已发表的数学分析论文

已发表的数学分析论文

樊畿的父亲樊琦（1879—1947）曾在金华、温州等地的地方法院任职。樊八岁时随父到金华，初中阶段先后在金华中学、杭州宗文中学和温州中学就读。他各科成绩均优，唯不喜欢英文，原因是“讨厌呆板地记忆生词和不可理喻的文法”。1929年初中毕业时，考入不用英文的吴淞同济附中。这是四年制高中，第一年专习德文。1932年的“一·二八事变”后，同济附中不能开课，樊插班到金华中学读高三，半年后就高中毕业了。1932年秋，樊入北京大学数学系。他本想读工科，但因姑父冯祖荀在北京大学任数学系主任，更由于北大不考英文，因此决定樊走上了数学道路。樊攻读数学得心应手。二年级时，德国数学家E．施佩纳（SPerner）来华讲学，在北大讲授“近世代数”，使用的教材是O．施赖埃尔（Schreier）和施佩纳合著的德文原版《解析几何与代数引论》（Einfuhrung in die analytischeGeometrle und Algebra）与《矩阵讲义》（Vorlesungen uberMatrizen）两书。樊听完课之后，利用暑假将两者译出，合为《解析几何与代数》，由冯祖荀作序并推荐给商务印书馆。1935年，该书初版作为《大学丛书》之一发行。1960年在台湾印行了第七版。在大学生时期，樊还译过E．兰道（Landau）的《理想数论初步》（Einfurung in die elentare Theoric der algebraischenZahlen und der Ideale），并与孙树本合著《数论》，先后由商务印书馆出版。1936年，樊在北京大学毕业之后，留校任教。1938年下半年，由法国退回庚子赔款设立的中法教育基金会，招考数学、化学、生物三科各一名去法国留学。樊是数学科的被录取者。1939年初启程去巴黎。他本打算攻读代数学，但在临行前，程毓淮（北京大学）和蒋硕民（南开大学）两教授建议他跟随M．R．弗雷歇（Prechet）学习，指出“弗雷歇的分析和代数差不多”。对这一指点，樊终生感激。确实，作为泛函分析先驱学者的弗雷歇，曾发展一套抽象的分析结构，在当时崇尚函数论等“硬分析”的法国独树一帜。樊到巴黎之后，请曾来中国访问的J．阿达玛（Hadam-ard）给弗雷歇写了一封介绍信，彼此渐渐熟悉，弗雷歇就成了樊的导师。1941年，樊以“一般分析的几个基本概念”的学位论文，获得法国国家博士学位。当时第二次世界大战正在进行，樊幸运地成为法国国家科学研究中心的研究人员，并且在庞加莱数学研究所从事数学研究。战时的生活紧张而清苦，但研究工作不断取得成果。到1945年大战结束时，樊已发表论文20余篇。他和弗雷歇合著的《组合拓扑学引论》（Introdution a la topologiecombinatoire）一书也于1946年刊行，以后又发行了英文版和西班牙文版。樊在第二次世界大战之后，转往美国发展。1945—1947两年，他是普林斯顿高级研究院的成员。当时，世界著名数学家云集普林斯顿，其中包括战前已来美国的H．外尔（Weyl）和J．冯·诺依曼（von Neumann）。樊后来的工作深受他们的影响，学术上也有更大的进展。1947年之后，樊去圣母大学任教，从助教授、副教授，到教授。1960年曾到底特律城的韦恩州立大学任教一年，随即转到芝加哥附近的西北大学，直至1965年应聘为加州大学圣巴巴拉分校数学教授。1964年，台北中央研究院推选樊为院士。1978—1984年1745 间，他曾连任两届该院的数学研究所所长。他还曾任德克萨斯大学（奥斯丁）、汉堡大学、巴黎第九大学及意大利的卑鲁加（Perugia）大学的访问教授。从1960年起，担任《数学分析及其应用》（Journal of Mathematical Analysis and its Application）的编辑委员共32年。他还是《线性代数及其应用》（Linear Algebraand its Application）的杰出编辑，1993年又被聘为荷兰的《集值分析》（Set Valued Analysis）和波兰的《非线性分析中的拓扑方法》 （Topological Methods in Nonlinear Analysis）的编辑委员。1985年夏，樊正式退休。数学界为他举行了盛大的学术活动，世界各地的许多数学家前来参加。加州大学圣巴巴拉分校宣布成立樊助理教授（Ky Fan Assistant ProfessorshiP）职位。这次为樊荣誉退休而举行的学术会议论文集，题为《为樊举行的会议录：非线性分析和凸分析》（Nonlinear and convex analysis，Proceediny in honor of Ky Fan）。其中收录了樊到那时的全部论文目录。樊退休之后，继续担任杂志编辑，且仍有著作问世。1989年，他应邀访问香港中文大学，是该校联合学院的杰出访问学者。1990年5月，巴黎第九大学授予樊名誉博士学位。1990年，他曾出席矩阵论方面的会议，应邀作宴会后演讲。1992年5月，应邀访问波兰。1993年到东京参加“非线性分析与凸分析”会议，是该会的四名学术委员之一。樊从1947年离开大陆之后，长期没有机会返回故土。1981年，他已准备好大陆之行，临时因手术而取消。1988年南开大学召开不动点理论会议，也因健康原因未能与会。1989年5月，樊应北京师范大学之邀回到阔别50多年的北京，讲学两周之后，又去北京大学、中国科学院数学研究所、武汉大学、浙江大学、杭州大学等校演讲。访问期间被聘为北京大学和北京师范大学的名誉教授。樊已将40余年收藏的数学书籍和杂志，除少量自己常用之外，全部捐献给母校北京大学。1993年5月，当杭州大学为纪念陈建功教授诞生100周年举行函数论国际讨论会时，樊再次回国讲学访问。樊畿教授于2010年3月22日在美国圣塔芭芭拉市的家中仙逝享年95岁。先生的逝世引起了美国乃至全世界科学界的震动。全球最具权威性与影响力的数学专业学术组织“美国数学学会（AMS）”在其网站上发布了先生的生平，公告先生的离世，并连续刊登缅怀先生重大数学贡献的专题文章。 樊畿师生前曾经执教20年的圣塔芭芭拉加州大学（UCSB）在3月24日那一天，特地为先生降了半旗。中国数学会与樊畿师的母校北京大学也为先生举办了隆重的纪念活动。2010年即将在日本召开的“第七次国际非线性与凸分析会议”，特别以纪念樊畿师为主题；随后，专业学报《非线性与凸分析》还要出版纪念专刊 。

