数学史论文3000字中世纪中国数学史

数学史论文3000字中世纪中国数学史

一篇有关数学史的论文（网上搜索不到）　　研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它与通常历史科学研究的对象又不相同。具体地说，它所研究的内容是：　　①数学史研究方法论问题；②总的学科发展史——数学史通史；③数学各分支的分科史（包括细小分支的历史）;④不同国家、民族、地区的数学史及其比较;⑤不同时期的断代数学史;⑥数学家传记;⑦数学思想、数学概念、数学方法发展的历史；⑧数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；⑨数学教育史；⑩数学史文献学；等等。按其研究的范围又可分为内史和外史。　　内史 从数学内在的原因（包括和其他自然科学之间的关系）来研究数学发展的历史；　　外史 从外在的社会原因（包括政治、经济、哲学思潮等原因）来研究数学发展与其他社会因素间的关系。　　数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。　　人们研究数学史的历史，由来甚早。古希腊时就曾有人写过一部《几何学史》，可惜未能流传下来，但在5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，曾讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。12世纪时，大量的古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是当时的数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。　　近代西欧各国的数学史研究，是从18世纪，由JÉ蒙蒂克拉、C博絮埃、AC克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经Jde拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多，断代史和分科史的研究也逐渐展开，1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。　　①通史研究 代表作可以举出MB康托尔的《数学史讲义》(4卷，1880～1908)以及CB博耶(1894、1919)、DE史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亚（3卷，1929～1933）等人的著作。法国的布尔巴基学派也写了一部数学史收入《数学原理》丛书之中。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M克莱因所著《古今数学思想》一书，被认为是70年代以来的一部佳作。　　②古希腊数学史 许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作出了成绩的有JL海贝格、胡尔奇、TL希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范?德?瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。　　③古埃及和巴比伦数学史 把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》（1935、1937）、《楔形文字数学书》（与萨克斯合著，1945）都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》(1951)一书，汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范?德?瓦尔登的《科学的觉醒》(1954)一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威性著作之一。　　④断代史和分科史研究 德国数学家（C）F克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》(1926～1927)一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家J迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有（CH）H外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特23个数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参预数学史的研究，可能是基于（J-）H庞加莱的如下信念，即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或是如H外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。”　　⑤历代数学家的传记以及他们的《全集》、《选集》的整理和出版 这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。　　⑥专业性学术杂志 最早出现于19世纪末，MB康托尔（1877～1913，30卷）和洛里亚（1898～1922，21卷）都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》（1884～1915，30卷）。