体，不受力矩的作用，则转动惯量与角加速度的乘积是一恒量。当旋转着的物体转动惯量增大时，物体的旋转就会减慢。跳水运动员落水和体操运动员着地时，都要利用到这方面的知识。因为，他们在空中都要进行旋转动作，跳水运动员要获得最佳的落水效果，落水时，必须尽量避免旋转；而体操运动员要保证着地时立稳，也要避免旋转，所以，他们在入水和着地的瞬间，都采用伸长四肢的办法来增大身体的转动惯量，从而减小旋转速度。确保顺利完成比赛。兴趣，最终达到培养创造性复合型人材和增强全体国民的体能的目标要求。五、借足球讲解压强知识 对于许多足球爱好者来说，香蕉球一定对他们具有很大的吸引力。确实，在国际赛场上，一场关键的比赛，用香蕉球破门，对于球迷来说是最大的享受了。看球绕过人墙，眼见球就要打飞，突然变向，球拐入了死角，守门员没有反应。那么下面就让我们来研究一下这个美妙的香蕉球吧。首先我们要来了解一下伯努利原理：在水流或气流中，如果速度小，压强就打；速度大，压强就小。球员在击球时，用脚的内侧将球搓起来。而当球在空中旋转时，球的两侧就一边速度大，一边速度小。所以根据伯努利原理，球在空中就会受到一个横向的压力差，而在水平方向上，压力的方向与球的运动方向相反，在空中不断在水平方向上减速。所以在观众的眼中，看到的先是按击出方向运动，然后在空中变线，从而出现了美丽的香蕉球。懂了这个道理，也许你也能踢出香蕉球呢！ 通过上文的分析，我想同学们一定对力学在运动中的应用有了初步认识吧，但上面的知识只是九牛一毛，希望同学们能在课外积极了解这些知识，这样既能提高自己的竞技水平，同样能锻炼身体，提高效率，在以后的学习生活中助我们一臂之力。

流体力学是能源动力三大主干课程之一：传热学，工程热力学，流体力学。只有学好这三门课，能源动力其他的问题都easy了。我就是这个专业的^ ^。。。比如蒸汽轮机里面的蒸汽流动，压缩机里面的空气流动，内燃机里面的燃料组织，锅炉燃烧的燃料组织，石油管道运输~哪儿会没有流体哩。。。能源转化转移都需以工质为媒介~肯定涉及工质的流动，物性~流体力学是少不了的。等你学流体力学和传热学的时候的理论你才会发现还是有点作用。流体当中有流函数和势函数的概念需要用复变函数的解析函数理解。流体和传热的流场和温度场分析经常涉及拉普拉斯方程，导热方程这些都是需要数理方程与特殊函数方面的知识来求解解析解。当然这是理论研究上的作用，实际烧个锅炉这些都用不到。毕业生应获得以下几方面的知识和能力：1.具有较扎实的 自然科学基础，较好的人文、艺术和 社会科学基础及正确运用本国语言、文字的表达能力；2.较系统地掌握本专业领域宽广的技术理论基础知识，主要包括工程力学、机械学、工程热物理、流体力学、电工与电子学、控制理论、市场经济及企业管理等基础知识；3.获得本专业领域的工程实践训练，具有较强的计算机和外语应用能力；4.具有本专业领域内某个专业方向所必要的专业知识，了解其科学前沿及发展趋势；5.具有较强的自学能力、创新意识和较高的综合素质。3人才目标本专业主要培养能源转换与利用和热力环境保护领域具有扎实的理论基础，较强的实践、适应和创新能力，较高的道德素质和文化素质的高级人才，以满足社会对该能源动力学科领域的科研、设计、教学、工程技术、经营管理等各方面的人才需求。学生应具备宽广的自然科学、人文和社会科学知识，热学、力学、电学、机械、自动控制、系统工程等宽厚理论基础、热能动力工程专业知识和实践能力，掌握计算机应用与 自动控制技术方面的知识。毕业生能从事 能源与动力工程及相关方面的研究、教学、开发、制造、安装、检修、策划、管理和营销等工作。也可在本专业或其它相关专业继续深造，攻读硕士、博士学位。4主干学科动力工程与工程热物理、机械工程、流体力学5主要课程工程力学、 机械设计基础、机械制图、 电工与电子技术、工程热力学、流体力学、 传热学、控制理论、测试技术、燃烧学 等主要实践性教学环节：包括军训、金工、电工、电子实习、认识实习、生产实习、社会实践、课程设计、毕业设计（论文）等，一般应安排40周以上。授予学位：工学学士 硕士 博士

