怀尔斯10年未发表论文

怀尔斯10年未发表论文

高斯非常聪明，老师在课堂上出了一道算术题，要学生们计算出前100个自然数相加之和，一般的同学采取逐个相加的办法计算得头昏脑胀，而高斯几乎不加思索就算出了答案。他是注意到这个算术级数的规律，100+1=101，99+2=101……共50对数，答案是5050

一 数学的发源地：古希腊 华人中最杰出的数学家陈省身最近去世了。在弥留之际，他一直在说："送我去希腊。"就像麦加是伊斯兰的圣地，恒河是佛教徒心中的圣地一样，数学家和哲学家心中的圣地就是希腊。古希腊群星璀璨，亚里士多德，苏格拉底，阿基米德这样的博学而又智慧的大家让其它民族望尘莫及。有记载第一位哲学家和数学家是泰勒斯，哲学是从泰勒斯开始的，他预言过一次日蚀，所以我们就很幸运地能够根据这件事实来断定他的年代；据天文学家说，这次日蚀出现于公元前585年。他第一次证明了在圆上，直径所对应的圆周角是90度，这也标志这几何学的诞生和证明的开始。希腊人中能产生那么多哲学家和数学家，几乎可以肯定的是那里的公民有辩论的自由，他们崇尚逻辑思维而不是崇尚武力。 毕达哥拉斯算是希腊数学家中的一个杰出的人物，他创立的有理数的概念至今对于一些受过高等教育的中国人还是一个难的东西。说它难，其实不难，关键是学习知识太功利，彻底搞清这个概念远远比背诵一段政治容易。我上【高等数学】课时，几乎年年有人问我："老师，学习这个有什么用？"希腊的欧几里德碰到谁问他这个问题，从兜里拿出一个硬币，告诉仆人："把这个硬币给他，他问学几何有什么用，学几何不能赚钱，让他拿这个硬币走吧！" 毕达哥拉斯是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。不仅关于他的传说几乎是一堆难分难解的真理与荒诞的混合，而且即使是在这些传说的最单纯最少争论的形式里，它们也向我们提供了一种最奇特的心理学。他建立了一种宗教，主要的教义是灵魂的轮回和吃豆子的罪恶性。他的宗教体现为一种宗教团体，这一教团到处取得了对于国家的控制权并建立起一套圣人的统治。但是未经改过自新的人渴望着吃豆子，于是就迟早都反叛起来了。 毕达哥拉斯教派有一些规矩是：1．禁食豆子。2．东西落下了，不要拣起来。3．不要去碰白公鸡。4．不要擘开面包。5．不要迈过门闩。6．不要用铁拨火。7．不要吃整个的面包。8．不要招花环。9．不要坐在斗上。10．不要吃心。11．不要在大路上行走。12．房里不许有燕子。13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。14．不要在光亮的旁边照镜子。15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。 毕达哥拉斯在代数上的主张是认为数是万物之源，并且认为一切数都能写成两个自然数相除的形式。毕达哥拉斯的在几何上最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为3，4，5的话，则必有一个直角。但是第一个给出严格证明的却是毕达哥拉斯，因此这个定理也被冠以他的名字。这个定理在中国被称作勾股定理，不过至今没有得到广泛的承认。 然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数(无理数)的发现，这似乎否定了他的全部哲学。他的一个学生用毕达哥拉斯定理证明了：当正方形的边长是1时，对角线长度不能用任何两个整数相除来表示，也就是说不是有理数。这刚好否定了毕达哥拉斯关于数的存在都是有理的（rational）的想法，这个学生的发现导致了他的丧命：被教众抛进了大海。这次事件被称作数学历史上的第一次危机，它否定了一切数都是有理数的结论。直到18－19世纪，关于微积分严格性的讨论才对第一次数学危机给出了解答。 二 不懂几何者不许入内和阿基米德的裸奔 现在中学生学习的平面几何，都是来源于两千多年前的一本奇书：《几何原本》，它是古希腊数学家欧几里得的一部不朽杰作，是当时整个希腊数学方法和数学思想的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学的发展有着不可估量的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经翻译和修订的次数更是不胜枚举，自1482年第一个印刷本出版以来，至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任何著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原本》却有着超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，是《圣经》所无法比拟的。《几何原本》的希腊原始抄本现在已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。 《几何原本》对于数学的影响是不可估量的，它是人类历史上第一次采用公理化的体系来讨论数学。就是先假定一些命题是不加证明而认可的，所有的定理和结论都是建立在这些公理的逻辑演绎之上。至今中学生所学的平面几何和立体几何都没有超出《几何原本》的范围，因此可以说这是对人类思想影响最远的数学书。现代数学的公理化方法都是来源于欧几里德的这本书《几何原本》。 古人学习几何更是困难，据说当学到‘一个等腰三角形的两个底角相等'这个定理时，好多人就无论怎样都学不会了，因此这个定理又叫‘驴子的梯子'，指它难住了一大批人。直到现在，平面几何的一些知识或者立体几何的一些定理仍然难住了一大批人，大概学习数学需要一些天赋吧。因此当国王多禄米向欧几里德讨教学习几何的捷径时，欧几里德告诉他："在几何里面，没有为国王提供的捷径。" 在数学上，古希腊人提出"三大问题"：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。这类问题直到近代群论的出现，才得以得到解决，这三个问题都是不可解的。 阿基米德就是学习《几何原本》的学生中最杰出的一位。他11岁便离开家乡到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习《几何原本》，按辈份他应该是欧几里德的徒孙。他在数学和物理上所创造的奇迹使他成为人类历史上最杰出的科学家。一个著名的故事是：叙拉古的亥厄洛国王委托金匠造一顶纯金的皇冠，但是怀疑里面被掺了银子，当然不可能通过把皇冠割开来检验这个王冠，于是便请阿基米德鉴定一下。一次当他洗澡时正在冥思苦想，这时水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中，口中大呼："尤里卡！尤里卡！"（我发现了），于是便开始在大街上裸奔起来了，一直跑到家里。 他在数学上的发现创造更是数不胜数，阿基米德螺线，抛物线上的弓形求面积方法含有现代积分思想，求圆的面积，球的表面积和体积的公式，圆周率的求法和误差估计，等等，直到现在，全世界活着的人中，至少还有百分之六十的人数学知识比不上两千年前的阿基米德。 阿基米德的死也具有传奇色彩，甚至可以编成一部精彩的电影。公元前212年，罗马军队攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅，他们看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵们将沙盘踩坏。阿基米德怒斥士兵："不要弄坏我的图！"士兵拔出短剑，刺死了这位旷世绝伦的大科学家，阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。还有一个版本是他死前说的话是："让我做完最后一道题。" 关于阿基米德在数学史上的地位，美国的数学史学家E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的："任何一张开列有史以来三位最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。" 三 牛顿时代就有马甲 从古希腊数学到近代微积分的产生，中间经历了漫长的停滞不前的年代。期间，各国都产生了一些杰出数学家和一些成果，但是这些成果都是零星的非本质的。期间中国最引以自豪的数学家是祖冲之，他计算出圆周率到小数点后7位。 在十七世纪中叶以后，数学知识的火山似乎在一夜之间爆发了。其中以微积分为代表的变量数学彻底改变了人们的数学思想和方法，解决了物理上提出的大量问题，并且给出了用传统方法想都不敢想的问题的解法。在微积分发现的优先权的争执上，英国数学家和大陆数学家产生了严重纠纷。牛顿于是用了好多编造的名字来‘证明'莱布尼茨的知识不是原创而是抄袭牛顿的。其言辞之尖刻、辱骂之恶毒令人难以想像。莱布尼茨死后，牛顿还津津乐道的向别人讲述怎样用马甲使莱布尼茨伤透了心，并沾沾自喜。 这个时代，法国的贝努力（Bernoulli）家族是一个数学家族，三代出现了十多位杰出的数学家。 这个家族人的脾气都不太好，最奇怪的他们是开始都不是从事数学，可是到后来全部迷上了数学。父亲因为儿子得了数学大奖，嫉妒之下竟然一脚从窗户把儿子踹到了室外。 1696年，约翰.贝努力（ John Bernoulli）在《教师学报》的杂志上面提出最速降线问题，公开针对他的哥哥雅克比.贝努力（Jacobi.Bernoulli）,这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年约翰求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，雅克比做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志是莱布尼茨主办的，影响很大，欧洲的所有杰出数学家都尝试这来做这个问题。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，莱布尼茨的,还有一个罗必达侯爵的 ，然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳匿名的。 这个问题陈述起来很简单，就是平面上有两个点A，B，这两个点连线既不是水平也不是垂直，试寻找连接这两个点的曲线，使得靠自身重力的一个小球能用最快时间从这点滑到那点（摩擦阻力不计）。 据说当年牛顿已经从科学第一线退了下来，揽到了皇家造币厂厂长的肥缺。劳累了一天以后，回家在壁炉前看到了贝努力的题，，熬夜到凌晨4点，就搞定了。贝努力看到这个匿名送来的答案，说道："我看到了狮子露出来了利爪。"在这么多解答当中，约翰的应该是最漂亮的，类比了费马光学原理作了出来，用光学一下做了出来。但是从影响来说，弟弟的做法真正体现了变分思想。 这个思想是把每条曲线看作一个变量，进而在每条曲线上所用时间便是曲线的函数，这就是泛函。类似于微积分求最大最小值的办法，把微积分推广到一般函数空间去，这就是【变分法】。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子欧拉和法国的拉格朗日。 贝努力一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是丹尼尔.贝努力（Daniel Bernoulli，他是约翰.贝努力的儿子）有一次正在做穿越全欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍："我是丹尼尔 .贝努力。"那个人当时就怒了，说："我是还是伊萨克.牛顿呢。"从此之后在很多的场合丹尼尔都深情的回忆起这一次经历，把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。 牛顿去世后，有人写诗赞美他：宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里神说：让牛顿降生吧于是一切都成了光明。 贝努力家族对数学最大的贡献还不是在数学本身，而是发现了欧拉。 四 数学英雄欧拉（Euler） 要问在历史上这些数学家中我最佩服谁，那肯定是欧拉。 欧拉小学就被开除了，因为他问的问题太多，给老师太多的难堪。有人说欧拉是先会算术后会说话的，高斯也是这样，高斯一岁时就能发现父亲账本上计算的错误，不过这肯定是传说。但是欧拉很小就知道等周原理：在周长固定的所有图形，面积最大的一定是圆。 大名鼎鼎的约翰.贝努力是欧拉父亲的朋友，第一次见到六岁的欧拉就被欧拉问住了："我知道一个数6，它有因数1，2，3，6，加起来是6的2倍；还有一个数28，有因数1，2，4，7，14，28，加起来也是28的2倍，还有多少这样的数？"这类数叫做完全数，还是欧拉，最终给出了偶数完全数的表达式，那是后来的事情了。对于奇数的情形，谁要是能正确证明有或者没有，现在肯定能拿到数学最高奖。欧拉17岁获得了瑞士巴赛尔大学的硕士学位，欧拉太专注数学，以至于贝努力不得不规定，吃饭时间不许看书。