微积分是高等数学的一部分知识，关于微积分的论文有哪些？接下来我为你整理了数学微积分论文的 范文 ，一起来看看吧。

摘要：初等微积分作为高等数学的一部分，属于大学数学内容。在新课程背景下，几进几出中学课本。可见初等微积分进入中学是利是弊已见分晓，其重要性不言而喻。但对很多在岗教师而言，还很陌生，或是理解不透彻。这样不利于这方面的教学。我将对初等微积分进入中学数学背景，作用及教学作简单研究.

关键词：微积分;背景;作用;函数

一、微积分进入高中课本的背景及必要性

在数学发展史上，自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以来，数学中的很多问题都得以解决。微积分已成为我们学习数学不可或缺的知识。其在经济、物理等领域的大量运用也使之成为解决生活实际问题的重要工具。但牛顿和莱布尼茨创建的微积分为“说不清”的微积分，也就是连他们自己也说不清微积分的理论依据，只是会应用。这使得很多人学不懂微积分，更不用说让中学生来学习微积分。

柯西和维尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分基础，这是第二代微积分，但概念和推理繁琐迂回，对高中生更是听不明白。近十年来，在大量的数学家如：张景中，陈文立，林群等的不懈努力下，第三代微积分出现了相比前两代说得清楚，对高中生而言，也更容易理解。这为其完全进入高中课本奠定了基础。从内容来看，新一轮的课改数学教材在微积分部分增加了定积分的 概念及应用(求曲边梯形面积，旋转体体积，以及在物理中的应用)，可能考虑到中学生的认知能力，人教版新教材与北师大版在这方面有所不同。即利用定积分求简单旋转体体积在北师大版教材中出现了，但人教版没有。

从课标和考试大纲(参考2011年高考考试大纲)上看，初等微积分所占比重也是越来越重。回顾历届高考，微积分相关题型分值越来越高。但就我个人观点，初等微积分在中学数学中的作用还没有真正全面发挥。我认为，它是学生中学数学和教师教学的一条线索，它是我们研究中学函数问题的统一 方法 ，也是联系中学与大学数学知识的纽带!

二、微积分在中学数学中的作用

1.衔接性与后继作用。微积分本是大学高等数学范畴，是大学开设的课程。让现在中学生提前学习部分微积分知识，这便为其以后升入大学学习微积分打下良好的基础，这也使数学知识从小学到大学从内容上衔接得更加紧密。也不会再出现很多大学生认为的大学数学知识在高中数学教学中没有任何作用的观点.

2.解决数学相关知识的作用。高中数学函数在整个中学数学内容中，不论从高考所占比重还是自身难度来说都应该排在首位。对学生来说永远是最难学的，得分率也相对比较低。很多学生讨厌数学就是讨厌函数，提到数学中的函数就头晕。由于应试 教育 的关系，学生又不得不学习函数，而函数思想本身也是高中数学学习的一条线索。微积分的进入对学生学习函数问题找到了统一的方法。高中阶段我们所研究的函数问题一般是以一些基本初等函数为媒介研究函数的定义，图像和性质，当然也有应用。但随着课改的深入，函数应用问题逐渐在淡化。而初等微积分知识即研究函数的重要工具，如：微积分可以求函数的单调性，最值。最重要的是它可以画出函数的图像，其实，当函数图像画好后，几乎函数所有性质都可以解决。学生只要学好微积分便掌握了研究函数的统一方法，那么高中阶段的二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等所有初等函数的学习就可以统一，既节约了教学时间又学习了先进的数学思想。对提高学生的数学修养打下坚实的基础。我相信还可以激发其学习数学的兴趣。另外，在高中阶段，初等微积分还可以解决不等式问题，求二次曲线的切线问题，求曲边梯形的面积等很多数学问题。利用微积分不仅可以使问题简化，并能使问题的研究更为深入、全面。

3.提高数学在其他学科的应用能力。作为自然学科的数学本身已应用于社会经济、技术等各个领域。而作为中学数学，它对中学 其它 学科的推动作用也是毋庸置疑的。如物理，化学，地理等学科也离不开数学。在高中阶段往往会因为数学的教学进度而影响其它学科的进度。如地理中要学习地球的经度，纬度等知识就需要先学习数学中球体相关知识和解三角形相关知识。当微积分进入中学数学后，数学这个学科的作用就更加重要了。特别像物理中匀加速直线运动位移，瞬时速度，加速度等问题利用微积分的导数求解起来更加简单，容易理解。新课程人教版数学教材选修2-2中专门加入了利用定积分求变速直线运动的路程一节。另外，微积分解决生活中的优化问题也进入中学课本。可见，微积分进入中学教材，对促进学科间知识的整合起到了至关重要的作用。

