工科博士发表数学论文

工科博士发表数学论文

我们可以直接去百科上搜一下，这些消息都是真的，她不仅发表过十余篇的sci论文，而且在26岁的时候就被特聘为湖南大学的副教授，湖南大学的官网上已经明确写出。当代的年轻人真的很厉害，不论是华为的四大天才少年，还是这位26岁就被聘为湖南大学副教授的李晟曼，这些人的成绩，都是一步一个脚印走出来的，绝对没有水分。

华为的四个天才少年和李晟曼副教授身上有一个共同点，这些人绝大多数毕业学校都是华中科技大学，华中科技大学的教育实力十分强大，是腾讯和华为校招的最主力的输出点，为什么这些仅仅不到30岁的年轻人有如此巨大的成就，和他们的努力分不开关系。

其他好的大学也会有出现很多天才，但是这些天才都有一个共同点，就是善于思考，刻苦努力。很多的天才，从小时候就展现出了惊人的天赋，他们对于一些事情想的更深，尤其是一些知识性的问题，他们会拓宽知识面，想到更多的可能性，并且积极的去解决这些未知的东西。而且这些人都是十分努力的，很多人在初高中的时候成绩名列前茅，但是还在自学了其他东西。大学的他们更是十分出彩优秀，不仅仅参加各种学科竞赛，而且帮助老师完成各种各样的科学项目，拓宽了他们的视野，也锻炼了他们的能力。

所以李晟曼的成功并不是一朝一夕，而是她夜以继日不断努力的结果。

你要问你攻读博士学位的学校，有的一篇不要，有的要几篇还需要看期刊等级……不一而论，关键是论文要写好是关键的及关键

天津大学建筑工程学院博士毕业要求不少于3篇sci论文，毕业要求：

1、数学与系统科学学科

申请者在国内外重要的学术期刊或学术会议上发表论文不少于3篇，并满足下列条件之一：

（1）在SCI检索的本学科领域重要国际学术刊物上发表1篇学术论文（SCI分区表中Q1区、Q2区和Q3区，或SCI影响因子0.5以上）。

（2）在SCIE收录源刊物发表2篇论文。

（3）在SCIE收录源刊物发表1篇论文，并且另外在EI、MEDLINE收录源刊物或在《中国科学》（中文版）、《数学学报》、《应用数学学报》、《计算数学》和《系统科学与数学》发表2篇论文。

SCI 介绍：

美国《科学引文索引》（Science Citation Index, 简称 SCI ）于1957 年由美国科学信息研究所（Institute for Scientific Information, 简称 ISI）在美国费城创办，是由美国科学信息研究所（ISI）1961 年创办出版的引文数据库。

SCI（科学引文索引）、EI（工程索引）、ISTP（科技会议录索引）是世界著名的三大科技文献检索系统，是国际公认的进行科学统计与科学评价的主要检索工具，其中以 SCI 最为重要。SCI创办人为尤金·加菲尔德。

以上内容参考：百度百科--SCI

其名为李晟曼，有天赋还很努力，在学术方面做出了巨大的贡献。上学期间包揽过国家奖学金等多项奖项，在Nature Materials等期刊上发表十余篇论文。

工科博士发表论文

答题/ 帅小西De --期待为您解惑！

小西的答题肯定有些许不到之处，欢迎各位朋友批评指正，谢谢大家！

这大概由下面几个因素决定。

首先看学校，不同的学校要求不一样，不同的学校水平不一样，这样他们的博士毕业生毕业时文章数肯定不一样，一般说来，水平高的大学博士发的文章好些，文章说可能也多些。比如，有的985高校要求毕业时应该有四五篇文章，其中核心几篇，sci几篇都是有明确规定的，这就是为什么国内好多期刊文章泛滥成灾，没办法，为了毕业，不得不发。

第二，做研究肯定要看个人天赋，有的人三年小二十篇sci有的人延期一次又一次，七八年了还达不到学校要求，必须承认，人和人的天赋有差距，还差距很大。

博士不容易毕业，而且在职的尤其时间长。有了老婆孩子肯定要分散一部分精力，而且有工作了后顾之忧也少了。不像纯学生那么容易投入精力。

博士毕业能发多少文章是个人能力，发100篇也可以，发1篇也行，但是能不能顺利毕业就另说了。

1，目前很多学校正在逐步取消博士论文的硬性要求，更多的学校对论文的数量和层次都要要求。

越好的学校要求越高，有的学校要求sci，有的学校要求国内核心期刊，以下是国内一些学校的要求，题主可以参考。

清华大学：2019年起，不再硬性要求发表论文，新规称：”鼓励依据学位论文以及多元化的学术创新成果评价博士生学术水平，不再以学术论文作为唯一依据。

北京大学：本人为第一作者身份（导师为第一作者时本人可以为第二作者）在国内核心刊物或国际重要刊物上至少发表或被接受发表2篇论文。

北京师范大学：4篇以上（含4篇）学术论文公开发表（其中至少1篇为CSSCI期刊论文），或2篇以上（含2篇）学术论文在CSSCI期刊上发表。论文第一作者应为博士生本人（与导师共同署名文章同视为第一作者），第一署名单位应为北京师范大学马克思主义学院。