他19岁时被俄罗斯卡德琳娜女王邀请到彼得堡科学院从事研究。 欧拉解决的问题实在太多了，解决问题过程中创造出的方法不知开创了多少个数学分支。欧拉因为解决著名的七桥问题开创了拓扑学，歌德巴赫猜想是因为歌德巴赫和欧拉的通信而出名的。任何一个正整数都一定能写成不超过四个平方数之和是欧拉最早证明的，这可是将近两千年无人解决的问题。数论，几何，力学，天体力学，到处留下欧拉的足迹。现代数学的符号和表达式，如三角，指数，e，i，π 等等，都是欧拉创立的。历史上第一本流行的微积分教科书也是欧拉写的。后来所有的微积分教科书，或者是抄袭欧拉的，或者是抄袭抄袭欧拉的。 欧拉研究数学，就像人在呼吸，鸟在飞翔一样自由和自在。 欧拉早就发现了‘变分法'可是当他发现法国人拉格朗日也有这类思想时，就把自己的藏起来不发表，把出名的机会留给年轻人。 欧拉由于看书过多，年轻时就瞎了一只眼睛，到59岁时，他的左眼也逐渐失明了。正当他抢在完全失明前抢救资料时，一场大火烧毁了他的一切资料。 欧拉大部分工作是在失明以后完成的，包括四平方定理。 欧拉的两个学生因为计算一个无穷级数答案不一样发生争执，失明的欧拉用心算找出了小数点后第50位的错误，结果证明这两个学生都算错了。这就是欧拉。五 业余高手（1） 在当今日益专业话的分工下，无论是竞技项目还是专业领域，业余爱好者也许永远达不到专业人员的水平。就拿围棋为例，每年中国的专业vs业余最高对抗赛，尽管专业棋手让两个子，可是业余棋手还是几乎全军覆没,象棋领域也大概如此。不过韩国围棋高手刘昌赫曾经是业余棋手，但最后达到了专业超一流棋手的水平。象棋全国冠军陶汉明曾经是业余棋手起家，曾经取得过全国亚军的金波也是业余棋手。不过这些只是极端个别的例子。 在数学发展起步时期，业余数学家取得了骄人的成绩。依我看，费尔马（Femart）应该是自古以来没有与之相比的，估计今后也不会有超越他的业余数学家了。费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的业余数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。费马提出了光线沿最快的路径行进的原理，进而揭示了隐藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原来只有服从折射定律，才能保证光线从一点到达另一点用的时间最短。费马在数论上为我们留下了大量的定理和猜想，其中相当一部分未给出证明。挑选这些‘定理'中最有趣的两个给大家介绍一下。 费尔马猜测，形如 2^(2^n)+1（这里符号‘^'表示幂，如4^2=16）的数都是素数，这类数成为费尔马数。对于n＝0，1，2，3，4，经过验证果然如此。不过对于n＝5，欧拉用心算得出：2^(2^5)+1=2^32+1=641×6700417，不是素数。有趣的对于其它的n，至今没发现一个费尔马数是素数。 下面说说著名的‘费马大定理'：那是费马去世后，人们整理他留下的笔记发现的。费马热衷于不定方程的研究。我想能够坚持读本文的读者应该都知道勾股定理，并知道3^2+4^2=5^2，5^2＋12^2＝13^2，等等，这类数叫做勾股数（国际上叫毕达哥拉斯数），这类数究竟是怎样构造出来的，古希腊时期已经给出了完整的答案：如果x是偶数，且x和y没有公因数，那么必然有有一奇一偶两个正整数a，b，使得：x＝2ab，y＝a^2-b^2，z=a^2+b^2，其中a和b没有公因数。费尔马在阅读一本书叫做【丢番图方程】里面关于勾股数这部分时，在旁边写到：把一个整数的立方写成两个整数的立方之和，把一个整数的四次方写成两个整数的四次方之和，等等，都是不可能的。我已经找到了绝妙的证明，可惜这本数旁边的空白处太少了，我写不下来。 费尔马这个没有写下来的证明，天晓得到底存在还是不存在，可是他的这段话是坑了不少人。欧拉和高斯试图证明这个定理，最后都失败了。一战之前，曾经有个德国人悬赏十万马克给第一个证明费尔马大定理的人，一时许多业余高手都投入到这场奖金的争夺中，但是没有一个证明是正确的。一战以后，德国马克贬值，这笔奖金化作一堆废纸。有人问大数学家希尔伯特（Hilbert）为什么不试试证明这个定理，他说："这是只下金蛋的鹅，我为什么要杀掉它呢？"（意思是说这个定理能引诱好多人从事数学研究，不证明它更好。） 这个定理折磨了数学家整整三百年，直到1993年，一个叫怀尔斯的数学家用难以置信的方法给出了证明。1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。从1986年开始，这家伙七年时间没有发表任何论文，要是在中国他什么经费和津贴都别指望了。1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。演讲者就是是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景："虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束'，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。"因为他证明了这个大定理。不过说点题外的话，后来又发现他的证明有漏洞，又折磨了他一段时间，到1994年9月，他把所有的漏洞都堵上了。这个证明后来经过精练，已经缩短到130多页，最初的证明有400多页。怀尔斯一下子成了传媒的宠儿和明星，这是数学家少有的抛头露脸的机会，大概是费尔马大定理的内容通俗易懂而证明却持续了300多年吧。 怀尔斯的故事告诉我们：中国目前高校搞急功近利的唯文章数量评价水平的作法，肯定不会出现重大的研究成果。 六 业余高手（b） 提起业余数学家或者数学研究者，每次都使我肃然起敬。在中国，出于对数学中歌德巴赫猜想的兴趣而爱好数学的有一大批人，笔者有幸在互联网和生活中遇见到其中的几个。记得以前看到电视节目【东方时空】百姓故事栏目例介绍了一个业余研究歌德巴赫猜想的一位老先生，自己靠蒸馒头卖钱度日，却把大部分收入用在了歌德巴赫猜想上。虽然研究数学不用什么花销，可是购买资料请教问题要外出吧，要有路费和旅途上的费用吧。这些研究歌德巴赫猜想的人有共同的特点，几乎都宣称自己证明出来了，可是却无法发表在公开出版的学术刊物上，或者被别人挑出错误可是自己还不能理解。在一些论坛上，经常看到有关歌德巴赫猜想的证明，有的看起来还很巧妙。比如我看到一个证明就用到了集合论中很深奥的‘良序公理'，这个公理和‘选择公理'等价。他巧妙的构造一系列集合，可惜他错误的理解了良序公理中‘任何集合都能被良序'，而一厢情愿的认为良序就是一类集合的包含。这些人抱着‘一夜成名'的心态的毕竟是少数，多数是出于对数学的热爱，却由于各种原因，没有机会走上专职研究数学的道路。 德国数学家外尔斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。他开始是学习法律和财经，一度在在中学任教。这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度，德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献。 微积分在创立初期，理论上还不够严密性，无穷小变成了神秘和随心所欲被理解的量。因此1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表了文章《向一个不信神的数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求x^n的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）^n，从中减去x^n以求得增量，并除以0以求出x^n的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，）"是消失了的量的鬼魂......能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。"无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 外尔斯特拉斯和法国的一些数学家一道，使得微积分无懈可击。 外耳斯特拉斯还告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。用在函数上，就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的。可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。他举出这个函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。 1851年，大数学家高斯最得意的弟子黎曼，在博士论文中提出了一个原理：狄利赫来（Dirichlet）原理，利用这个‘原理'，可以美妙的解决变分中提出的一系列问题，并且在数学物理上有着广泛的应用。按照微积分理论，狄利赫来原理应该算是理所当然成立的。可是外尔斯特拉斯却说："不加证明的使用狄利赫来原理，是不严格的。"黎曼也是很谦虚的，便回应到："您说的对，不过这个原理肯定是正确的，很快我就会证明出来。"但是黎曼直到去世也没有证明出来，又是这个中学教师，举出了一个反例，彻底推翻了狄利赫来原理。于是黎曼博士论文中的一切结果都是值得怀疑的了。因此数学家卡尔.诺依曼叹息道："如此美妙而又有广泛应用前景的原理，已经永远从我们视野中消失了。" 1899年，旷世奇才希尔伯特（Hilbert）用了不到6页纸，通过附加一个条件，就消除了黎曼理论的缺陷，从而挽救了这个原理。更神奇的是，还挽救了黎曼的名声，因为用这个改造的原理发现黎曼所得的其它结果又都是正确的了。 这真是群星闪耀的年代，是数学家自由飞翔的年代。可惜一去不复返了。 七 天妒英才 下面要说到两个英年早逝的数学家，伽罗瓦和阿贝尔，不过要先从一个故事说起。 凡是受过初中教育的人都知道，任何一个一元二次方程都可以用求根公式求出它的解，这大概是很久就有的公式了。其中根和系数的关系被称作韦达定理，有着广泛的应用。然而三次方程和四次方程甚至更高阶方程的求解公式一直不被人们所知。在文艺复兴时期，有个叫塔塔利亚的业余数学家首先得到了这个公式，不过他秘而不宣，这是当时搞研究的人的一个传统。可是，这个消息还是在寻求公式的一些业余数学家之间流传着。 有一个叫卡当的业余研究者找到了塔塔利亚，恳求得到塔塔利亚的真传。这个卡当在赌博上也不是一般的赌徒，是他在赌博中提出了概率的思想，他还热衷于炼金术，星象学。塔塔利亚肯定被卡当打动了，也许卡当常跪不起，也许甜言蜜语，总之塔塔利亚告诉了他自己知道的一些公式。卡当学到手求解公式后就离开了塔塔利亚，甚至把对塔塔利亚许下的诺言抛到了九霄云外，写出了一本术，名字叫做‘大术'，介绍了三次方程四次方程的求解方法。于是卡当声名雀起，因为他在书中宣称这些公式是他自己发现的。 两个人的争执开始了，解决争端的方法很简单，来一场决斗：两人各自给对方出20道题，看谁先解出来。塔塔利亚大获全胜，卡当一道题都没有解出来，因为塔塔利亚教他时留了一招，没有把公式的一般情况告诉卡当。这大概是人类历史上的第一场数学竞赛，参赛这只有两个人，这个故事发生在四百多年前。不过至今这些公式还被称作卡当公式，而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号，意大利语意思是‘结结巴巴的人'的意思。 历史就像一条河流，沉到河里的往往是金子，浮在河面上的往往是水草和马粪。 三次四次方程求根公式得到了以后，人们寻求五次和五次以上方程的求解公式。可是欧拉高斯等杰出数学家都没有找到求解公式，成了当时数学的难题。有两个青年匆匆的来到了这个世界，又匆匆的离开了，也许他们来到人世的目的就是为了给我们一些惊讶和慨叹。 尼尔斯·亨利克·阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。阿贝尔幸运的碰到了一个有数学头脑却无多大数学成果的老师，老师很快发现他的数学才能，使得他很早就接触到了微积分。在中学的最后一年，阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题。在19岁那年，他证明了一般五次方程求解公式不存在，就是说，不能用方程系数和开根号的有限多次运算来表示方程的根。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给国内外的一些数学家，包括数学王子的高斯，希望能得到一些反应。可惜他的文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题―――连他还没法子解决的问题。他看都没看一眼，就把它扔在书堆里了。阿贝尔的另一篇论文是他在欧洲旅行时通过别人转交给大数学家柯西（Cauchy）手里，柯西连看都没看就扔到纸篓里。