三、国际上一些教材对微积分知识的处理

以苏联中学为例，苏联中小学为十年制，从九年级(1)(相当于我国高中一年级)中讲了数学归纳法和排列组合以后，就介绍无穷数列和极限。然后介绍函数极限和导数，所有这些都在讲解三角函数，幂函数，指数、对数函数之前。随即介绍导数在近似计算，几何(求切线)和在物理中的应用(研究速度，加速度)以及导数在研究函数问题中得应用(求函数极值，最值，单调性等)。到九年级末及十年级(2)再讲三角函数， 利用导数可以研究三角函数的性质。然后介绍不定积分和定积分。接着在指数函数，对数函数和幂函数一章介绍指数函数的导函数，再利用反函数求得对数函数的导函数。在十年级(3)中利用微积分知识研究几何问题，用积分推导锥体，球体等的体积公式。还把球的表面积定义为球的体积V(R)对R的导数，从而立即求得球的表面积公式。可见，苏联课本中及早分散引入导数及积分的概念和计算，而不是到最后整块讲解。这样处理，可以使微积分知识结合研究函数问题，几何问题以及研究物理问题中都得到应用。

当然，还有比如台湾中学教材对微积分处理和我过现行教材区别不大，就不再介绍。而上诉对微积分的处理情况是一种在欧洲中学教材中较普遍的处理方式。其优点主要就是充分发挥了微积分在中学数学教学中的作用。使中学数学知识更加连贯，更加易懂!

摘 要：微积分是高等院校管理类专业的重要数学基础课，第一堂课是上好微积分的关键。通过三个方面就如何上好微积分绪论课做些探讨。

关键词：微积分;起源;内容;方法

微积分是门基础课，这门课的学习直接影响到今后专业课的学习，而绪论课对这门课的学习有着引导的作用，在整门课中有特殊的地位和作用。绪论课应包含下面几个部分的内容：

一、微积分起源的介绍

微积分包括两方面的内容：微分与积分。微积分的创立源于处理17世纪的科学问题。先引入微积分学的创始人之一费马研究的一个问题：假设一个小球正向地面落去，求下落后第5秒时小球的速度?若是匀速运动，则速度等于路程除以时间，然而这里的速度是非均匀的，那能不能把非均匀速度近似看成均匀速度?用什么方法?这就是微分学问题，再引入古希腊人研究的面积问题：计算抛物线y=x2与坐标轴x轴在0≤x≤1间所围成的面积。能不能将面积切割成n个小面积，再将小面积用小矩形来代替，由n个小矩形的面积得到所求面积?这里所用的方法就是积分问题。很早以前就有人研究过微分与积分，而微积分的系统发展是在17世纪开始的，从此逐渐形成了一门系统完整且逻辑严密的学科。微积分通常认为是牛顿和莱布尼茨创立的。这一系统发展关键在于认识到微分和积分这两个过程实际上是彼此互逆地联系着。

介绍提及的人物牛顿和莱布尼茨的相关轶事，例如创建微积分优先权的争论。牛顿于1665～1687年把研究出的微积分相关结果告诉了他的朋友，并将短文《分析学》送给了巴罗，但期间没有正式公开发表过微积分方面的工作。莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。1684年莱布尼茨正式公开发表关于微积分的著作。于是有人怀疑莱布尼茨知道牛顿具体的工作内容，莱布尼茨被指责为剽窃者。在两个人死了很久后，调查证明：牛顿很多工作是在莱布尼茨前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。

二、介绍微积分内容及方法

微积分学研究的对象是函数，极限是最主要的推理方法，它是微积分学的基础。微积分内容有四类：一是已知物体移动的距离是时间的函数，怎样由距离得到物体在任意时刻的速度和加速度;反过来，已知物体的加速度是时间的函数，怎样求速度和距离。二是求曲线的切线。三是求函数的最大最小值问题。四是求曲线的长度、平面曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心。

三、为什么要学习高等数学

微积分在自然科学、经济管理、工程技术、生命科学等方面都有应用，是各门学科强有力的数学工具。学好微积分，可以增加语言的严密性、精确性，可以从中锻炼人的 理性思维 ，并感受到美的艺术。例如黄金分割，无理数的■与π的表达式：

微积分的绪论课是整个教学的第一课，绪论教学能使学生对这门课有个快速大致的认识与了解，好的绪论课可以引导学生主动、积极地学习。

前言

21世纪，科学、技术和社会都发生了巨大的变化。高等数学作为高等院校的基础课程之一，在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用。尤其是微积分教学，是目前数学教育的一大课题。

一、我国微积分教学改革的现状

目前的数学实验中，微积分教学改革的现状中仍然存在一些主要问题。

首先，优秀人才的培养重视不够。在微积分教学中，重视的是教育大众化的人才，而一些顶尖的、优秀的人才的培养却重视不够。

其次，过度应试化。过度重视应试教育在微积分教学中越来越明显，轻能力重考试已成为一种倾向。

再次，学生差异大，素质下降。学生人数的激增带来学生差异的强化，面对这一情况，如何规划班级，如何区别对待学生是微积分教学面临的问题。

二、微积分课改的必要性

随着高等数学改革的不断深入，微积分教学的改革成为其中的重要部分。微积分教学的改革并不是空穴来风，而是一种必然。

(1)社会高度发展提出的要求

微积分作为高等数学的一部分，对技术文明的推动有重要作用，许多数学细想和数学的建树都离不开微积分。可以说，微积分在推进数学思想，推进社会进步，推进科学发展上有举足轻重的作用，是不可或缺的，它是人类思维的伟大成果，不仅是高等数学。而且是其他行业，其他专业，在不同范围和不同程度上对微积分的认识都是必要的。设想一下，如果取消对微积分的学习，那么技能的进步只是一句空谈，社会不会发展，智慧不会被充分开掘。所以，微积分教学的改革是十分必要的。

(2)科技的发展提出的需要

当今世界，是一个科学技术突飞猛进的时代，军事、贸易等激烈的竞争和市场经济，如果没有科技的推进，则会落后于他人。如何促进科学的发展呢?微积分起着重要的作用，它不仅为科学提供了精密的数学思想，也为科学的提供了理论支撑，它不但改变了数学面貌，还是其他学科的工具和方法，微积分在自然学科的各个方面都有运用。随着科技发展的时代，提高微积分教学的质量是势在必行的。