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体育运动中的流体力学研究的论文

这方面有啥不理解的随时问我，帮你写。。标题式提纲 这种提纲对比简略，只写出行文各段的标题。 这是一个标题式的作文提纲，勇简练的文字标出了各段的写作要害。它的特点是文字简练、速度较快，适合于对写作内容较了解或时刻较紧的状况。但对初学写作的人来说，很难起到辅导作文的作用。

学术论文格式要求1、论文中文题目。（二号宋体加粗）2、作者姓名：作者所在单位名称，所在省和城市名称，邮编，如多名作者则分行依次排列。（作者：小四号仿宋；单位等：六号宋体）3、摘要：150～300字，需有简明的研究目的、研究方法、结果、结论等，摘要书写中不能出现“本人”、“本文”等第一人称称谓。（五号宋体，摘要两字加粗）4、关键词：3～8个，每个关键词之间用“；”隔开。 （五号宋体，关键词三字加粗）5、引言:简要说明研究工作的目的、范围、相关领域的前人工作和知识空白、理论基础和分析、研究设想、研究方法和实验设计、预期结果和意义等。引言应言简意赅，不要与摘要雷同，不要成为摘要的注释。（内容均为小四宋体，行距倍下同）6、正文：论文的核心，要求主题新颖，观点明确，有理论高度，有实践基础；论据充分，引文准确，数据可靠；层次分明，文字简练，图表清晰。（1）、正文段落层次号一律使用阿拉伯数字，文中层次分明，序号书写为1、、格式，最多只能4层，4层以后用1)(1)依次为序号，前4层次每层必须要有小标题（小四粗黑）。（不出现前言、引言等之内的层次），顶行书写，层次号后空一格，一级标题前空一行。（2）、图——必须有图序号和图题，图序号一律用阿拉伯数字，图题标在图下方。（3）、表——一律使用三线表，表序号一律使用阿拉伯数字与表题一并放在表上方。（4）、文稿中的计量单位必须使用法定计量单位的国际标准符号，不得使用已废止的符号，更不得自造符号。（5）、届次、世纪、年、月、日、百分比等一律使用阿拉伯数字。7、结论：对本论论点的强调，是对论文的最终的和总体的高度总结，是本论的最终的必然逻辑发展，也是整篇论文的归宿和作者认识上的升华。8、参考文献不得省略，基本格式如下：专著、论文集、学位论文、报告的著录格式[序号]主要责任者．文献题名[M].出版地：出版者，出版年．起止页码[1] 蒋有绪，郭泉水，马娟，等.中国森林群落分类及其群落学特〔M〕.北京：科学出版社，[2] 中国力学学会.第3届全国实验流体力学学术会议论文集〔C〕.天津：〔出版者不详〕，[3] 志祥.间断动力系统的随机就动及其在守恒律方程中的应用〔D〕.北京：北京大学数学学院学位论文，[4]广州运动与体适能专业学院,2005中国健身俱乐部调查报告[R], (AASFP)200期刊文章的著录格式[序号]主要责任者．文献题名[J]．刊名，年，卷(期)：起止页码[1]肖林鹏，蔡劲燕. 我国体育经纪人市场供需矛盾问题研究[J]. 上海体育学院学报，2006，30(6)：10-13，论文集中的析出文献的著录格式[序号]析出文献主要责任者．析出文献题名[C]．原文献主要责任者(任选)．原文献题名[文献类型]．出版地：出版者，出版年．析出文献起始页码报纸文章的著录格式[序号]主要责任者．文献题名[N]．报纸名，出版日期(版次)[1] 丁文祥.数字革命与竞争国际化〔N〕.中国青年报，2000-11-20（15）专利的著录格式[序号]专利所有者．专利题名[P]．专利国别：专利号，出版日期[1] 刘加林.多功能一次性压舌板〔P〕.中国：，1993-04-14.关于以上“[ ]”内的文献类型如下：类型:专著 论文集 报纸文章 期刊文章 学位论文 报告 标准 专利 电子文献标识:M C N J D R S P EB/OL