《费马大定理》 业余数学之王大笔一挥，让人类最有智慧的头脑忙碌了358年。适听人群 喜欢数学的人专业解读人 韩正之。上海交通大学教授、博士生导师、研究生院原常务副院长。你将获得 费马大定理说的是什么？ 数学家们为了解开这个谜题,都经历了什么？ 为什么一个困惑智者358年的谜题，到20世纪末才解开？书中金句 数学是由未知海洋中的一个个知识孤岛组成的。寻求费马大定理的证明牵动了这个星球上最有才智的人们，巨额的赏格，自杀性的绝望，黎明时的决斗。到20世纪初，这个问题依然在数论家的心目中占有特殊的地位，不过他们对待费马大定理就像化学家对待炼金术一样，两者都是来自过去年代的荒谬和富有浪漫色彩的梦。精华笔记 一、费马与数学费马的本职工作是大法官,不过把业余时间都用在钻研数学上了，所以被称为“业余数学之王”。费马在数论领域成就颇丰，他的主要课本是古希腊数学家丢番图写的《算术》。费马将自己推出的新结论写在这本书的空白处。不过，费马留在这本书旁边的常常只是结论，即使有证明也是含糊不清的。费马去世后，他的儿子将父亲遗作出版，尤其是对那本记载着费马众多发现的《算术》整理出版。这本书共包括费马评注48个，其中第二个评注，就是我们所说的“费马大定理”。费马的第二个评注，是写在毕达哥拉斯定理旁边的。毕达哥拉斯定理也就是勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方的和等于斜边的平方。可以表达成                            费马将毕达哥拉斯方程中的指数2改成3，试图找它的解，没有成功，改成4也无解。于是在原书的问题旁边，费马写下了下面结论： 不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的说来，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。 最后一句话就是费马大定理。在这个注释的旁边，费马还加有一句充满挑逗性的话： 我有一个对这个命题十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。费马提出的其他结论都陆续被后人证明，只有这个定理一拖到了1994年，因此也被称做“费马的最后定理”，英文就是这样写的：Fermat’s Last Theorem。二、费马大定理证明进展第一个在费马大定理中取得进展的科学家是欧拉。他从费马的遗作中发现，费马在那本带评注的《算术》的另一个地方，隐约地证明了指数等于4的时候费马大定理是成立的。他用费马的无穷递减法得到了指数等于3时的费马大定理的证明。然而欧拉没有能够将对于4和3的证明推广到一般情况。法国的索菲•热尔曼是一个对费马大定理做出重要贡献的女性。热尔曼定义了一类质数，后人称为热尔曼质数。具体是：如果p和2p+1都是质数，那么这个p就是热尔曼质数。热尔曼证明了一个结论，如果费马大定理中的n是一个热尔曼质数，那么方程的解(x,y,z)中至少有一个数是n的倍数。她说，这个结论使得费马方程“大概”没有解。热尔曼对费马大定理的证明没有进一步的贡献，但是狄利克雷和拉梅用热尔曼的方法分别证明了，指数是5和7时费马大定理成立。在阶段性胜利之后，法国科学院为推进费马大定理的证明设置了3000法郎的丰厚奖金。拉梅和另一位杰出的数学家柯西，俩人竞争开了。然而，德国数学家库默尔给科学院寄了一封信，库默尔指出拉梅和柯西的证明基础都是错误的。库默尔的信件对当时所有在研究费马大定理的人来说都是巨大的打击，这些人都与拉梅和柯西一样像是蒸发了。1908年6月，德国实业家保罗•沃尔夫斯凯尔，也是一位数学爱好者。他因为被心爱的姑娘拒绝而想到自杀。距离设定的自杀时间还有几小时，于是他找出库默尔的文章读起来。读着读着，沃尔夫斯凯尔突然发现库默尔实际上做了一个假设，但是却没有说明假设的合理性。沃尔夫斯凯尔一步一步地沿着库默尔的思路重新证明，希望找出库默尔的错误，并建立正确的结论。不知不觉地天亮了，他错过了自己设定的自杀时间，但是证明了库默尔的这点小漏洞是可以弥补的。沃尔夫斯凯尔为自己的这一结论感到十分得意，生命的美好又呈现在面前，他撕碎了给朋友们的诀别信，并决定要设置奖金推进费马大定理的证明。所以，后人又称费马大定理为救命大定理。奖金并没有助力费马大定理的进展，数学家们提供的往往都是负面的消息。三、安德鲁·怀尔斯我们的主角，揭开费马大定理谜底的人终于要登场了。安德鲁·怀尔斯，1973年，他毕业于牛津大学默顿学院，获数学学士学位。随后开始了他在剑桥大学克莱尔学院的研究生学习生涯，导师是澳大利亚人约翰•科茨教授。科茨教授为怀尔斯制定了“椭圆曲线”的研究方向。怀尔斯研究的问题是，椭圆方程有没有整数解，和有多少组整数解。乍一看，除了整数这一点外，椭圆曲线问题与费马大定理没有什么关系。战后的日本经济慢慢复苏，1950年代中期，日本出了两个杰出的年轻数学家：谷山和志村。他们在大学里相遇，两人研究了一种古怪的数学对象，称为模形式，这是19世纪提出的一个新概念。它是与加减乘除并存的一种运算形式，具有平移、旋转、中心对称和轴对称的性质。一个椭圆方程，一个模形式，看上去似乎是两个相隔遥远的孤岛。1955年，在东京举行的一次国际性数学界的会议上，谷山提出：椭圆方程和模形式之间可能存在一一对应关系。这个问题后来就称为谷山-志村猜想。谷山-志村猜想成为很多研究成果的基础，那些论文说，如果谷山-志村猜想成立，那么我们就可以证明这样那样的结论。其中有一个推断是弗赖提出的，他将费马方程和椭圆方程联系在一起了。弗赖说，如果谷山-志村猜想是对的，那么费马大定理就是对的。在椭圆方程领域小有名气的怀尔斯跃跃欲试了，那是1986年夏，他已经有资格在美国普林斯顿做研究了。怀尔斯决定做独行大侠，他将自己封闭起来，不与别人讨论，也不想让别人知道他在挑战费马大定理。一来他是害怕不能最终解决费马大定理的证明而被贻笑大方，二来怕别人利用他的成果捷足先登。怀尔斯花了18个月熟悉了这些年在椭圆方程和模形式的全部进展，他决定采用数学归纳法来证明。一开始，他的证明还是很顺利的。直到1991年，最后一步证明受阻。他碰到了导师科茨教授，无意中听到一种科利瓦金方法。怀尔斯花了几个月熟悉这种方法，可惜他不熟悉其中的代数知识，万不得已，他只得向他的同事凯兹寻求帮助。1993年5月，在凯兹的帮助下，怀尔斯终于完成了最后证明，他挑选6月在剑桥举行的学术会议上宣布他的证明。怀尔斯宣布了自己已经成功证明了费马大定理，剑桥大学数学研究所的所长甚至事先准备好了香槟。当怀尔斯说到“我想我就在这里结束”时，会场爆发经久不息的掌声。好事注定是多磨的。按照沃尔夫凯斯尔遗嘱的规定，怀尔斯的论文必须在杂志上发表，并经过两个月无人质疑才算正式证明了费马大定理，然后发奖。会议之后怀尔斯将论文递交给《数学发明》，编辑梅休尔选了六位审稿人。审稿人不断地将发现的疑问与怀尔斯讨论，这样延续了3个月。8月间，审稿人发现了一个“稍微复杂一点”的错误，而对这个错误怀尔斯没有立即做出回应。到12月，论文还没有发表，数学家们已经没有了信心，报刊的记者更是大做文章，认为这又是一次乌龙。1994年9月19日，怀尔斯决定对自己的证明做最后一次审查。他突然发现，一个长期被自己遗弃的工具，就是他的导师提及的科利瓦金方法可以用来解决这个错误。惊喜若狂，怀尔斯立即写下了证明。他回忆说，第二天早晨我又仔细检查一遍，到11点我完全放下心来了。论文发表在1995年5月的《数学发现》上，长达130页。这次真的没有问题了。策划编辑 | 陈艳 音频编辑 | 陈子夫 播音 | 张煜