(3)人类思维发展的需要

微积分中蕴藏着很多重要思想，比如辩证的思想，常量与变量，孤立与发展，静止变化，有限与无限等，还有“直”与“曲”，“局部”与“整体”的辩证关系，其实。哲学最处就是与数学密切相关的，所以，数学，尤其是微积分思想充满了逻辑与辩证，微积分的学习。不仅是知识、理论的学习，更是一种思维的训练。因此，微积分教学的完善有利于培养人类思维，使人类思维获得一个飞跃，更有效地解决问题。

三、微积分课改的内容

根据新的教学大纲的修改，微积分教学重新设计了课程内容、教学理念、 教学方法 等，以学生为主体，更直观形象，而且在教学方法上也进行了革新。全面促进了微积分教学的改革。

1、课程基本理念的改革

微积分教学的改革能否成功关键在于观念的转变，过去是偏重理论，现在则要注重应用激发初学者的学习兴趣，尽早把握微积分的基础知识，把抽象难懂的微积分理论转变为学生容易接受、容易理解的微积分教学方式，比如说，极限是微积分知识中的难点，极限概念、运动、辩证思想等对于学生来说是十分抽象，不容易理解，从而没有激发学生的学习兴趣，课堂变得枯燥无味，理论严谨，逻辑性很强，学生上手难。微积分教学大纲的修订也体现出教学理念的更新，新的微积分教学中，适当降低了难点知识。重视对微积分本质的认识，以直观、实例来提高学生的微积分学习兴趣和学习效率，使学生学习的主动性回归到自身，体现以人为本的思想，重视学生的情感态度、生活价值的培养，根据学生自身的特点因材施教，为学生提供更好的学习条件和基础。

2、课程内容的改革

根据《标准》大纲的修订，微积分教学首先是对课程内容和教学大纲的精简、增加、删改。修订后的教学内容比原来的教学大纲更精练，更科学。比如，原来12学时的“极限”在修订大纲中被大面积的删减。并在修订大纲中，引入导数这一很有判断意义的概念，因为导数是微积分初步了解的第一个概念，对导数概念的理解起到基础性的作用。而且，修订的课本内容中，对导数的讲解时直观形象的，应用性很强，又有许多实例来帮助学生加深理解。因此，微积分教学的新课改减轻了学生的学习负担，降低了概念的理解难度。

3、课程设计的改革

原来的课程是从极限、连续、导数、导数应用，再到不定积分、定积分这样的次序设计的，并在“导数和微分”的前面一章给“极限”设计了许多定义，以及对“极限”的求法和运算做了讲解。修订后的大纲对课程设计做了调整，尤其是微积分讲解的路线，发生了变化，从瞬间速度，变化率，导数、导数应用再到定积分。对人文社科方面的高校微积分课程的设置，则多数是作为选修课来处理的，并与生活十分贴近，应用性很强，使非数学专业也对数学有一定的基础了解和学习兴趣。

4、教学方法的革新

(1)数学思想方法的渗透与运用。数学思想方法是多种多样的，在生活中也取得有效地运用。微积分耶是高等数学的一个方面，因此，在微积分教学中引入数学思想方法是科学的。其中，数学分析，也叫微积分，是17世纪出现的十分重要的数学思想，不仅在17世纪有非常重要的地位，即使是在今天，这种思想方法在成功解决无限过程的运算方面，即极限运算有很大的帮助。数学思想的运用已成为各国比较重视一项革新项目。

(3)加强实例分析和应用性。数学是一种逻辑推理。但也是来源于生活的，也最终给应用于生活，因此，数学的教学不能和现实相脱离。修订后的微积分教学大纲明显注重了实际应用性。即使是书上一个很简单的概念，也时刻穿插一些实用性的图片，在习题的练习中，也是紧密结合生活实际，不是空中楼阁。比如说，用指数函数来看银行存款和人口问题，还有对数函数中涉及放射性、分贝、地震级的问题。微积分数学应用于生活中实际问题的解决。

5、教学工具的革新。

现代教育技术，尤其是多媒体技术在微积分教学中的应用，对很好的实现教学理念，完善教学思想和教学方法很有意义，例如，作为重点和难点的“极限”概念和理论一直是教学中难以攻克的，因为它的抽象，所以老师再怎么讲解也难免有学生不理解，而多媒体教学的应用解决了这一难题，教师可用直观形象的动画来表现比如“无限逼近”的理论，给学生一个直观、感性的认知，还可运用多媒体设计可变参数的动画，让学生积极参与，自己动手设计，加深理解。又如导数概念的理解需要借助曲线来表现其某个点在某个时刻的瞬时速度，可以充分利用多媒体技术，画具有艺术性的示意图，设计动画，让学生在动画中领悟微积分的实质和导数的概念。值得注意的是，在运用多媒体技术时，要遵循学科本身的规律，反复渗透，循序渐进，结合教材，积极引导。

四、小结

已发表数学分析论文

这是一个学生的毕业论文后的参考文献[1] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法究（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2006[2] 陈纪修等．数学分析第二版[M]．北京：高等教育出版社，2004.5[3] 翟连林，姚正安．数学分析方法论[M]．北京：北京农业大学出版社，1992[4] 龚冬保．高等数学典型题解法、技巧、注释[M]．西安:西安交通大学出版社，2000[5] 郭乔．如何作辅助函数解题[J]．高等数学研究，2002.3 (5)，48- 49[6] Patrick M．Fitzpatrick．AdvancedCalculus: A Course in Mathematical Analysis [M]．北京：中国工业出版社，2003[7] 林远华．浅谈辅助函数在数学分析中的作用[J]．河池师范高等专科学校学报，2000.12[8] 肖平．辅助函数的构造方法探寻．西昌师范高等专科学校学报[J]，2002.9供参考。

数学史上出现的三次数学危机,与其说是“数学的危机”,不如说是“数学哲学的危机”.下面我给你分享三次数学危机论文，欢迎阅读。

摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。

关键词：危机;万物皆数;无穷小;分析方法;集合

一、前言

数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生;第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产生与发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。