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。　　中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书?律历志》说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳，钩深致远，莫不用焉”。《隋书?律历志》记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。　　在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。如刘徽注《九章算术》序 (263)中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”，这是中国，也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位 《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”，记录了宋明间的数学书目。　　以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：①对古算书的整理和研究，《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789～1853)等人。②编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的(1795～1799)。其后，罗士琳作“补遗”(1840)，诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。　　利用现代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起，开始搜集古算书，进行考订、整理和开展研究工作的。经过半个多世纪，李俨的论文自编为《中算史论丛》(1～5集，1954～1955)，钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》(1984)行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有《中国算学史》(1937)、《中国数学大纲》（1958）；钱宝琮有《中国算学史》（上，1932）并主编了《中国数学史》(1964)。钱宝琮校点的《算经十书》(1963)和上述各种专著一道，都是权威性著作。　　从19世纪末，即有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》(第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。　　参考资料：　　　　数学史　　自建国以来，由於中算史专家李俨教授、钱宝琮教授、严敦杰教授的提倡，在国内有不少自发的人员从事于数学史研究，这些人员都是各自独立地进行研究，相互之间，在学术上很少进行磋商，但是，在中国数学史、外国数学史上确有许多急需解决的疑难问题，也就是由於当时形势的需要，急需把这些“个体户”组织起来，按“互助组”的形式进行研究。　　自1977年“互助组”成立以来，已有十五年了。在这期间，相互切磋、相互提携、相互支援、相互协助共同为中国科学、技术史作了不少可喜工作。例如，1984年受国家教委的委托，在北京师范大学举办了“中、外数学史讲习班”，除有百余所高等院校派员参加学习外，还有当代著名数学家江泽涵教授、吴文俊教授、王梓坤教授光临“讲习班”，进行指导并讲话，“讲习班”还邀请了全国十多名著名数学史家前来授课或作专题讲演；在“讲习班”期间，不但播放了中国数学古籍的幻灯片、故宫博物院库藏科、技文物幻灯片，而且有幸参观了故宫博物院库藏数百种科、技文物的实物。这次“讲习班”的活动，收到非常丰硕的效果，之后，有很多人对数学史产生了浓厚兴趣，加入了数学史的行列，从而对数学史进行学习、探讨、研究；也有人积极进行准备，拟开设数学史课，从而改变了全国只有十一所高校开设数学史课的极不相称之局面。　　在中国古典数学中，《九章算术》及《数书九章》是两部著名学术著作，其中有许多千古未解之谜及疑难问题，为了解决这些研究中以及教学中的难题，受国家教委的委托，于1986年在徐州师范学院举办了“《九章算术》暨《数书九章》暑期讲习班”，全国有四、五十所高等院校派员参加了这次“讲习班”。一致认为这次“讲习班”解决了在中国数学史的研究中、教学中的实际困惑和难点。“讲习班”期间，除讲授课程、专题报告外，还组织了多次“专题讨论”；在“专题讨论”中，可以自由发言，讲述个人的不同观点，并可以进行辩论和答问；因而“专题讨论”收到了意想不到的效果。之后，还参观了徐州地区的古迹和出土文物展览。　　原先，由开设数学史课程的十一所高校，后来逐渐扩展为六十多所高校，但是这种大范围的扩展，使得数学史的教材成了当务之亟的问题，因而组织有关人员进行教材的编撰工作；于1986年、1987年分别出版了《中国数学简史》、《外国数学简史》两部高校教材，不止解决了一些高校缺少数学史教材问题，也可供给某些研究生作为业余的读物，这两部教材现已被广大高校所采用。　　