1994年10月，当普林斯顿大学教授、数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wlies）被确认完全正确地证明了费尔马大定理时，人们很难想象，费尔马大定理作为猜想已历时357年了，令人称奇的是此猜想的提出者是一位业余数学家——以律师为职业的法国人费尔马（Fermat），更令人惊讶和费解的是费尔马本人对这个猜想曾宣称：“我确实找到了一个巧妙的证明，但是边页太窄，写不下。”然而费尔马对数学的发展所作出的巨大贡献却远不止于此，他对数论、解析几何、微积分、概率论和几何光学等方面的开创和发展均作出了不可磨灭的巨大贡献。本日志将对费尔马的生平和成就作一简介，我们假设读者具有中学或以上的数学知识。费尔马1601年8月17日出生于法国图卢兹，其父是一个皮革商，童年的他接受家庭教育，三十岁时他获得地方议会辩护士的职位，他工作踏实诚恳、谦虚谨慎。在几乎全部的业余时间里，他潜心研究数学，虽然没有发表多少著作和论文，但他以其独特的方式即通信方式与那个时代的杰出的数学家相互交流、切磋最新的数学研究成果，并对他们产生非常大的影响。他的众多的贡献不仅丰富、开拓了许多数学分支，而且一直影响到某些分支的研究方向，例如数论中的丢番图方程的研究。1665年1月12日费尔马与世长辞。费尔马与笛卡儿（Descartes）独立的发现了解析几何。甚至可以说费尔马稍早一些。1636年9月他在给友人罗伯瓦的信中说他已经发现七年了。事实上费尔马与笛卡儿是从不同的方向来发现解析几何的，在他去世后才发表的著作《平面和立体的轨迹引论》中，他是用方程给出直线、圆、抛物线、双曲线和椭圆。而笛卡儿则是提出较少几种借助于机械运动定义新曲线。费尔马由求解极值问题切入到微分法，当伟大的数学家、物理学家牛顿（Newton）看到时，从而进一步提炼出微积分，费尔马也求出过很多积分。因此在说德国伟大数学家、哲学家莱布尼兹（Leibniz）和牛顿创立了微积分学时，不得不提及费尔马的贡献。费尔马与数学家、物理学家帕斯卡在通信中非常有兴趣地讨论了两个赌徒在瓜分赌金时所产生的问题，最后他们合理地解决了此问题。可是当时谁也没有料，费尔马和帕斯卡的研究却开创了一个全新的、应用广泛的数学分支即概率论。费尔马在研究光的折射现象，提出了最短时间原理，推导出光的折射定律，可以看作是后来发展的变分法之开始。费尔马找出了△ABC中一个点P，使得P点到△ABC三顶点A、B、C的距离之和PA＋PB＋PC最小。通常我们称点P为△ABC的费尔马点。众所周知的结论是：不妨设∠A为△ABC的最大角，则（1）当∠A＜120°时，分别以边长BC、CA、AB向△ABC外侧作等边三角形BDC、CEA、AFB，则这三个等边三角形在△ABC内的交点P即费尔马点；（2）当∠A≥120°时，则顶点A即费尔马点。值得提到的费尔马这一美妙的结果现在还被拓广于关于三角形的几何不等式特别是动点类几何不等式的研究中，并得到一系列优美的结果。关于这点，有兴趣的朋友可搜索我的友人杨学枝、禇小光和刘健三位先生近十年来的研究结果。费尔马在数论方面的研究结果更是引人入胜。① 设p为素数，整数a与p互素，则a∧(p－1)≡1(mod p)上式称之为费尔马小定理，是费尔马1640年给德·贝西（De Besy）的信中指出的，直至1736年才由欧拉（Euler）给出第一个证明。② 每一奇素数可用且仅可用一种方法表示为两平方数之差。③ 形如4n＋1的素数可表示为两平方数之和。这是费尔马1640年提出的而被欧拉于1754年所证明，同时还证明了其唯一性。④ 费尔马还提出每一非负整数可表为不超过四个平方数之和。1770年法国杰出数学家拉格朗日（Lagrange）给出了证明。⑤ 费尔马曾提出 f(n)=2∧（2∧n）+1对非负整数n均为素数。当时可验证当n=0,1,2,3,4时f(n)分别等于3,5,17,257,6537的确均为素数，可是1732年欧拉证明了f(5)=641*670417为合数，从而关于费尔马数均为素数的猜想不成立。尽管如此，寻求是否还有费尔马形素数至今还在继续进行。⑥ 本篇日志文首提及的费尔马大定理（或称费尔马最后定理）是费尔马对数论研究的最杰出的贡献，它困惑了357年间的几代杰出的数学家们，直至1994年10月终于为怀尔斯所破解。费尔马大定理是这样陈述的：设n为大于或等于3的正整数，则方程X∧n＋y∧n=z∧n无整数解历史上研究费尔马大定理当为具体的n时成立的结果如下：n=3 欧拉 1770年n=4 费尔马n=5 狄利克雷、勒让德 1825年n=7 拉梅 1839年n<100 库默尔 1844年n<125000 瓦格斯塔夫 1926年n<41000000 罗瑟 1985年费尔马大定理好象在与人类的智慧挑战似的，似乎让人们看不见彻底解决的希望。然而曙光在1983年出现了，德国数学家法尔廷斯证明了莫代猜想：x∧2+y∧2=1这样的方程至多有有限个有理数解，从而直接推出 费尔马方程 x∧n+y∧n=z∧n (n≥3)至多有有限组整数解。另一方面，1955年日本数学家谷山丰和志村五郎提出猜想：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。当时谁都没有想到这给日后怀尔斯证明费尔马大定理开辟了一条崭新的途径。1985年，德国数学家弗雷及佩尔指出了谷山—志村猜想与费尔马大定理之间的联系即：如果费尔马大定理不成立则谷山—志村猜想亦不成立。1986年美国数学家里贝林证明了弗雷、佩尔的命题。1993年6月怀尔斯宣布他证明了谷山—志村猜想对半稳定的椭圆曲线成立，从而费尔马大定理成立，因为与费尔马大定理相关联的那条椭圆曲线是半稳定的。后来数学家们在怀尔斯的冗长的证明中找到一点小漏洞，经怀尔特和其学生泰勒又一年零二个月的努力，克服了这一小漏洞，终于在1994年10月修成正果，完全证明了费尔马大定理。而怀尔斯因此荣获1998年的菲尔兹数学奖。律师费尔马不愧为有史以来最伟大的业余数学家！