二、数学史上的第一次“危机”

第一次数学危机是发生在公元前580-568年之间的古希腊。那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物旨数”。所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期。上述思想是绝对权威、是“真理”。但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数!另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。

三、第二次数学危机

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后。牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地――微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

四、数学史上的第三次危机

1.悖论的产生及意义

(1)什么是悖论

悖论来自希腊语，意思是“多想一想”。这个次的意义比较丰富，它包括一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立;反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出原命题成立。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的;如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，他们震撼了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

(2)悖论产生的意义

疏忽学悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的。它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。虽然暂时引起人们的思想混乱，对正常的科学研究可能会形成一定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论的缺陷或局限性，对于这一步深入理解，任何和评价原有科学理念，对于原有的科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学管理的产生都有相当重要的意义，同时也为科学研究提供新的课题和研究方向。

2.第三次数学危机的产生与解决

(1)第三次数学危机的产生

第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。

罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。

(2)第三次数学危机的解决

罗素的悖论产生后，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓zF公理系统)，这场数学危机到此缓和下来。

现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。

三次数学危机是我们数学史发展中的一个奠基，他为我们日后更详细、深入的研究数学做了很好的铺垫，我我想以后也许会有第四次数学危机，但数学家也会把它化解掉，只有出现危机，才能使我们的数学研究达到更高的境界。

数学的产生和发展，始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教材中，任何一个新概念的引入，都特别强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展的历史背景，只有这样才能让学生感到知识发展水到渠成。所以特别希望在教学中能不时渗透数学史的相关知识，充分发挥和利用数学史的教育价值，使学生通过了解数学史，而更加全面更加深刻地理解数学、感悟数学。

一、集合论的诞生

一般认为，集合论诞生于1873年底。1873年11月29日，康托尔(G.Gsntor，1845-1918)在给戴德金(JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916)的信中提问“正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?”这是一个导致集合论产生的大问题。几天后，康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果，“实数是不可数集”，并将这一结果以标题为《关于全体实代数数集合的一个性质》的论文发表在德国《克莱尔数学杂志》上，这是“关于无穷集合论的第一篇革命性论文”，在其系列论文中，他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集合运算等，康托尔的这篇文章标志着集合论的诞生。

二、集合论成为现代数学大厦的基础

康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处理了数学上最棘手的对象——无穷集合，让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。它的概念和方法渗透到了代数、拓扑和分析等许多数学分支，甚至渗透到物理学等其他自然学科，为这些学科提供了奠基的方法。几乎可以说，没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。

集合论诞生的前后20年里，经历千辛万苦，但最终获得了世界的承认，到了20世纪初，集合论已经得到数学家们的普遍赞同，大家一致认为，一切数学成果都可以建立在集合论的基础之上了，简言之，借助集合论的概念，便可以建立起整个数学大厦，就连集合论诞生之初强烈反对的著名数学家庞加莱(JulesHenriPoincaré，1854-1912)也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。”然而，好景不长，一个震惊数学界的消息传出，集合论是有漏洞的!如果是这样，则意味着数学大厦的基础出现了漏洞，对数学界来说，这将是多么可怕啊!

三、罗素(BertrandRussell，1872-1970)悖论导致第三次数学危机

1903年，英国数学家罗素在《数学原理》一书上给出一个悖论，很清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础，导致了数学危机的产生，史称“第三次数学危机”。

罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R，现在问R是否属于R?如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不属于自身，即R不属于R。另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R，这样，不论任何情况都存在矛盾，这就是有名的罗素悖论(也称理发师悖论)。

罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础，也波及到了逻辑领域，德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时，收到了罗素关于这一悖论的信，他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟，他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑学。

四、消除悖论，化解危机

罗素悖论的存在，明确地表示集合论的某些地方是有毛病的，由于20世纪的数学是建立在集合论上的，因此，许多数学家开始致力于消除矛盾，化解危机。数学家纷纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。

在20世纪初，大概有两种方法。一种是1908年由数学家策梅洛(Zermelo，ErnstFriedrichFerdinand，1871～1953)提出的公理化集合论，把原来直观的集合概念建立在严格的公理基础上，对集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，从而避免悖论的出现，这就是集合论发展的第二阶段：公理化集合。

解铃还须系铃人，在此之前，危机的制造者罗素在他的著作中提出了层次的理论以解决这个矛盾，又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂，而策梅洛则把这个方法加以简化，提出了“决定性公理(外延公理)、初等集合公理、分离公理组、幂集合公理、并集合公理、选择公理和无穷公理”，通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合，从而消除了罗素悖论产生的条件。后来，策梅洛的公理系统又经其他人，特别是弗兰克尔(A.A.Fraenkel)和斯科伦(T.Skolem)的修正和补充，成为现代标准的“策梅洛——弗兰克尔公理系统(简称ZF系统)”，这样，数学又回到严谨和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——《基础数学》迅速发展。

五、危机的启示

从康托尔集合论的提出至今，时间已经过去了一百多年，数学又发生了巨大的变化，而这一切都与康托尔的开拓性工作密不可分，也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到解决，我们可以看到，数学的发展跟提出问题和面对困难是离不开的，期间要经历无数的挫折和失败，但是只要坚持，终会走向成功。

矛盾的消除，危机的化解，往往给数学带来新的内容，新的变化，甚至革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史性动力的基本原理。正如数学家克莱因(FelixChristianKlein1849-1925)在《数学——确定性丧失》中说：“与未来的数学相关的不确定性和可疑，将取代过去的确定性和自满，虽然这次悖论已经找到解释，危机也已化解，但是更多的还是未知，因为只要仔细分析，矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现，这种发现不应该被认为是‘危机’，而应该感到，下一个突破的机会来到了。”