为了统一各高校数学史的教学要求，为了划一数学史研究生的培养方案，受国家教委的委托，于1984年在北京师范大学召集了八所高等学校，共同制定了《高校中、外数学史教学大纲（草案）》、《数学史研究生培养方案（草案）》，并呈报给国家教委备案。　　在培养研究生方面，不但使研究生互访“互助组”各校的有关人员，而且还相互邀请“互助组”各校的有关人员前来授课，从而促进各校之间对研究生培养的联系；至於前来北京师大进修的德国慕尼黑大学进修生、日本东海大学高级进修生、日本东北大学进修生，也得到“互助组”各校有关人员的支持。　　为了深入探讨中国古典数学名著，制定了《中国数学史研究丛书》的规划，于1982年、1987年分别出版了两部学术专著，即《〈九章算术〉与刘徽》、《秦九韶与〈数书九章〉》。这两部书出版后，在国内、外引起强烈反应，得到国内、外许多专家的高度评价，认为中国数学史的研究，不但不是没有可深入研究的问题，而相反的是，认为中国数学史的研究前景，是非常广阔而大有作为的。因之，使得国内、外许多学者从事于中国数学史的研究。由於这两部专著的专题性很强，有些其他方面的学术论文不便收录，所以于差不多同时，先后出版了《中国数学史论文集（一）》、《中国数学史论文集（二）》、《中国数学史论文集（三）》；从而为广大学者和读者，提供了学术园地。　　为了弘扬中国古代优秀科技文化，经国家教委批准，并经国家自然科学基金委两次资助以及其他五单位资助，分别于1987年、1991年在北京师范大学举办了“秦九韶《数书九章》成书740周年纪念暨学术研讨国际会议”、“《九章算术》暨刘徽学术思想国际研讨会”，像这样的专题性学术研讨会在国际上并不多见，因而受到国际学术界的重视，会前收到不少国际学术界知名人士的贺电，会后分别寄赠会议论文集，前来参加会议的学者，包括十多个国籍，分别为50余人、60余人；这两次专题性的国际会议，在国际学术界产生了巨大影响。　　为了深入钻研中国古典数学，原拟计划先后出版《中国数学史论文集（四）》、《刘徽研究》、《中国数学史大系》、《南北朝数学》以及《隋唐数学》等书。其中《中国数学史论文集（四）》，早已发稿，由於技术上的原因，推迟了发排的时间；《中国数学史大系》，正在加紧撰写稿件；是国家“八五”期间重点图书，任重而道远，各位执笔者有信心完成任务。《刘徽研究》一书，是《〈九战算术〉与刘徽》一书的继续和发展。经过六年准备，克服了许多困难，终至与读者见面，由于种种原因，还有许多不尽人意的地方，请作者和读者们谅解和批评、指正。《刘徽研究》能得以出版，还是与台湾九章出版社、陕西人民教育出版社、孙文先先生、杨益先生的鼎力相助和大力支持分不开的，在此，特致以由衷的谢意。原来计划全面而深入地探讨刘徽的各项成就，但是，由於发稿较晚、发排较迟、校对也费了不少时日，在这里特向读者致以深切的歉意。　　到现在，“互助组”已不适合当前形势的需要，乃代替以“才团”，我们实事求是，继续前进，争取新的成绩。

从算法教学管窥中国古代数学史俞 昕( 浙江湖州市第二中学 313000) 关于算法的涵义， 人们有着不同的界定 普通高中数学课程标准( 实验) 在学生算法目标达成度上，重在算法思想的理解与应用，界定现代算法的意义就是解决某一类问题的办法 确切地说，就是对于某一类特定的问题，算法给出了解决问题的一系列(有穷) 操作， 即每一操作都有它的确定性的意义( 使计算机能够按照它的指令工作) ，并在有限时间( 有穷步骤)内计算出结果普通高中数学课程标准( 实验) 对! 算法部分∀进行说明时，突出强调! 需要特别指出的是， 中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想∀ 吴文俊先生曾经说过! 我们崇拜中国传统数学，决非泥古迷古、 为古而古 复古是没有出路的 我们的目的不仅是要显示中国古算的真实面貌， 也不仅是为了破除对西算的盲从，端正对中算的认识，我们主要的也是真正的目的， 是在于古为今用 ∀算法教学中蕴涵着丰富的数学史教育价值， 作为新时代的高中数学教师是有必要了解这一点的1 中国古代数学的特点古代数学思想分为两大体系， 一个是以欧几里得的几何原本 为代表的西方数学思想体系，这个体系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封闭的演绎体系为特色 另一个则是以我国的九章算术 为代表的东方数学思想体系，这个体系以算法化的思想、 构造性的方法、 开放的归纳体系为特色我国传统数学在从问题出发，以解决问题为主旨的发展过程中， 建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系， 这与西方数学以欧几里得几何原本 为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对中国古代数学中的! 术∀相当于现代数学术语中的! 公式∀，两者虽有相同点(都可以用来解决一类有关问题) ， 其差异也非常之大 主要表现在，! 公式∀只提供了几个有关的量之间的关系， 指明通过哪些运算可由已知量求出未知量，但并没有列出具体的运算程序，一般地，认为这种程序是已知的了 但! 术∀则由怎样运算的详细程序构成的，可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体程序，即把! 公式∀展开为使用某种计算工具的具体操作步骤 从这点看， ! 术∀正是现代意义上的算法， 是用一套! 