怀尔斯发表论文

费马大定理： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 的整数解都是平凡解，即 当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m) （补充：（0，0，0）是其中一个特殊解2008年由赵浩杰提出） 当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0) 这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。安德鲁·怀尔斯（公元1953年4月11日—）是当代有名的英国数学家。1974年毕业于牛津大学默顿学院。1977年在剑桥大学克莱尔学院获博士学位。其后任克莱尔学院初级研究员及哈佛大学助理教授。1981年到美国普林斯顿高等研究院任研究员。1982年任普林斯顿大学（Princeton University）教授，1988—1990年任牛津大学皇家学会研究教授。1989年当选为伦敦皇家学会会员。1994年以后任普林斯顿大学欧根‧希金斯（Eugene Higgins）讲座教授。怀尔斯对数学的最大贡献是证明了历时350多年的、著名的费马猜想。在此之前，他于1977年和科茨（Coates）共同证明了椭圆曲线中最重要的猜想——伯奇—斯温耐顿—代尔（Birch-Swinnerton-Dyer）猜想的特殊情形（即对于具有复数乘法的椭圆曲线）；1984年和马祖尔（Mazur）一起证明了岩泽理论中的主猜想。在这些工作的基础上，他于1994年通过证明半稳定的椭圆曲线的谷山—志村—韦伊猜想，从而完全证明了费马最后定理。他因此赢得多种荣誉和奖励：1996年当选为美国国家科学院外籍院士并获该科学院数学奖；同年还获欧洲的奥斯特洛夫斯基奖和瑞典科学院舍克奖、法国的费马奖；1997年获美国数学会科尔奖，同年最终获得1908年沃尔夫斯科尔（Wolfskehl）为解决费马猜想而设置的10万马克奖金。由于他在费马最后定理方面的成就又获1996年度沃尔夫奖，以及1998年国际数学家大会颁发的特别贡献奖。 附：安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的故事 解答数学“大问题”——证明费马大定理的故事 为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn+Yn=Zn,当n大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了一个数学史上最深奥的谜。要证明费马最后定理是正确的 （即x^ n+ y^n = z^n 对n>2 均无正整数解） 只需证 x^4+ y^4 = z^4 和x^p+ y^p = z^p (P为奇质数)，都没有整数解。 费马大定理证明过程: 对费马方程x^n+y^n=z^n整数解关系的证明，多年来在数学界一直颇多争议。本文利用平面几何方法，全面分析了直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的存在条件，提出对多元代数式应用增元求值。本文给出的直角三角型边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则”；“增比计算法则”；“定差公式法则”；“a值奇偶数列法则”；是平方整数解的代数条件和实践方法；本文提出建立了一元代数式的绝对方幂式与绝对非方幂式概念；本文利用同方幂数增比性质，利用整数方幂数增项差公式性质，把费马方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整数解判定问题，巧妙地化为了一元定解方程问题。 关键词：增元求解法 绝对方幂式绝对非方幂式 相邻整数方幂数增项差公式 引言：1621年，法国数学家费马（Fermat）在读看古希腊数学家丢番图（Diophantna）著写的算术学一书时，针对书中提到的直角三角形三边整数关系，提出了方程x^n+y^n=z^n在n=2时有无穷多组整数解，在n＞2时永远没有整数解的观点。并声称自己当时进行了绝妙的证明。这就是被后世人称为费马大定理的旷世难题。时至今日，此问题的解答仍繁难冗长，纷争不断，令人莫衷一是。 本文利用直角三角形、正方形的边长与面积的相互关系，建立了费马方程平方整数解新的直观简洁的理论与实践方法，本文利用同方幂数增比定理，对费马方程x^n+y^n=z^n在指数n＞2时的整数解关系进行了分析论证，用代数方法再现了费马当年的绝妙证明。 定义1．费马方程 人们习惯上称x^n+y^n=z^n关系为费马方程，它的深层意义是指：在指数n值取定后，其x、y、z均为整数。 在直角三角形边长中，经常得到a、b、c均为整数关系，例如直角三角形 3 、4、 5 ，这时由勾股弦定理可以得到3^2+4^2=5^2，所以在方次数为2时，费马方程与勾股弦定理同阶。当指数大于2时，费马方程整数解之研究，从欧拉到狄里克莱，已经成为很大的一门数学分支. 定义2．增元求解法 在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法，叫增元求解法。 利用增元求解法进行多元代数式求值，有时能把非常复杂的问题变得极其简单。 下面，我们将利用增元求解法来实现对直角三角形三边a^2+b^2=c^2整数解关系的求值。 一，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则” 定理1．如a、b、c分别是直角三角形的三边，Q是增元项，且Q≥1，满足条件： a≥3 { b=（a^2-Q^2）÷2Q c= Q+b 则此时，a^2+b^2=c^2是整数解； 证：在正方形面积关系中，由边长为a得到面积为a^2，若（a^2-Q^2）÷2Q=b（其中Q为增元项，且b、Q是整数）,则可把面积a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解关系按下列关系重新组合后可得到图形： Q2 Qb 其缺口刚好是一个边长为b的正方形。补足缺口面积b^2后可得到一个边长 Qb 为Q+b的正方形，现取Q+b=c，根据直角三角形边长关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2条件可知，此时的a、b、c是直角三角形的三个整数边长。 故定理1得证