参考文献：

1.《普通高中课程标准实验教科书——数学必修1》教师教学用，人民教育出版社

2.胡作玄，《第三次数学危机》

中华人民共和国的诞生，为中国数千年的文明史揭开了新的篇章，我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象，以下是我搜集的一篇关于三次数学危机探讨的论文范文，供大家阅读参考，

从我国数学的发展看三次数学危机。

1 引言

数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

2 三次数学危机

第一次数学危机发生在古希腊，源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。毕达哥拉斯认为，事物的本质是由数构成的，并以数为基础，构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来，数就是整数或整数之比。但这一信条后来遇到了困难。因为有些数是不可公度的。这一矛盾，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产，并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。这在当时产生的震动太大了，因此历史上称之为第一次数学危机。

17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机[2].在17世纪晚期，形成了微积分学。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分，有明确的计算步骤，微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷，导致了无穷小悖论[4].当时牛顿等人不能自圆其说，而且，其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问，由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次数学危机.

19世纪末分析严格化的最高成就--集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学大会上宣称：现在我们可以说，完全的严格性已经达到了![5]但就在第二年，一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论。他把关于集合论的一个着名悖论用故事通俗地表述出来。

它和其它一些集合论悖论一样，对数学发展的影响是十分深刻、巨大的，甚至可以说是动摇了整个数学的基础，并导致了第三次数学危机。

3 从我国数学的发展看三次数学危机

中华人民共和国的诞生，为中国数千年的文明史揭开了新的篇章，我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象，这是我们国家社会主义建设的需要，也是我们党和国家非常重视科学技术的结果，

数学论文《从我国数学的发展看三次数学危机。中国科学院于1950年开始筹建数学研究所，1952年正式成立。全国各高等院校普遍设置了数学系，《数学学报》和《数学通报》复刊。1958年~1960年的大跃进时期，在极左思潮影响下，数学基础理论研究受到很大冲击，积极的一面是明确了向世界先进水平看齐的奋斗目标，也重视理论联系实际，线性规划得到大力推广并创造了切实可行的图上作业法,运筹学由此在我国发展起来。在发展我国高科技过程中，例如1965年9月17日，我国科学工作者在世界上首次用人工方法合成结晶牛胰岛素。

我们不能不承认，数学对于现实生活的影晌正在与日俱增。许多学科都在悄悄地经历着一场数学化的进程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学方法的渗透。因此，对于数学，特别是现代数学加以普及，使得数学和数学家的工作能对现实生活产生应有的积极影响，这已成为人们日益重视的课题。

4 总结

综上所述三次数学危机对数学的发展影响是巨大的。第一次数学危机中产生的欧几里德几何对树立天文学的发展起了很大的推动作用，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化，使古希腊的数学基础转向几何。第二次数学危机中波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西指出无穷小量和无穷大量都是变量，并且定义了导数和积分;狄利克雷给出了函数的现代定义;美国数理逻辑学家罗宾逊又利用无穷小量引进超实数的概念，建立了非标准分析，同样也能精确的描述微积分，解决无穷小悖论。第三次数学危机建立了实数理论，且在此基础上建立了极限的基本定理，使数学分析建立在实数理论的严格基础之上，康托尔创立了集合论。而且还产生了公理化方法论和数理逻辑等一批新颖学科。我国以至世界各国的数学发展也都依赖于三次数学危机中产生的数学的新内容。整个数学的发展是一个层层深入、层层递进的过程。

参考文献：

[1]人民教育出版社中学数学室着.现代数学概论[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]张光远.现代化知识文库：二十世纪数学史话[M].知识出版社，1984.2

[3]袁小明.数学史话[M].山东教育出版社，1985.

[4]于寅.近代数学基础[M].华中理工大学出版社，1999.3.

分类: 资源共享 >> 文档/报告共享 问题描述: 比如对极限、二重积分、三重积分的解题思路、方法对其中摸个问题来说就可以了 解析: 求极限的常用方法： 1。函数的连续性 2。等价无穷小代换3。“单调有界的数列必有极限”定理 4。有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 5。两个重要极限（sinx/x=1,e） 6。级数的收敛性求数列极限 7。罗必塔法则 8。定积分的定义

已发表的论文数据分析有误

1、发现文章中的语法、拼写或标点错误时，应及时修改。2、如果是初稿，发现错误时就应当及时修改。如果是已经刊出的稿件发现了问题，作者可与编辑部联系，也可自己查找有关书籍和文章，予以改正。3、如果是投给报刊的稿件，一般应由报刊负责改正。4、作者自行查找有关书籍和文章进行修改。5、如果是请别人代修改的文章，一般应由文章作者负责改正。

在发表论文这方面，偶尔会有这么一种情况，就是当你准备开始写论文的时候，一些数据表明你发表的上一篇论文的数据没有那么有说服力，或者是某些说法有点绝对，不排除有其他情况的可能。换句话说就是你发表的上一篇论文有错误，遇到这种情况时，该怎么办呢？

这里可以分三种情况：一是小错；二是大错；三是缺陷。

一、小错

这种情况可以直接跟编辑写信说明一下，态度诚恳，详细的解释一下事情的原委，编辑会告诉你事情的方案。

二、大错

可能要发声明了，或者再写一篇文章纠正错误。用来纠正上一篇文章的论文中的内容，包括理论、数据、方案最好都是具有说服力，比较全面的。因为这是“纠正”论文，如果这篇文章还存在错误的话，那么这篇文章就没有那么有说服力了。

三、缺陷

如果是缺陷，就没什么太大的影响，因为后续的研究本来就是为了解决原来的缺陷的。

如果发现自己发表的文章有错误的话，最好第一时间和你的编辑联系。

如果这只是一个无关紧要的小错误，那么有的会选择得过且过，毕竟不是每个人都可以一眼看出这个问题的，而且这个问题也不会造成太大的影响。

如果这是一个原则性问题的话，那么肯定需要在第一时间解决的，比如是网上发表的话就赶紧更正，如果是纸质版的话，可能就需要出一个更正说明之类的，总之就是不能放任不管的。