程序语言∀所描写的程序化算法，可以照搬到现代计算机上去 我国古代数学包括了今天初等数学中的算术、 代数、 集合和三角等多方面的内容由于受实用价值观的影响， 中国传统数学的研究遵循着一种算法化思想，这种思想从九章算术 开始一直是中国古代数学著作大都沿袭的模式:实际问题# # # 归类# # # 筹式模型化# # # 程序化算法即将社会生产生活中的问题，先编成应用问题，按问题性质分类， 然后概括地近似地表述出一种数学模型， 借助于算筹， 得到这一类问题的一般解法 把算法综合起来， 得到一般原理， 分别隶属于各章，人们按照书中的方法、 原理和实例来解决各种实际问题 可以说，中国传统数学以确定算法为基本内容，又以创造和改进算法为其发展的方向受九章算术 的影响，在之后的几个世纪，一些数学家的著作都以算法为主要特点，包括王孝通的辑古算经 、 贾宪的黄帝九章算法细草 、 刘益的议古根源 、 秦九韶的数书九章 、 李冶的测圆海镜 和益古演段 、 杨辉的详解九章算法 、 日用算法 和杨辉算法 ， 这些著作中包括了增乘开方术、 贾宪三角、 高次方程数值解法、 内插法、 一次同余式组解法等一些著名的算法，进一步发展了中国古代数学算法化的特点，使得算法的特点得到了进一步的强化和发展1 1 中国古代数学的算法化思想算法化的思想是中国古代数学的重要特点，并贯穿于中国古算整个发展过程之中即使是与24 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期图形有关的几何问题也不例外，中算家们将几何方法与算法有机地结合起来，实现了几何问题的算法化这样，从问题出发建立程序化的算法一直是古代中国数学研究的传统，也是中算家们努力的方向这种算法化的思想着重构造实践，更强调! 经验∀、 ! 发现∀和构造性思维方式下从无到有的发明，对今天的算法教学与研究具有重要的启迪作用中国古代数学算法化的思想具体表现如下:第一步，把实际中提出的各种问题转化为数学模型;第二步，把各种数学模型转化为代数方程; 第三步，把代数方程转化为一种程序化的算法; 第四步，设计( 并逐步改进)、 归纳、 推导(寓推理于算法之中)出各种算法; 第五步，通过计算回溯逐步达到解决原来的问题1 2 中国古代数学的构造性方法所谓构造性方法是解决数学问题的一种方法，是创造性思维方式直接作用的结果按照现代直觉主义者，特别是构造主义者的观点，对于一个数学对象，只有当它可以通过有限次的操作而获得，并且在每步操作之后都能有效地确定下一步所需要采取的操作， 才能说它是存在的按照这种思维方式，可以使概念和方法按固定的方式在有限步骤内进行定义或得以实施，或给出一个行之有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造出来换言之，就是能用有限的手段刻画数学对象并针对问题提出具体的解法中国古代数学的算法化思想与构造性的方法紧密相连由于古代中算家所关心的大多是较为实用的问题，他们在解决问题时首先考虑是如何得到可以直接应用的、 可以方便操作的解，而不会满足于仅仅知道解在理论上的存在性 因为这种纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来说是没有多大意义的从而我们推断，构造性方法的产生是算法化思想直接作用的结果从我国许多经典算书中可以发现， 数学构造性方法在算法中有许多精彩的体现 例如就! 方程∀的筹算图阵及其程序设计而言，首先， ! 群物总杂，各列有数，总言其实∀，这是对每行中未知数的系数和常数项的安排，其次， ! 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之∀，这是对诸行关系的安排， ! 并列为行∀又说明了什么叫! 方程∀ 这为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说服力的样板由于构造性的方法特别强调运算的可操作程度， 所以构造出的! 术∀可以通过一系列有限的运算求出解来， 具有一般性时至今日我国古算家所设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电子计算机上实现这也是我国古算在算法上长期居于领先地位的一个重要原因2 中国古代数学中的优秀算法案例 1 中国古代的代数学代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自豪的领域中小学数学中的算术、 代数内容， 从记数以至解联立的线性方程组， 实质上都是中国古代数学家的发明创造结合新课程的算法教学，笔者选取我国古代著名算法进行分析 1 求最大公约数的算法(更相减损术)中国古代数学中，未曾出现素数、 因数分解等概念，但是发明了求两整数的最大公约数的方法# # # 更相减损术: ! 可半者半之，不可半者，副置分母子之数， 以少减多， 更相减损，求其等也以等数约之 ∀事实上此术中包含了三个步骤:第一步， ! 可半者半之∀， 即进行观察， 若分子、分母都是偶数，可先取其半;第二步， ! 不可半者， 副置分母、 子之数， 以少减多，更相减损，求其等也∀;第三步， ! 以等数约之∀其中第二步! 以少减多， 更相减损∀是关键，又是典型的机械化程序在中国古代数学中， 将最大公约数称作! 等∀由于! 