百多页的书，你自己找吧。。。我反正看不懂

分类: 理工学科 解析: 1994年10月，美国普林斯顿大学数学教授安德鲁·怀尔斯，终于圆了童年的梦想，证明了费马大定理。他的论文发表在1995年5月的《数学年刊》上。 费马大定理源自法国人皮埃尔·德·费马。费马生于1601年8月20日，卒于1665年1月12日，是法国地方 *** 系统中的文职官员，又是业余数学爱好者。从职业上说，他是业余数学家；而从数学成就上说，他足以跻身于伟大专业数学家行列。 所谓费马大定理，或费马猜想（在未证明之前，只能称之为猜想），得从直角三角形的勾股定理（或称毕达哥拉斯定理）说起。学过平面三角的人都知道，直角三角形两直角边的平方之和等于其斜边的平方。或者写成代数式子，即为X 2＋Y 2＝Z 2。勾股定理中的X、Y和Z有整数解。可以证明，这种X、Y和Z的组合有无限多个。但是，如果把上述公式中的指数2改为3，或更一般地，改为大于2的整数N，则发现难于找到X、Y和Z的整数解。大约在1637年前后，费马在他保存的《算术》一书的页边处写道：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；总的来说，不可能将一个高于两次的幂写成两个同样次幂的和”。他又写了一个附加评注：“我有一个对这命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”这就是费马大定理。费马逝世后，他的长子克来孟一缪塞尔·费马意识到他父亲的业余爱好所具有的重要意义，花了5年时间，整理了其父在《算术》一书上的页边空白处的评注，于1670年出版了附有费马注评的《算术》的特殊版本。费马大定理才得以公诸于世，并传于后世。 费马大定理看起来很简单，很容易理解，但要证明它却难住了300多年来一代代杰出的数学家。 安德鲁·怀尔斯出生于英国剑桥，1980年移民美国。1963年他10岁。有一天他从学校漫步回家时，走进了弥尔敦路上的图书馆，被埃里克·坦普尔·贝尔写的《大问题》一书吸引住了。这是怀尔斯第一次接触到费马大定理，他心中产生了征服这个数学难题的强烈愿望。 在以后的岁月中他一直在为实现这个目的而做着准备。他修完了数学学士和博士学业，成为数学教授，加入职业数学家的行列。他广泛吸收和潜心研究各种新的数学理论和方法，并综合应用它们，克服一个又一个的挫折和困难，并最终战胜了300多年来的挑战，把费马大定理的证明划上了圆满的句号。 从上面安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的故事中我以为至少可以得到以下几点启示： 一、优秀的科普书籍对人民群众、特别是青少年有巨大的影响。如果安德鲁·怀尔斯没有看到有关科学著作，如果这些科学著作没有以生动形象的手法通俗地介绍科学问题，则很难有安德鲁·怀尔斯的成功。目前，我国对科技工作，包括科普事业的重视程度不断提高，两院院士也投身到科普创作中来了，这是很可喜的现象。但是，只靠院士们的力量，还是不够的，要发动社会上其他人士也加入到科普创作的行列中来。还要建立一些鼓励科普创作和出版的机制，资助一些科普书籍的创作和出版。 二、要实现自己的理想，必须要脚踏实地地去学习，去奋斗。解决困扰世人几百年的数学难题，没有扎实的数学基础，不了解所研究问题的来龙去脉，不掌握几百年来人们对它研究取得的成功经验和失败教训，不融汇贯通地应用各种数学理论和方法，是不可能取得成功的。安德鲁·怀尔斯为实现自己10岁时的梦想，学习、奋斗了30多年，才最终得到成功。这说明在科学上来不得半点虚假，没有投入是得不到成功的。 三、研究和解决一些数学难题，会推动某些数学分支、甚至整个数学学科的发展。例如，安德鲁·怀尔斯在证明费马大定理中融合了各种数学理论和方法，开辟了处理其他众多数学问题的新思路，推进了数学的重大发展。而数学又是推动其他科学和技术发展的有力工具，数学的发展必然会推动生产力的发展。因此，所谓“理论脱离实际”是以狭窄的、片面的和局限的思维方式看问题所得出的观点。从历史的、全面的和总体的观点看，即使像证明费马大定理和哥德巴赫猜想这样抽象的数学问题，也是与人类文明和科学技术的发展息息相关的。当然，自然科学中有些与人类的生产活动联系得直接些、密切些，有些则间接些、疏远些。但是，无论与生产活动联系密切的科学，还是较不密切的科学，它们的进步都将推动生产力的发展。只是有的能迅速地、直接地见效，有的则不那么迅速，不那么直接地显示出来

查尔斯沃斯论文发表

世界上第一位高定设计师是查尔斯·弗莱德里克·沃斯（CharlesFrederickWorth），既被誉为"高级定制之父"。

亦为时尚界开创了一个新的时代：他是世界上第一个创立时装品牌的设计师、第一个将个人品牌标志缝在定制服装上、同时也是第一个启用真人模特创办时装发布会的人。他的精湛技艺和独创精神，为时装史留下了划时代的诸多创举。

人物事迹：

查尔斯·沃斯1826年出生于英国乡下的林肯郡，父亲因生性好赌，以至家庭生活贫困潦倒·12岁的沃斯为生活前往巴黎，以销售高级丝绸及开司米成衣为主，并倾心于布料方面的研究。

查尔斯·沃斯是第一位在欧洲出售设计图给服装厂商的设计师，也是服装界第一位开设时装沙龙的人，更是时装表演的始祖。

在沃斯之前，时装表演仅限于静止的展览，而沃斯则请其夫人一件一件的试穿并走动展示。这种以实际人体着衣的模特展示，成为后来时装模特表演的开端。

有名查尔斯沃思集团在英国有名。 查尔斯沃思(北京)信息服务有限公司隶属于英国查尔斯沃思集团(The Charlesworth Group)。集团成立于1928年,总部位于英国,在美国和中国设有分公司。查尔斯沃思集团是世界领先的出版、印刷服务提供商和版权代理机构,客户包括有许多世界知名的组织机构和出版商

查尔斯弗莱德里克沃斯 世界上第一位高定设计师是查尔斯弗莱德里克沃斯，被誉为高级定制之父。他是世界上第一个创立时装品牌的设计师、第一个将个人品牌标志缝在定制服装上、同时也是第一个启用真人模特创办时装发布会的人。 世界上第一位高定设计师是查尔斯弗莱德里克沃斯（Charles Frederick Worth），既被誉为高级定制之父，亦为时尚界开创了一个新的时代：他是世界上第一个创立时装品牌的设计师、第一个将个人品牌标志缝在定制服装上、同时也是第一个启用真人模特创办时装发布会的人...他的精湛技艺和独创精神，为时装史留下了划时代的诸多创举。 沃斯在时装界一项首创是,首先使用时装模特儿,他也是时装表演的始祖.沃斯认为:服装的静态展示是无法体现设计家全部想象的.第一个模特儿就是以后的成为他妻子的法国女郎玛丽弗内.起初他为这位漂亮的女职员设计服装,由于她的穿着,使沃斯的设计添风采.有一次她穿了一套线条简朴的薄纱织物的外套,配上高级的丝绸围巾,立刻被巴黎女子竞相仿效.婚后,沃斯更是为美貌的妻子设计,而沃斯沙龙里的服装,就由玛丽一件件试穿,并走动展示.玛丽在社交场合的服饰,亦常常成为世风流行。 查尔斯沃斯是第一位在欧洲出售设计图给服装厂商的设计师,也是服装界第一位开设时装沙龙的人,更是时装表演的始祖.在沃斯之前,时装表演仅限于静止的展览,而沃斯则请其夫人一件一件的试穿并走动展示.这种以实际人体着衣的模特展示,成为后来时装模特表演的开端。 然而，查尔斯沃斯最伟大的成就应该是他将服装高级化的贡献.他虽然未被誉为最伟大的设计师,但是在1885年,他的儿子当选法国服装协会理事长时,首创了高级时装发布会制度.孙子杰克继任为第二届理事长后,更致力于高级时装展示会的推展.此会后来扩大为高级时装展示和成衣展示两大系统,每年在巴黎举办两次发表会。 在布料的使用方面，查尔斯沃斯是公主线时装的发明者,也是西式套装的创始人.他喜欢在衣身装饰精细的褶边、蝴蝶结、花边,在肩上垂挂皇家金饰及可折叠的钢架裙襟.其作品深受西班牙维拉斯贵兹及比利时范戴克等艺术大师的影响。

尼尔斯波尔发表的论文

尼尔斯·玻尔是现代物理学最重要的科学家之一，他最著名的贡献是对量子理论和他获得诺贝尔奖的原子结构研究。

1885年出生于哥本哈根，父母受过良好教育，玻尔从小就对物理学感兴趣。他在本科和研究生期间一直学习这门学科，并于1911年在哥本哈根大学获得物理学博士学位。

当他还是学生时，玻尔在哥本哈根的科学院举办的一场竞赛中获胜，因为他对使用振荡流体射流测量液体表面张力的研究。波尔在他父亲（一位著名的生理学家）的实验室里工作，进行了几项实验，甚至自己制作了玻璃试管。

波尔通过考虑水的粘度，并结合有限的振幅而不是无穷小的振幅，超越了当前的液体表面张力理论一个。他在最后一刻提交了论文，获得了第一名和一枚金牌。根据Nobelprize.org的报道，他改进了这些想法，并将其提交给伦敦皇家学会，并于1908年在《皇家学会哲学事务》杂志上发表。他的后续工作越来越理论化。正是在进行金属电子理论博士论文的研究时，玻尔第一次接触到马克斯·普朗克早期的量子理论，该理论将能量描述为微小粒子或量子。