已发表论文数据分析错误

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走正规程序的话是不会追究的

论文结论是否有错误，都不会追究你的责任。你可以通知相关收录方，申请撤稿。撤与不撤那是他们的权力，但你的告知义务已经完成。个人申请确实不行。可以通过杂志社申请撤稿，杂志社给数据库出撤稿函便可撤下。

个人申请确实不行。可以通过杂志社申请撤稿，杂志社给数据库出撤稿函便可撤下。

已发表论文的统计分析

http://www.stats.gov.cn/,上去看看。

第一节论文写作的八个环环相联的步骤严格地说，论文写作并不是从提笔写（或在电脑上打字）开始的。此前的许多步骤都属于论文写作的必要环节，一定程度上比实际动手写重要得多。许多过来的人都有体会，完成一篇较大的论文，准备时间少则数月，多则数年，一旦真正准备好了，动手写作的时间不过数天到数周。第一步，确定论文的选题。从广义上说，选任何本专业范围内的题目都能够写出东西来，只要你有新观点、新发现、新角度、新研究方法、新材料等等。但是这后面的“五新”大大限制了硕士论文的选题。这是由于作者多数是第一次写这么长的学术论文，缺乏经验，也缺乏深厚的知识积累，难以把握；同时，二三万字这个条件也对选题有很大的制约，如果题目过大，无法在这个相对狭小的范围内展开。所以，选题是否得当，对于论文的成功，影响很大，甚至有人说，一个好的选题等于成功了一半。根据许多硕士论文的选题经验，这一级论文的选题可从以下几方面考虑：本专业的研究空白、发生争议的话题（自己的观点感到较为充分）、对比性的话题、从其他专业角度研究本专业的话题（这是一种选题的边际效应）、有新的插入角度的老话题、刚刚冒出来的本专业的新问题。第二步，围绕已经确定的论文选题，回顾相关的理论和研究，或者叫“文献检索”。这一步的工作是较为艰苦的，需要有思想准备。在我国，多数中文学术资料目前没有上网，需要手工查找，因而这个步骤中查找中文资料花费的时间和精力可能很大；拉丁文资料，特别是英文资料由于网络传播的方便条件，相对好查询。但是不少资料即使找到了目录，真正能够阅读到，仍需要作者不懈的努力。这一步是必要的，如果没有这一步，你的论文内容很可能重复了别人已经做过的工作，等于白做；查找的过程，也是启发思路、产生观点火花的过程，不走这一步，等于掐掉了自己新观点、新视角、新材料的来源。这也是为下一步做观点、角度、材料上的准备。第三步，提出你自己关于选题的理论假设，或要研究的具体问题。选题是指准备写的论文的大体方向和范围，真要动手写作，就会遇到两类具体的问题。第一类属于观点方面的：我的具体观点是什么？你可以设想出一个或几个观点，但它们仅仅是一种假设，通过许多证据、材料，通过严密的论证和适当的论证框架结构，证明你的假设是成立的，这才能形成论文的主体。第二类属于实用方面的：我要具体论证什么问题？你可以提出许多原因、各种环境条件的影响，它们是不是与所论证的问题相关，相关到什么程度，这需要通过科学的调查和分析。不论哪一种情况，这涉及论文的中心思想或论证主题，一定要明确，并且贯穿论文的始终。由于硕士论文字数相对长，常见的问题之一，在于作者把握不住全文，写着写着，无形中脱离了自己原来确定的假设或具体问题，说了许多无关中心思想或论证主题的内容。第四步，决定采用哪些研究方法。人文－社会科学的研究方法，大体可以归为两大范畴，思辨研究和实证研究，后者又可分为定性研究、定量研究两种具体的研究方法。人们为探究社会事实或社会现象，而采用不同的研究取向，不同的研究取向又有不同的研究方法，不同的研究假设、收集资料的方式和对结果的判断标准。但是各种研究方法在现在的论文写作中，已经越来越多地呈现相容和内在的连接。一般地说，根据自己的选题和讨论的具体问题，可以以一种研究方法为主，辅以其他的方法。例如研究“人”作为大众媒体信息的接受者其接受信息时的状况，这种研究取向就决定了研究本身要以定量分析为主，但同时也需要一些历史的、文化的、政治经济学的思辨研究。在文科硕士论文中，作者直接为论文进行的定量分析，规模一般较小，适应的范围也是有限的，较多地采用别人而不是自己直接的调查结果。这是由于论文的规模较孝给予作者的研究经费有限、作者个人进行社会调查的能力有限等原因造成的。以逻辑分析为主的论文，适当采用一些定量分析的数据，有时会给文章增添一些分量。但是，一定要根据实际需要，而不要为了显示研究方法的多样而有意去做。例如一个很宏观的话题本来适于思辨研究，硬要加进一项微观的量化调查结果证明什么，反而会弄巧成拙。这是现在写好论文要把握的一个具体问题。第五步，设计论文的框架结构。一般文章的写作也需要有这一步，但对硕士论文来说，更为必要，其要求也更细一些。一般情况下，一篇硕士论文要有绪章、入题的第一章、主体章节，以及结束语。章节的设置在写前要有个大体的布局逻辑，使之结构合理；章和章之间有一种逻辑联系，防止盲目写下去，淹没主题，不知所云。这一步很少有一次完成的，往往会根据收集材料的情况、调查访问中遇到的新情况，经常变动。但是就像建筑师在盖房子前必须有图纸一样，到了写硕士论文这个层次上，大体的文章框架不能仅仅存于脑子中，一般要形成文字，相对细致一些，具体到“节”更好（但“节”的层次开始时不要固定化），便于写作时心中有数。到了设计论文框架这一步，因为有了文字化的章节设计，除了请导师指导外，这是在正式动笔写前较广泛地征求其他专家意见的一个好机会。框架还不是厚厚的论文，看时花费的时间不多，又可以大体看出文章的价值或存在的问题。这时修改论文结构比写完后修改要轻松、容易得多，时间也较为宽余，不要错过这个机会。第六步，对已经取得的文献资料、调查材料和各种论据进行分析、归类，分别充实到各章节中，再进行解释、论证。这实际就是论文写作本身，所以这样描述，意在让作者理解论文写作的过程。各种材料和论据，不是天生就可以证明论点或说明具体问题的，需要通过作者对材料的组织和论证，才能使其变得富有生命力，极其自然、有力地为自己所论的题目服务。在这一步，需要温习一下学过的逻辑学或社会调查统计的知识，用正确的逻辑思维和严谨的数据组织方式，紧紧围绕已经确定的理论假设或具体问题，调动自己所学的各种知识，通过正论（这是主要的）、反论、设论、驳论、喻论等等手法，论证观点或问题，得出结论，完成论文。论证中肯定会出现种种材料使用或缺乏的问题、逻辑推理的问题、论据与论题不相配的问题等等，需要停下来再找材料和访问专家，充实或削减原来论文框架中的内容，必要时对框架结构进行局部调整。这种情形是正常的、经常发生的。在时间的安排上，对此要作出计划。如果时间安排不当，有时论文功亏一篑的原因就在于写作时间安排过紧，来不及调整论文结构，这很不值得。第七步，必要时重新估量选题，修正论证对象的范围。这是与第六步同时出现的另一种情形，即通过较为广泛地征求意见和本人的思考，感到原来的选题对自己不适当，或难以完成，那么就要及时调整整个论文写作的计划，改变选题。这种情形也是正常的，关键在于不要长时期犹豫不决，必须较快地作出决定，以便有时间重起炉灶。由于前面已经对本专业的学术研究有过较多的思考和文献检索，即使改变选题，重新做起，花费的时间不会很多，对此过多的担心是不必要的。选题不当、难以完成的另一种情况不在于选题本身，而在于选题论证的范围过大。解决这个问题并不难，把论证对象的范围缩小就是了。这里最大的障碍在于作者舍不得“割爱”，花费了许多功夫准备论文，一旦许多材料用不上，难以割舍。这种情况当然会涉及到重新设计论文框架结构的问题。不过，将较大的论证对象的范围缩小，总比相反的情形要容易得多。硕士论文写作中，论证对象范围过小的情况很少见，因为二三万字的论文，本来大多适宜开口较小的选题。第八步，对论文从技术上进行规范化的检查和调整。章节设计的技术问题（含目录）、文中的引证标示、注释及编号、文后的参考文献编排，以及不属于论文本身的内容提要（包括英文提要）、关键词等等，都要按照规范化的要求进行检查和调整。这些虽然属于技术性问题，但也反映出作者的治学态度。特别是引证，凡是使用了别人观点的地方，都必须注明材料来源，不能含糊不清，更不能将别人的研究成果变成自己的。标明的材料来源也要十分清楚，论著名称、作者或编者、出版社或发表的刊物名称、出版或发表时间等等，一应具全。有时，一篇较有水平的论文，答辩时提出批评的主要问题是引证的不规范，由于这个原因使论文的评价低一档，这很不值得。第二节论文的选题：一个适当的选题等于论文成功了一半由于十年“文化大革命”这场浩劫，我国的人文－社会科学研究遭到了毁灭性的破坏，林彪、“四人帮”在意识形态领域的种种谬论充斥人文－社会科学的各个学科。1978年我国恢复研究生招生时，人文－社会科学研究几乎一切从头开始，因而研究生的论文选题还没有显现为一个问题，因为写什么题目，即使不是空白，也是需要重新认识和论证的。经过改革开放后二十多年几代人文－社会科学研究者的努力，我国的人文－社会科学研究呈现一派繁荣的景象，研究生的招收数量大幅度提高。年年招生，年年写新的论文，而各学科的研究领域是相对稳定的，空白越来越少，新问题的研究又有一定难度，于是现在文科研究生的论文选题，形成一种独特的竞争局面，如何选择好论证的题目，凸现为一个新问题。有鉴于此，需要重点谈谈硕士论文的选题问题。