更相减损∀过程终可以在有限步骤内实现， 所以它是一种构造性的方法若用现代语言翻译即为:第一步，任意给定两个正整数， 判断它们是否都是偶数 若是，用2 约减，若不是， 执行第二步 第二步， 以较大的数减去较小的数， 接着把所得的差与较小的数比较， 并以大数减小数继续这个操作， 直到所得的数相等为止， 则这个数( 等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数下面运用 QBA SIC 语言来编写相应的程序( 见程序1) 25 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报程序 1INPUT! m， n= ∀ ; m， nIF m< n T HEN a= m m= n n= aEND IFk= 0WHILE m MOD 2= 0 AND n MOD2= 0 m= m/ 2 n= n/ 2 k= k+ 1WENDd= m- nWHILE d< > n IF d> n TH EN m= d ELSE m= n n= d END IF d = m- nWENDd= 2 ∃ k * dPRINT dEND程序 2INPUT A， BWHILE A < > B IF A> B T H EN A = A- B ELSE B= B - A END IFWENDPRINT BEND程序 3INPUT ! M， N (M> N )∀ ; M， NDOR= M- N IF R> N TH EN M= R ELSE M= N N= R END IFLOOP UNTIL R= 0PRINT MEND程序 4INPUT ! n= ∀ ; nINPUT! an= ∀; aINPUT! x= ∀ ; xv= ai= n- 1WH ILE i> = 0 PRINT ! i= ∀; i INPUT! ai= ∀ ; a v= v * x+ a i= i- 1WENDPRINT vEND程序 2和 3 是两个简化的参考程序， 是从不同的角度来实现更相减损的过程! 更相减损术∀提供了一种求两数最大公约数的算法， 这是九章算术 的一个重要成就， 与古希腊欧几里得的几何原本 中用来求最大公约数的! 欧几里得算法∀， 即辗转相除法， 有异曲同工之妙 欧几里得在几何原本 中针对这个问题引入了许多概念， 给出了冗长的逻辑证明 尽管如此，他还是暗用了一条未加说明的公理， 即如果 a， b都被c 整除， 则a- mb也能被c 整除中国古算采用的! 更相减损∀方法，实际上也暗用了一条未加说明的公理， 即若 a- b 可以被c 整除，则 a， b 都能被c 整除 正如刘徽在九章算术注 中! 其所以相减者， 皆等数之重叠∀ 从形式上看! 更相减损术∀比! 辗转相除法∀更复杂， 循环次数要比辗转相除法多， 但对于计算机来说， 作乘除运算要比作加减运算慢得多， 因此更相减损术在计算机上更为好用26 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期 2 求一元 n 次多项式值的算法(秦九韶算法)秦九韶，南宋著名数学家，其学术思想充分体现在数书九章 这一光辉名著中，该著作不仅继承了九章算术 的传统模式， 对中算的固有特点发扬光大，而且完全符合宋元社会的历史背景， 是中世纪世界数学史上的光辉篇章 书中记载了! 正负开方术∀、 ! 大衍求一术∀等著名算法在数书九章 卷五第 17 个问题以! 尖田求积∀为例的算法程序中，可以看出秦九韶对于求一元n 次多项式f ( x ) = anxn+ an- 1 xn- 1+ %+ a1x+ a0 的值所提出的算法秦九韶算法的特点在于通过反复计算n 个一次多项式，逐步得到原多项式的值 在欧洲， 英国数学家霍纳( Horner ) 在1819 年才创造了类似的方法， 比秦九韶晚了572年秦九韶算法把求f ( x ) = anxn+ an- 1 xn- 1+ %+ a1x + a0 的 值 转 化 为 求 递 推 公 式v0= anvk= vk- 1x+ an- k k= 1， 2， %， n中 v n 的值 通过这种转化， 把运算的次数由至多( 1+ n) n2次乘法运算和n 次加法运算，减少为至多 n 次乘法运算和n 次加法运算，大大提高了运算效率这种算法的QBASIC 语言程序如程序 4 所示算法步骤是如下的五步: 第一步， 输入多项式次数 n、 最高次项的系数an 和x 的值;第二步，将 v 的值初始化为a v ，将i 的值初始化为n- 1; 第三步， 输入 i次项的系数ai ;第四步， v= v x+ ai ， i= i- 1; 第五步，判断i 是否大于或等于 0， 若是， 则返回第三步，否则输出多项式的值v 2 中国古代的几何学中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中的一些实际问题中产生， 并为生产生活服务 基于传统实用价值观的影响， 中国古代的几何学并没有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体系，所以中国古代几何学在整个数学史上的地位并不突出，但在许多几何问题的处理上也突出了算法化这一特色 下面以! 割圆术∀为例作简要分析中国古代数学家刘徽创立! 割圆术∀来求圆的面积及其相关问题 刘徽! 瓤而裁之∀，即对与圆周合体的正多边形进行无穷小分割，分成无穷多个以正多边形每边为底、 圆心为顶点的小等腰三角形， 这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面积 这样通过对直线形的无穷小分割， 然后求其极限状态的和的方式证明了圆的面积公式刘徽的算法! 割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣∀体现出程序化的过程， 可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化趋势，并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值的方法， 将这种极限思想用于近似计算其中包含有迭代过程和子程序，是一种典型的循环算法，充分体现了程序化的特点中算家的几何学，并不追求逻辑论证的完美，而是着重于实际计算问题的解决， ! 