1912年，玻尔被介绍给欧内斯特·卢瑟福时，正在英国为诺贝尔奖获得者J.J.汤普森工作，他对原子核的发现和原子模型的发展使他在1908年获得了诺贝尔化学奖。在卢瑟福的指导下，玻尔开始研究原子的性质。

玻尔于1913年至1914年在哥本哈根大学担任物理学讲师，并于1914年至1916年在曼彻斯特维多利亚大学担任类似职位。1916年回到哥本哈根大学，成为理论物理学教授。1920年，他被任命为理论物理研究所所长。

结合卢瑟福对原子核的描述和普朗克关于量子的理论，玻尔解释了原子内部发生的事情，并绘制了原子结构图。这项工作使他在1922年获得了自己的诺贝尔奖。

同年，他开始与卢瑟福的研究，波尔结婚了他一生的挚爱，玛格丽特Nørlund，与他有六个儿子。后来，他成为丹麦皇家科学院院长，也是世界各地科学院院士。

当纳粹在第二次世界大战中入侵丹麦时，玻尔设法逃到了瑞典。他在英国和美国度过了战争的最后两年，在那里他参与了原子能项目。然而，对他来说，重要的是要将他的技能用于善而不是暴力。他致力于和平利用原子物理学和解决发展毁灭性原子武器引起的政治问题。他认为各国之间应该完全开放，并在1950年致联合国的公开信中写下了这些观点。

玻尔对现代物理学的最大贡献是原子模型。玻尔模型显示原子是一个被轨道电子包围的带正电的小原子核。

玻尔是第一个发现电子在分离轨道围绕着原子核，外轨道上的电子数决定着元素的性质。

元素周期表上的化学元素bohrium（Bh），编号107，以他的名字命名，

玻尔的理论工作为科学家理解核裂变做出了重大贡献。根据他的液滴理论，液滴提供了原子核的精确表示。

这一理论在20世纪30年代分裂铀原子的第一次尝试中发挥了重要作用，波尔是原子弹发展的重要一步，尽管他在二战期间为美国原子能项目做出了贡献，但他还是直言不讳地提倡和平利用原子物理学，并提出了波尔的互补性概念，他在1933年至1962年间的一系列文章中提到，电子可以被看作两种方式，一种是粒子，一种是波，但绝不能同时被看作两种方式。

这个概念构成了早期量子理论的基础，也解释了无论人们如何看待电子，对其性质的所有理解都必须植根于经验测量。玻尔的理论强调，实验的结果深受测量工具的影响。

玻尔对量子力学研究的贡献在哥本哈根大学理论物理研究所永远被铭记，他在1920年帮助建立了这个研究所，直到去世1962年。后来为了纪念他，它被重新命名为尼尔斯玻尔研究所。

“每一个伟大而深刻的困难都有自己的解决办法。它迫使我们为了找到它而改变自己的想法。

“我们称为真实的一切都是由不能被视为真实的东西构成的。”

“独裁的最好武器是秘密，但民主的最好武器应该是公开的武器。”