浙江大学：SCI 文章两篇。且对IF(影响因子）有要求。

这么多人考博士是为了什么？做研究呗，做研究总得有研究成果吧，没有研究成果的博士和你我有什么区别。

而展现研究生成果最直接的方式就是论文，对于学校来说，这个评价标准特别好量化，而且是借助第三方权威机构的力量来进行量化。

将来会有更多的学校会学习清华大学的方式，多元评价，但是在没有监督的情况下也容易出问题，有利有弊吧。

希望以上回答对你有所帮助。

博士毕业发论文多少取决于博士导师与博士生本人的学术水平和勤奋程度。南京大学曾要求博士毕业至少发表两篇SCI论文，国内核心杂志论文两篇相当于一篇SCl论文，均要笫一作者，合作的SCⅠ论文第二作者视同国内核心杂志论文一作。我所指导的十五名博士有个别人发表了4篇SCl论文以上包括另外有合作的SCⅠ论文或国内核心杂志论文，他们除了特别勤奋有才能外，实际上为硕博连读生，在实验室干了四至五年。绝大部分博士能通过答辩拿到学位的都能发表两篇SCⅠ论文。我的同行博导的学生特别优秀者在特级杂志Scⅰence杂志发表一篇论文也可以顺利毕业获得学位。多数博士发表论文在专业一流或一般水平(影响因子2至6左右)。博士毕业论文及发表论文质量数量是博士能否通过答辩的重要因素，但学风和学习能力也极重要，如果有一项图表数据造假论文抄袭则论文再多也会被取诮学位资格，并追究导师责任。

博士毕业一般发多少文章？这问话问的都没有一个限定，中文期刊还是SCI？几区？影响因子高不高等等方面都没有，只单单问多少篇文章，是不是有点太过草率了？

我要说的是，博士毕业向来不是以发了多少篇文章来定义好坏的，因为单纯的看数量并没有什么实际意义，现在更看重的是上面我说的那几点，不然你发的再多也不好找工作，一样不具有核心竞争力。

这个要求有时候不是学校要求的，而是博士导师要求的，若是没达到要求，导师一般不会让你毕业。

至于发文章的要求，都已经到了博士这个等级了，大部分的导师都是重质不重量的，不信的话你可以问问身边的博士生，他们毕业要求发表的文章是规定多少篇吗？不是的，他们一般都会回答你几区、影响因子为多少以上的SCI一篇至两篇，当然也有不做要求的，那几区都无所谓，影响因子也不做考量。

是的，导师宁愿自己的学生整个博士就发了一篇一区或者二区、影响因子为5以上的SCI，也不要发了五六篇四区、影响因子零点几的。

其实这是一个很现实的问题，而且在很多高校或者科研院所招聘博士毕业生时，他们要求的也都是高水平的文章，分区比较靠后的可能需要十几篇才能抵得上人家一篇。而985/211等（现在可能主要说双一流）高校的要求更是高的吓人。

所以不要再问什么博士生一般能发多少文章，应该问的是博士生一般要发几区、影响因子多少以上的文章才能毕业更为准确 。

我见到有师兄发了2篇SCI刚刚能够毕业的，有师兄都快毕业了还没写到2篇SCI不断为毕业发愁，我也见过有师兄发了10篇SCI的，直接去某二本学校任教安家费就100万，每个博士能够发多少文章的数量真的天差地别。

根据我的观察博士是否能够满足毕业要求和导师的关系更大一些，但是博士是否能够发出高水平的文章更多的还是靠自己是否有足够的想法、自己是否真正深入 探索 问题了。

1.博士是否能够达到毕业的要求真的和导师的状态有关。

有些博士生导师真的不会太管学生，心好一点的可能还会想办法让你博士顺利毕业，有的干脆就是你自己想办法、想idea，如果你想不出来的话你很可能就要延毕了。听说有个师兄就是导师不太管没办法毕业，最后退学了读了几年书还是本科学历。

有些博士生导师对学生真的会尽职尽责一些，会定期督促博士生的进度，刚开始想idea给博士生练练手，有一套成熟的培养体系，这样加上自身的努力，还是会有些学术强的学生突出出来。我们课题组的师兄就已经发表了3篇顶级期刊，还是非常厉害的。