析理以辞， 解体用图∀， 以建立解决问题的一般方法和一般原则 但另一方面，这种几何学又是以面积、 体积、 勾股相似等为基本概念，以长方形面积算法、 长方形体积算法、 相似勾股形的性质为出发点的， 整个几何理论建立在! 出入相补原理∀等基本原理之上例如，由勾股定理自然地引起平方根的计算问题，而求平方根和立方根的方法， 其步骤就是以出入相补原理为几何背景逐步索骥而得这方面内容的介绍， 不仅可以丰富学生的算法知识，而且可以通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵， 激发学生学习算法的兴趣，体会算法在人类发展史中的作用3 中国古代数学算法的教学价值 1 培养正确数学观的良好平台中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上差别很大，但是重要的是形式后面的认识论发展线索可以为现代算法教学的体系、 教学层次提供依据它的具体数学知识载体也是现代算法教学的重要源泉 各种算法的创立就是创造性劳动的产物，即是创造思维的一种! 凝固∀和! 外化∀ 其次， 通过把一部分问题的求解归结为对于现成算法的! 机械应用∀， 这就为人们积极地去从事新的创造性劳动提供了更大的可能性 从而算法化也就意味着由一个平台向更高点的跳跃吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重见天日， 开拓了数学机械化的新领域， 吴先生提出! 数学教育的现代化就是机械化∀他在研究中这样写道: 数学问题的机械化， 就要求在运算和证明过程中， 每前进一步之后，都有一个确定的必须选27 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报择的下一步， 这样沿着一条有规律的， 刻板的道路，一直达到结论证明机械化的实质在于， 把通常数学证明中所固有的质的困难，转化为计算的量的复杂性计算的量的复杂性在过去是人力不可能解决的，而计算机的出现解决了这种复杂性吴先生的理论和实践已经表明，证明和计算是数学的两个方面， 且又是统一的，这在数学教育中具有重要意义我们应当引导学生了解古人对问题思考的角度，学会站在巨人的肩膀上，比如按照中国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算机上实现开方培养学生在学习数学知识的同时更多地关心所学知识的社会意义和历史意义，力图在面向未来的同时，通过同传统上的哲学、 历史和社会学的思想结合起来， 形成正确的数学观算法教学就为此搭建了一个良好的平台， 并且承载丰富的历史底蕴 2 渗透爱国主义教育的最佳契机与西方相比， 中算理论具有高度概括与精练的特征， 中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算的步骤之中， 起到! 不言而喻， 不证自明∀的作用，可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单， 精巧的理论建筑物 因此， 中算理论可以说是一种! 纲目结构∀:目是组成理论之网的眼孔;纲是联结细目的总绳以术为目， 以率为纲，即是依算法划分理论单元，而用基本的数量关系把它们连结成一个整体 纲举目张，只有抓住贯串其中的基本理论与原理， 才能看清算法的来龙去脉下面是吴文俊先生总结的! 关于算术代数部分发明创造的一张中外对照表∀从算法教学管窥中国古代数学史中国 外国位值制十进位记 最迟在九章算术 成书时已十分成熟 印度最早在 6 世纪末才出现分数运算 周髀算经 中已有， 在九章算术 成书时已成熟 印度最早在 7 世纪才出现十进位小数 刘徽注中引入， 宋秦九韶 1247年时已通行 西欧 16 世纪时始有之， 印度无开平方、 立方 周髀算经 中已有开平方， 九章算术 中开平、 立方已成熟西方在 4 世纪末始有开平方， 但还无开立方， 印度最早在 7 世纪算术应用 九章算术 中有各种类型的应用问题 印度 7 世纪后的数学书中有某些与中国类似的问题与方法正负数 九章算术 中已成熟 印度最早见于 7 世纪，西欧至 16 世纪始有之联立一次方程组 九章算术 中已成熟 印度 7 世纪后开始有一些特殊类型的方程组， 西方迟至 16 世纪始有之二次方程 九章算术 中已隐含了求数值解法，三国时有一般解求法 印度在 7 世纪后，阿拉伯在 9世纪有一般解求法三次方程 唐初( 公元 7 世纪初) 有列方程法， 求数值解已成熟西欧至 16 世纪有一般解求法， 阿拉伯 10 世纪有几何解高次方程 宋时( 12 # 13 世纪)已有数值解法 西欧至 19 世纪初始有同样方法联立高次方程组与消元法 元时( 14 世纪初) 已有之 西欧甚迟，估计在 19 世纪28 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期 3 品位数学美学思想的美妙境界中国古代数学不但具有实用性特征， 还蕴涵着丰富的美学思想 比如九章算术 中列方程的方式，相当于列出其增广矩阵，其消元过程相当于矩阵变换，而矩阵是数学美学方法中对称最典型的表现形式之一; 九章算术 中用几何方法巧妙地解决了很多代数问题， 这是数形结合的统一: 