“永远不要把自己表达得比你能表达得更清楚。”思考。

由Traci Pedersen，Live Science贡献者

波尔(Niels Henrik David Bohr，1885~1962)，丹麦物理学家。他于1913年在原子结构问题上迈出了革命性的一步，提出了定态假设和频率法则，从而奠定了这一研究方向的基础。波尔指出： (1)在原子系统的设想的状态中存在著所谓的"稳定态"。在这些状态中，粒子的运动虽然在很大程度上遵守经典力学规律，但这些状态稳定性不能用经典力学来解释，原子系统的每个变化只能从一个稳定态完全跃迁到另一个稳定态。 (2)与经典电磁理论相反，稳定原子不会发生电磁辐射，只有在两个定态之间跃迁才会产生电磁辐射。辐射的特性相当於以恒定频率作谐振动的带电粒子按经典规律产生的辐射，但频率u与原子的运动不是单一关系，而是由下面的关系来决定 h = E'-E"。这就是波尔的原子能。 生平简述 波尔1885年10月7日出生於丹麦的哥本哈根。他父亲是一位生理学教授，思想开明。为使两个儿子从小就热爱自然科学，经常与朋友们一起就科学、哲学、文化及政治等问题进行有趣的讨论，以薰陶波尔和它的弟弟海拉德。除此之外，波尔的父亲还极为重视两个儿子的体质，培养他们的体育兴趣。所以，波尔和弟弟在少年时代就成了著名足球运动员，长大以后，他弟弟还进入了国家足球队，而波尔还具有了兵兵球、帆船和滑雪等终身爱好。 波尔在童年时代是一个行动缓慢、做事专心的孩子。他在学校里各门功课都很好，尤其是物理学和数学。他还酷爱文学，但本族语学得很费力。他一生都用功克服这一困难，花了很多时间一遍一遍地抄写手稿 不管是科学论文、大会发言稿，还是给朋友的信件。这反映了波尔对准确性的迫切要求和使自己的著作能传递尽可能多信息的强烈愿望。为了培养波尔的动手能力，他父亲为他购置了车床和工具。心灵手巧的波尔很快就熟练地掌握了金工技术，并敢於修理一切损坏了的东西，家里的钟表或自行车坏了，都是波尔自己动手修理。 在中学时代，波尔虽然是班里的第一名，但他从来不爱虚荣，甚至不曾为争夺第一名奋斗过。 他思维非常迅速，自然地、毫不拘束地发展著自己的才能，并毫不动摇地选择了自己的道路 做一个物理学家。 1903年，波尔顺利地中学毕业，进入了哥本哈根大学自然科学系。起初，他酷爱在大学的实验室里做实验，到二年级时，他决定参加丹麦皇家科学协会组织的优秀论文竞赛用瑞刊在1873年提出的射流振动法测定?获得了卡尔斯堡基金会的一笔助学金，从而有机会到英国剑桥大学卡文迪许实验室，跟随当时最有权威的物理学家J.J·汤木生 进行深造。 但波尔和J.J·汤姆逊处得并不融洽，原因是波尔和J.J·汤姆逊 第一次见面时就指出了J.J.汤姆逊 一篇论文中一些他认为错误的地方。于是，在1912年春转到了曼彻斯特大学的卢瑟福实验室工作。 实验室里有许多被卢瑟福发现和吸引来的优秀青年人才，如盖革、马考瓦、马斯登、埃万斯、拉歇尔、法扬斯、莫寒莱、海鸟希、查兑克 、达尔文等，波尔和他们相处得非常好，并和其中大部人成了终生朋友。这当中关系最好的，除了卢瑟福之外，就是海鸟希了。这位匈牙利物理学家是一位十分机敏可爱的交谈伙伴，时时处处成为集体的中心。他帮助波尔了解实验室当前大家最关心的问题，熟悉实验室的每个成员，并且海鸟希还精通化学，而波尔正好极需要这方面的知识。 波尔在卢瑟福的实验室工作了四个多月，於1912年7月底回国，因为他将在8月1日举行婚礼。在卢瑟福实验室工作的四个多用里，波尔收获极大，他对卢瑟福衷心敬重，无论在为人方面还是在治学方面，卢瑟福都是他的楷模。两位伟大的物理学家之间深厚而纯朴的友谊就这样开始了，这一友谊延续了四分之一世纪，直到卢瑟福过早地离世。 1912年9月，波尔到哥本哈根大学担任编外副教授，主讲热力学的力学基础。波尔在讲课中表现出一个教师的非凡才干，不管多难理解的问题，他都讲得清清楚楚、饶有兴趣。 在上课的同时，波尔继续在理论上进行探索，1913年，他发表了著名论文《原子和分子的结构》，成为他迈向森严的科学王国的伟大起步。 1914年10月，波尔又应邀到英国曼彻斯特大学任副教授，主讲热力学、运动学、电磁学和电子理论，并继续进行实验研究和原子结构理论及带电粒子制动理论的研究，取得了丰硕的成果。随著波尔声望的不断提高，哥本哈根大学决定为波尔设立理论物理学教授职位，于是，波尔於1916年夏天回国，成为哥本哈根大学理论物理学教授。第二年，他又被选为丹麦皇家科学协会会员。 19l8年11月第一次世界大战结束后，卢瑟福又邀请波尔去担任他们不久前专门设置的哲学博士职务，但波尔为了发展丹麦的物理学研究而婉言谢绝了。 1920年9月，在波尔的不懈努力下，哥本哈根大学终於建成了理论物理研究所，这个研究所成了吸引年轻而有富有天才的理论学家和实验物理学家研究原子及微观世界问题的白心。 海森堡、克拉迈尔斯、狄拉克、泡利、赫韦希、哈尔特列、朗道、派耶尔斯等许多杰出的物理学家都先后在这里工作过。在研究所里，波尔充分发挥每个年轻人的才干和独创性，从不借助行政手段进行领导，也不喜欢用指示或命令，因而充满著集体主义和友善精神。环境没有拘束，工作集思广益，解决了许多现代物理学最深奥的课题，形成了著名的哥本哈根学派，而波尔成了这一大学派的领袖。有人问波尔他的学派成功的奥秘何在，波尔回答说："我从来不怕在青年人面前出丑。" 波尔的每一天都被工作挤得满满的，即使晚年也像青年时代一样精力充沛，这使许多人感到惊奇。他不习惯使用时间表，从来不按工作计划工作，在节日和假日里也常常工作，甚至从挪威滑雪归来也不止一次地带回突然成熟的思想，在乘船远航时也不停止工作。因此，并不是每个人都能给波尔做助手的。要做他的助手，不仅要有坚强的神经系统，而且要放弃几乎全部的个人自由。因为这位导师在一天24小时内，随时都可能来找你谈一谈有关当前主要问题的复杂性，或者谈一谈他忽然想到的一个什麼主意，或者让你帮助他校正某种见解等。 1922年，波尔因对研究原子的结构和原子的辐射所做得重大贡献而获得诺贝尔物理学奖。为此，整个丹麦都沉浸在喜悦之中，举国上下都为之庆贺，波尔成了最著名的丹麦公民。为了支持正义与和平，波尔将自己的诺贝尔金质奖章捐给了芬兰战争。后来，人们又为他募集黄金重铸了一枚，永远陈列在丹麦博物馆里。 1924年6月，波尔被英国剑桥大学和曼彻斯特大学授予科学博士名誉学位，剑桥哲学学会接受他为正式会员，12月又被选为俄罗斯科学院的外国通讯院士。 1927年初，海森堡、玻恩、约尔丹、薛定谔、狄拉克等成功地创立了原子内部过程的全新理论 量子力学，波尔对量子力学的创立起了巨大的促进作用。 1927年9月，波尔首次提出了"互补原理"，奠定了哥本哈根学派对量子力学解释的基础，并从此开始了与爱因斯坦持续多年的关於量子力学意义的论战。爱因斯坦提出一个又一个的想像实验，力求证明新理论的矛盾和错误，但波尔每次都巧妙地反驳了爱因斯坦的反对意见。这场长期的论战从许多方面促进了破尔观点的完善，使他在以后对互补原理的研究中，不仅运用到物理学，而且运用到其他学科。 1933年，希特勒夺取了政权，德国成了法西斯国家，这对於丹麦来说是一个危险的邻邦。波尔不是一个对什麼都不关心的人，他既关心政治时事、国家生活，也关心国际事件。他对当时法西斯政权实行的种族迫害和政治迫害深感忧愁和愤怒，积极创立和参加了丹麦救援移民委员会，对从德国逃难到哥本哈根的科学家及其他难民，给予了尽力的支持相帮助。 1940年4月，德国侵占了丹麦，丹麦政府宣布投降。美国、英国等许多国家的大学打电报给波尔，邀请波尔全家到他们那里去避难和工作。波尔非常不安，友好的关心和对自己命运的焦虑打动著他的心。但是，这一切都没能动摇他留在自己的岗位 哥本哈根理论物理研究所的决心。 波尔相信，这一切都是暂时的，不久都会过去。因此，不应该陷入苦闷，要坚持下去继续工作，抵抗侵略者，为共同的斗争做出贡献。在以后的一段时间里，波尔日见消瘦，然而他却勇敢地和毫不妥协地坚持著。波尔不隐瞒自己的好恶爱憎，拒绝与侵略者合作并不与支持侵略者的人来往。 1943年9月，希特勒政权准备逮捕波尔，为了避免遭到迫害，波尔在反抗运动参加者的帮助下冒著极大的危险逃到了瑞典。在瑞典，他帮助安排了几乎所有的丹麦籍犹太人逃出了希特勒毒气室的虎口。过了不久，林德曼来电报邀请波尔到英国工作，波尔在乘坐一架小型飞机飞往英国的途中几乎因缺氧而丧生。在英国待了两个月后，根据美国总统罗斯福和英国首相丘吉尔签署的魁北克协议，美国和英国物理学家应密切合作共同工作。于是波尔被任命为英国的顾问与查德威克等一批英国原子物理学家远涉重洋去了美国，参加了制造原子弹的曼哈顿计划。波尔由於担心德国率先造出原子弹，给世界造成更大的威胁，所以也和爱因斯坦一样，以科学顾问的身分积极推动了原子弹的研制工作。 但他坚决反对在对日战争中使用原子弹，也坚决反对在今后的战争中使用原子弹，始终坚持和平利用原子能的观点。他积极与美国和英国的国务活动家取得联系，参加了禁止核实验，争取和平、民主和各民族团结的斗争。对於原子弹给日本造成的巨大损失，他感到非常内疚，并为此发表了《科学与文明》和《文明的召唤》两篇文章，呼吁各国科学家加强合作，各平利用原子能，对那些可能威胁世界安全的任何步骤进行国际监督，为各民族今后无忧无虑地发展自己的科学文化而斗争。 1945年8月20日，波尔又回到了丹麦，继续担任理论物理研究所所长，并被重新选为丹麦皇家科学协会主席。在以后的日子里，波尔不仅积极参加和领导原子物理的理论研究，而且继续致力於发展原子能的和平利用。随著时间的推移，波尔为争取和平事业和国际合作而进行的斗争广为人们所知，他的威信越来越高，影响越来越大了。因此，1957年他理所当然的被授予第一届"和平利用原子能"奖。 波尔成了丹麦的骄傲，全国广泛举行了庆祝他诞辰60周年和70周年的活动。在庆祝他60周年诞辰时，为他建立了40万克朗的独立基金，以便他用来鼓励各种研究活动。在祝他70周年诞辰时，国王授予他丹麦一级勋章，政府和科协会决定设立铸有他头像的波尔金质奖章，用来奖励那些有卓越贡献的现代物理学家。 波尔在暮年时，仍然积极参加组织活动和社会活动，为巩固各国科学家的国际合作而到处奔波，直到1962年11月18日与世长辞。 从此，人们矢去了一位天才的科学家和思想家，一位争取世界和平和各国人民相互谅解的战士，一位纯朴、诚实、善良和平易近人的全人类的朋友。世界上许多国家约有关机构给丹麦皇家科学协会发来了无数唔电、信函，沉痛悼念这位科学巨人。 12月14日，隆重举行了纪念波尔的大会，国王夫妇、波尔的妻子、儿子、儿媳及许多波尔的朋友和同事出席了大会。大会的报告介绍了波尔对物理学和哲学的发展所做的不朽贡献，以及他的活动对皇家科学协会的重大意义。夜晚，大家自发地聚集在一起，倾谈对波尔的怀念。 为了纪念波尔，哥本哈根大学理论物理研究所被命名为尼尔斯．波尔研究所。

怀素未发表的论文

可以的，我就申请过一次，但是后面有事情耽误了，就终止了申请。但是好像在校期间，论文发表的话申请到的几率会更大哦。如果回答满意，希望您能采纳一下，谢谢了~

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可以写进去。因为论文被录用了就代表文章予以拟发表。

论文被杂志社录用了就代表文章予以拟发表。

因为所有的学术期刊，不管是核心还是普刊，到最后都有一个主编终审环节，也就是在临出刊前，杂志社美编会把文章排版好，然后打印成小样，交由主编或编委会进行最终审核与校对；

这个环节是真的可能会退稿的，即使初审和复审都按照终审层层把关，但如果文章主编觉得不行，还是会退稿。发表过的后期都会被期刊网收录的,后期毕业论文检测的时候都会被检测出来的,算复制率的,还是重新写吧。

硕士毕业论文格式：

1.毕业论文 一律打印,采取a4纸张,页边距一律采取:上、下2.5cm,左3cm,右1.5cm,行间距取多倍行距(设置值为1.25);字符间距为默认值(缩放100%,间距:标准),封面采用教务处统一规定的封面。

2.字体要求 论文所用字体要求为宋体。

3.字号 第一层次题序和标题用小三号黑体字;第二层次题序和标题用四号黑体字;第三层次及以下题序和标题与第二层次同;正文用小四号宋体。

4.页眉及页码 毕业论文各页均加页眉,采用宋体五号宋体居中,打印“河北大学xxxx届本科生毕业论文(设计)”。页码从正文开始在页脚按阿拉伯数字(宋体小五号)连续编排,居中书写。