三体运动研究论文

每个人都希望时间能够倒流，这样我们就能和去世的亲人重续欢乐，修正自己那些错误的人生决策，抹去自己以往的糗人糗事。然而最近一组科学家对黑洞三体运动的研究，可能会让您彻底失望了，因为他们揭示了宇宙的终极秘密时间永不可能反转，即使你试图反转时间，也回不到过去的时刻。

对于绝大多数物理定律来说，时间都无所谓方向，不管它向哪一个方向流动，物理定律照样起作用，这在物理上有一个高大上的名字，叫做时间反演对称性。按照这个说法，我们的太阳系在银河系中运行，如果把让时间倒流，它就会循着原来的轨迹，又运行回去；我们的地球绕着太阳运行，如果让时间倒流，它就会循着原来的轨迹，又倒退回去。就像我们反转视频，倒放录像一样，丝毫不差，完全回溯过去的轨迹。

但葡萄牙阿威罗大学天文学家Tjarda Boekholt领导的一组科学家已经证明，只需要三个引力相互作用的物体，就能打破时间反演对称性。而我们的宇宙是由无数个引力相互作用的物体构成的，所以即使时间倒流，也没法再回到以前的某个状态；正如我们最多只能准确预测几百万年后太阳系中天体的位置，时间再长一些，有些事情就不是我们所能预测的了。在牛顿力学和广义相对论下，我们无法完全准确地描述这些相互作用。

研究人员利用以前编写的一个名为“布鲁图斯”(Brutus)的N体模拟代码，模拟了三个黑洞互相运行的情形，使用蛮力计算来降低数值误差的量级。在模拟中，科学家们先让黑洞从静止开始相互靠近，进入复杂的轨道运动，直到其中一个被踢出为止；然而他们让模拟反转，在时间上向后运行，试图恢复整个系统到初始状态。

结果发现，在5%的情况下，模拟结果是无法逆转的，只需要对系统进行普朗克尺度的扰动，也就是米的改变，其指数般累积的改变，就足以让系统回到另一种完全不同的状态。而普朗克尺度已是宇宙中最小的尺度，即使是一个原子，都要比它大上亿亿亿倍数量级。

研究人员认为，N体运动从根本上是“不可预测的”，问题的根源不是我们的模拟，而是宇宙的自然法则，是宇宙的内秉属性。

所以我们可以抛却时间倒流的梦了吗？忘记过去，把握现在，展望将来，做好真正的自己，或许才是我们该有的人生态度。我们的人生无法靠缝缝补补获得完美，这是宇宙的内秉属性，没有任何人能够改变，哪怕上帝来了，也只能让你节哀顺变。活在当下，做好自己能做好的一切，其它的，就让上帝的归上帝，宇宙的归宇宙吧。

自“三体问题”被确认以来的300多年中，人们只找到了3组周期性特解。有两位科学家一口气找到了13组新的周期性特解，震惊了科学界。塞尔维亚物理学家米洛万·舒瓦科夫和迪米特拉·什诺维奇发现了新的13组特解。他们在著名学术期刊《物理评论快报》上发表了论文，描述了他们的寻找方法:运用计算机模拟，先从一个已知的特解开始，然后不断地对其初始条件进行微小的调整，直到新的运动模式被发现。这13组特解非常复杂，在抽象空间“形状球”中，就像一个松散的线团。三体问题特解的族数被扩充到了16组。这一新发现令科学界欢欣鼓舞。多年来一直从事三体问题研究的美国科学家罗伯特·范德贝说，“我非常喜欢这一成果”。另一位美国科学家理查德·蒙哥马利说:“这些结果非常美妙，而且描述非常精彩。”中国科学家周海中表示，他们的成果加深了人们对天体运动的了解，促进了天体力学和数学物理的进一步发展，尤其是对人们研究太空火箭轨道和双星演化很有帮助。

这是个坑，谁跳进去一辈子都出不来。