把数学问题改编成歌诀，以便于掌握和传授，这是文学艺术与数学的统一 总之， 在算法教学中， 应努力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教学，这对数学教育的发展具有重要的意义参考文献1 中学数学课程教材研究开发中心 普通高中课程标准实验教材书(数学) [ M] 北京: 人民教育出版社， 20072 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准(实验) [ M] 北京: 人民教育出版社， 20033 李文林 数学史概论(第二版) [ M ] 北京: 高等教育出版社， 20024 王鸿钧， 孙宏安 中国古代数学思想方法[ M] 南京: 江苏教育出版社， 19885 张维忠 数学， 文化与数学课程[ M] 上海: 上海教育出版社， 19996 吴文俊 吴文俊论数学机械化[ M ] 济南: 山东教育出版社， 19957 代钦 儒家思想与中国传统数学[ M] 北京: 商务印书馆， 20038 费泰生 算法及其特征[ J] 数学通讯， 2004， 79 张奠宙 算法[ J] 科学， 2003， 55( 2)10 李建华 算法及其教育价值[ J ] 数学教育学报， 2004， 311 李亚玲 算法及其学习的意义[ J ] 数学通报， 2004， 2(上接第23 页) 实验教师对课改实验进行探索、 总结、 反思、 调整， 推广比较成熟的经验，同时纠正实验过程中的偏颇与极端行为，教学过程逐步进入新的稳定阶段教学过程逐步过渡到以问题为主线、 以活动为主线的! 无环节∀模式( 2)受不同的教学理念影响， 教师角色、 学生角色、 教学目标、 教学过程关注点等方面， 在教学过程中有很大差异教师角色 学生角色 教学目标 教学过程关注领导者(权威)接 受 者(被动)让 学 生 掌握 数 学 知识技能知识 引入， 讲 解本质， 巩固练习主导者(决定)观 察 者(协助)让 学 生 观摩 数 学 产生过程展示 过程， 注 重建构， 强化训练引导者(组织)参 与 者(主动)让 学 生 参与 探 究 数学 生 成 过程问题 情境， 提 出问题， 学生活动( 3) 2004 年高中数学课程改革后， 课堂教学发生一定的变化，广泛地进行! 创设情境∀! 提出问题∀!引导学生探究探索∀， 出现了以! 问题主线∀、! 活动主线∀为主的课堂， 出现了! 问题情境学生活动建立数学运用数学同顾反思∀的整体课堂构思这些改变对于揭示数学的内在本质， 发展学生的思维能力起到积极的作用( 4) 由于受多种因素制约(特别是高考) ，与初中相比， 本次课改后高中数学课堂教学变化幅度不大，近半数的课堂教学模式仍然以五环节为主对于课改倡导的教学理念， 只是渗透在传统的教学模式中，目前高中数学课堂教学改革的力度、 深度与课改的预期目标还有一定的距离我们看到2008 年的赛课教案的创新、 探索力度， 远没有1990 年的名师授课录 大， 那时还没有明确提出课改理念，但他们却进行积极的探索， 关注学生主体 而今天，课改的理念已经系统培训 5 年， 许多教师仍停留在形式层面，未能变成自觉的行为参考文献1 李善良 我国数学教学设计的探索与评析# # # 兼及十年初中数学教师说课评比活动[ J ] 中国数学教育(初中版) ， 2007， 92 编委会 名师授课录(中学数学高中版) [ M] ， 上海教育出版社， 19913 2000 年全国首届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教案(会议资料)4 2008 年全国第四届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教案(会议资料)5 李善良 关于数学教学中问题的设计[ J] 高中数学教与学，2008， 129 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报

浅谈中国古代数学作为一个炎黄子孙，龙的传人，我们可以很骄傲的说我们的祖先有很多优秀的，好的东西留给了我们同时也留给了世界，四大发明，影响着整个世界，改变了整个世界。另外就是今天我们要说的数学，中国古人对数学的研究以及对世界作出的贡献。 在中国明代中叶以前我国的数学一直处于世界的领先地位，这是我们的骄傲，我国古代的许多数学家曾经写下了不少著名的数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书而得以流传下来。这些中国古代数学名著是了解古代数学成就的丰富宝库。比如，现在所知道的最早的数学著作《周髀算经》和《九章算术》，它们都是公元纪元前后的作品，到现在已有两千年左右的历史了。能够使两千年前的数学书籍流传到现在，这本身就是一项了不起的成就。最早由于没有印刷术的出现，我们的古人都是用手抄写的方式，把这些数学知识传给下一代的，古代的数学家给已有的算数作出自己的注解，同时提出自己的心得 观点和看法。 大家最熟悉的数学著作就是《九章算术》了，《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位，它的影响还远及国外。在欧洲中世纪，《九章算术》中的某些算法，例如分数和比例，就有可能先传入印度再经阿拉伯传入欧洲。再如“盈不足” （也可以算是一种一次内插法），在阿拉伯和欧洲早期的数学著作中，就被称作“中国算法”。现在，作为一部世界科学名著，《九章算术》已经被译成许多种文字出版。