2.博士毕竟要自己想出一些想法，有足够的创新点才能够发表文章甚至投好的文章。

博士刚开始看文献、看论文都是为了打开自己的思路，看了前人做的东西你发现他的有哪些改进的地方，这时候你和老师交流是否这个想法有进行下去的必要，如果能够做那么就把其付诸到实践当中，做实验就是这样的啊，文章不过就是做实验后的总结。你的多少篇文章就代表你博士想出了多少个成熟的创新点。

3.博士能够发多少文章还取决于专业。

一般来说传统工科、文学类的专业都比较难发文章，因为真的工科做实验、文科一些专业调研还是需要一定的实验周期的，但是像化学、材料、生物类的就相对好发文章一些。这些专业的博士平均论文数量还是比其他专业要高一些的。

结束语：能够发多少篇文章还是要看导师的状态、自身的努力有关系的，这也是为什么读博一定要找一个好导师的缘故。同时不同专业的博士平均发文章的数量也不太一样，生物、化学类的还是比其他专业多发文章的。

如果有什么问题欢迎关注和私信我！

我举几个学校的例子吧，大家可以根据自己学校的情况进行补充。

资料来源于网络，如果不准确请大家更正。

不同学校,同一学校不同专业要求都不一样,有些专业发十几篇属一般水平,有些专业发一两篇已经不错了,不能比.

这种事和很多因素有关。

1.文理科之间以及不同的研究领域差别很大。理科相对好发表文章。在理科中，材料化学领域也相比数学物理方向好发。

2.你的导师是否是你所在领域的大牛。大牛的课题组相对好发文章，也相对好发好顶级期刊。

3.这和个人能力有关。我是在材料领域，已我认识的人为例，有人博士期间可以发十八九篇一作的文章，也有因为达不到学校毕业要求而被延期的。

4.和你所在学校的层次有关。学校这个平台的好坏直接影响你好不好发文章。同样一篇文章以好学校的名义投稿和以一般学校的名义投稿差别很大。这是我的切身体会。

近些年来，随着各种各样的博士论文造假，以及因为博士发不出论文而选择自杀的新闻出现，人们对博士毕业的门槛产生了关注。

一名博士想要毕业的话，需要满足两个条件：1、证明学术水平的小论文成果达到要求；2、通过博士论文答辩。

就小论文这一项来说，诸如北京大学、人民大学、复旦大学、上海交大等等各大重点高校，都是要求有两篇核心期刊论文。

当然，在具体的操作上或许会降低要求，至少要有1篇核心期刊，另外一篇可以是C扩、C集或者得到学术委员会认可的普刊。

此外，对于同一学校的不同专业来说，论文数量的要求也是不同的。有一些专业发论文比较容易，那么数量的要求就会更多。

但不管这些要求具体为何，普遍的要求就是两篇核心期刊。达到这个要求即可毕业。

对于大多数博士来说，两篇就是他们水平的极限，这点毋庸置疑。

但对于学术水平比较高的博士来说，两篇根本就是小意思洒洒水，他们发表的数量能够达到5篇以上，就属于很不错的情况了。

总而言之，通常是两篇。

说明年龄并不能界定人的优秀，一个人只要他有天分肯努力，即使在年轻的时候也是有可能获得很高的学位，很优秀的资质的。

其名为李晟曼，有天赋还很努力，在学术方面做出了巨大的贡献。上学期间包揽过国家奖学金等多项奖项，在Nature Materials等期刊上发表十余篇论文。

是的，年轻的女副教授，受到大家的质疑，但是优秀又努力的人很多，她的付出值得这样的回馈。

工科博士论文发表

说明年龄并不能界定人的优秀，一个人只要他有天分肯努力，即使在年轻的时候也是有可能获得很高的学位，很优秀的资质的。

公开发表1篇学术论文；或获得国内外发明专利（排名前3名）等要求。

申请博士学位者，应以第一作者（包括导师第一作者，申请者为第二作者）或国际学术期刊的通讯作者，且申请人署名单位为同济大学，至少在国内外学术期刊和国际学术会议上公开发表1篇学术论文。“公开发表的论文”是为在国内外有正式刊号的期刊或有正式刊号的会议论文集。

学位论文研究成果获得省部级三等奖及以上奖项的（有申请者个人获奖证书，获奖单位署名同济大学），或获得国内外发明专利（排名前3名），相当于前述1篇论文。同等学力申请学位参照此规定执行，申请专业学位者按有关规定执行。