描述性分析是数据分析的重要步骤。进行描述性统计分析前，首先应理解搜集数据、分析数据，以及识别一些常见数据来源的必要性；然后，应该了解实践中常见的数据类型，数据汇总的方法；最后，再确定单变量的数值描述方法，以及两个或两个以上的数据分析方法。

1. 数据：定义和目标

首先，我们应该确定一些定义。

数据：用来展示和解释所搜集、分析和提炼和事实和数字；

变量：可以取不同值的标志或指标。如：行业、股价、市值；

决策变量：变量的取值直接受决策人的控制；

随机变量/不确定性变量：变量的取值不受决策人直接控制的因素的影响，可能会出现不确定性波动；

观察/观测：一组变量对应的一组值；

描述性分析，即通过对搜集的数据进行分析，以获得对变异及其商务环境影响很好的认识。

2. 数据的类型

（1）总体数据和样本数据：许多情况下，从总体（感兴趣的元素的集合）中搜索数据是不可行的。此时，可以从总体的子集（样本）中搜集数据。搜索那些能够代表总体的样本数据很重要，只有这样才能把那些样本数据推广到总体情况的认识。

（2）数量数据和属性数据：数量数据指能够进行加减乘除等数值和算术运算的数据，如：公司的市值；属性数据指那些不能进行算术运算的数据，对这些数据进行描述性分析，只能进行计数或计算每一个类别观察值的比例，如：公司所属的行业。

（3）截面数据和时间序列数据：截面数据是指在同一时间或几乎相同的时间搜集来一些个体的数据；时间序列数据：指几个时期的数据。时间序列数据图能够帮助分析人员了解过去发生了什么，识别随着时间变化而发生变化的趋势，并且可以对未来进行预测。