扩展资料：

同济大学博士毕业的相关要求规定：

1、申请理学、医学学科门类博士学位者，应有1篇论文发表在SCI或SCIE收录期刊源上，或已被SCI或SCIE检索（或有2篇发表在EI收录期刊源上，或被EI检索 ）。

2、申请工学学科门类博士学位者，应有1篇论文发表在SCI、SCIE、EI收录期刊源上，或已被SCI、SCIE、EI检索。

3、申请哲学、法学、文学、管理学学科门类，及建筑学一级学科博士学位者，应有1篇学术论文发表 SSCI、A&HCI、CSSCI 期刊源上，或全国性学科专业指导机构认定的学术期刊上。

参考资料来源：同济大学-关于硕士学位申请者发表学术论文的规定

在完成了论文发表的数量和质量要求之后，就自然进入了毕业论文的写作阶段。实际上，在杂志上发表的论文本来也是毕业论文的重要组成部分。但是，发表的论文是专题式的，还不是成体系的，需要把不同的专题研究联系起来，链接不同的部分，从而构成一个统一的论证系统。这就是毕业论文的写作。同时，毕业论文还是学校检验学生整体的知识掌握情况的一个方式，所以还不是一个简单的研究问题。因此，除了学术创新之外，毕业论文的写作还对于文字语言的表达，知识面，论文结构组织和逻辑运用等有一定的要求。在写毕业论文的时候，要大力借助于读书笔记。根据前面已经完成的读书笔记，可以做到事半功倍的效果。特别是论文中的文献综述部分，基本上就是从读书笔记中来的，或者说是读书笔记的更加系统的整理，深化和扩充而已。

其名为李晟曼，有天赋还很努力，在学术方面做出了巨大的贡献。上学期间包揽过国家奖学金等多项奖项，在Nature Materials等期刊上发表十余篇论文。

数学博士发表论文

韦东奕在数学界地位 韦东奕全球排名 韦东奕算不算数学家。走红的韦东奕，最近受到了全网的关注，人称“韦神”、“韦教主”，高中被保送至北京大学，是第49届、第50届国际数学奥林匹克竞赛满分、金牌第一名，北大研究生、博士生。

火出圈的“韦神”，能在北大当老师，自然实力不俗，韦东奕已在国际数学期刊发表论文十多篇，他的博士论文《轴对称Navier-Stokes方程与无粘阻尼问题》被评为北京大学2018年优秀博士学位论文。

韦东奕在三维纳维一斯托克斯方程(Navier-Stokes)正则性问题和二维不可压缩欧拉方程的线性阻尼问题上，取得了一系列重要研究进展。他还与人合作在随机矩阵理论研究中取得重大成果。

韦东奕全球排名

第49届、第50届国际数学奥林匹克(IMO)中获得满分、金牌第一名。

2013年丘成桐大学生数学竞赛华罗庚奖金奖获奖者

2013年丘成桐大学生数学竞赛陈省身奖金奖获奖者

2013年丘成桐大学生数学竞赛周炜良奖银奖获奖者

2013年丘成桐大学生数学竞赛林家翘奖金奖获奖者

2013年丘成桐大学生数学竞赛许宝騄奖金奖获奖者

2013年丘成桐大学生数学竞赛个人全能奖，即丘成桐奖金奖获奖者

北京大学数学学院优秀院友、国家奖学金获得者、北大青年博雅学者。

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1 较为严格。2 首先，博士生需要完成规定的课程学习，并通过相关的考试；其次，需要通过博士生考试，确定博士生导师；然后，需要完成博士研究课题，并发表一定数量的学术论文；最后，需要通过博士论文答辩，获得博士学位。3 此外，中山大学数学博士毕业还有其他要求，如需要具备一定的英语水平，需要参加学术讲座等等。总之，较高，需要博士生具备较高的学术能力和研究能力。

黎曼(1826～1866)，1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。

由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。

1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。

1851年，黎曼获得数学博士学位；1854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。

因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。

黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。

黎曼是复变函数论的奠基人

19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。

1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。

柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。

在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。

经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。

黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。

黎曼几何的创始人

黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。

1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。

为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。

黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。

黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。

黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。

黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。

在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。

由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。

对微积分理论的创造性贡献

黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对19世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。

18世纪末到19世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。

1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。

柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。

黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。

黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。

解析数论的跨世纪成果

19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。

1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。

在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。

那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。

组合拓扑的开拓者

在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。

黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。

比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。

代数几何的开源贡献

19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。

黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。

著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。

黎曼在数学物理、微分方程等其他领域也取得了丰硕的成果。

黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。

黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。

19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。

黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。

在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作……

黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。

不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。

黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。

数学博士论文发表

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