然而，直到今天我们都不知道这本著作的具体作者是谁，只知道西汉早期的著名数学家张苍（前201—前152）、耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补。《汉书?艺文志》中没有《九章算术》的书名，但是有许商、杜忠二人所著的《算术》，因此有人推断其中或者也含有许、杜二人的工作。1984年，湖北江陵张家山西汉早期古墓出土《算数书》书简，67 推算成书当比《九章算术》早一个半世纪以上，内容和《九章算术》极相类似，有些算题和《九章算术》算题文句也基本相同，可见两书有某些继承关系。可以说《九章算术》是在长时期里经过多次修改逐渐形成的，虽然其中的某些算法可能早在西汉之前就已经有了。正如书名所反映的，全书共分九章，一共搜集了二百四十六个数学问题，连同每个问题的解法，分为九大类，每类算是一章。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。直到我国古代的数学家刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。刘徽可是咱们山东邹平人哟，刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。《海岛算经》，就是刘徽所著，这部书中讲述的都是利用标杆进行两次、三次、最复杂的是四次测量来解决各种测量数学的问题。这些测量数学，正是中国古代非常先进的地图学的数学基础。此外，刘徽对《九章算术》所作的注释工作也是很有名的。一般地说，可以把这些注释看成是《九章算术》中若干算法的数学证明。刘徽注中的“割圆术”开创了中国古代圆周率计算方面的重要方法，他还首次把极限概念应用于解决数学问题。中国古代数学，经过从汉到唐一千多年间的发展，已经形成了更加完备的体系。在这基础上，到了宋元时期（公元十世纪到十四世纪）又有了新的发展。宋元数学，从它的发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就之高来看，都可以说是中国古代数学史上最光辉的一页。 特别是公元十三世纪下半叶，在短短几十年的时间里，出现了秦九韶（1202—1261）、李冶（1192—1279）、杨辉、朱世杰四位著名的数学家。所谓宋元算书就指的是一直流传到现在的这四大家的数学著作，包括： 秦九韶著的《数书九章》（公元1247年）； 李冶的《测圆海镜》（公元1248年）和《益古演段》（公元1259年）； 杨辉的《详解九章算法》（公元1261年）、《日用算法》（公元1262年）、《杨辉算法》（公元1274—1275年）； 朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公元1303年）。另外，大家都知道《算经十书》，它是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时候国子监算学科（国家所设学校的数学科）的教科书。十部算书的名字是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》。 这十部算书，以《周髀算经》为最早，不知道它的作者是谁，据考证，它成书的年代当不晚于西汉后期（公元前一世纪）。《周髀算经》不仅是数学著作，更确切地说，它是讲述当时的一派天文学学说——“盖天说”的天文著作。就其中的数学内容来说，书中记载了用勾股定理来进行的天文计算，还有比较复杂的分数计算。当然不能说这两项算法都是到公元前一世纪才为人们所掌握，它仅仅说明在现在已经知道的资料中，《周髀算经》是比较早的记载。另外，还有就是在出现计算器前，我们使用的算盘，对，就是珠算。说道珠算，我们还有必要提一下筹算。筹算在我国古代用了大约两千年，在生产和科学技术以至人民生活中，发挥了重大的作用。但是它的缺点也是十分明显的：首先，在室外拿着一大把算筹进行计算就很不方便；其次，计算数字的位数越多，所需要的面积越大，受环境和条件的限制；此外，当计算速度加快的时候，很容易由于算筹摆弄不正而造成错误。随着社会的发展，计算技术要求越来越高，筹算需要改革，这是势在必行的。这个改革从中唐以后的商业实用算术开始，经宋元出现大量的计算歌诀，到元末明初珠算的普遍应用，历时七百多年。《新唐书》和《宋史•艺文志》记载了这个时期出现的大量著作。由于封建统治阶级对民间数学十分轻视，以致这些著作的绝大部分已经失传。从遗留下来的著作中可以看出，筹算的改革是从筹算的简化开始而不是从工具改革开始的，这个改革最后导致珠算的出现。珠算是由筹算演变而来的，这是十分清楚的。筹算数字中，上面一根筹当五，下面一根筹当一，珠算盘中的上一珠也是当五，下一珠也是当一；由于筹算在乘、除法中出现某位数字等于十或多于十的情形（例如26532÷8，第一步就是“八二下加四”，就变成），所以珠算盘采用上二珠下五珠的形式。其次，我们可以证明，从杨辉、朱世杰开始到元末丁巨、何平子、贾亨止起除“起一”法外的全部现今通用的珠算歌诀，是为筹算而设的。 杨辉的《乘除通变本末》（公元1274年）和朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）已经有相当完备的歌诀，但是杨辉在《乘除通变本末》中说：“下算不出‘横’‘直’”，其中“横”“直”显然是指算筹的纵横排列，朱世杰在《算学启蒙》中提到“知算纵横数目真”，也是这个意思。《丁巨算法》（公元1355年）、何平子的《详明算法》（公元1373年）、贾亨的《算法全能》（约公元1373年）也有相当完备的归除歌诀，但是都没有提到珠算，而《详明算法》还有许多筹算算草。歌诀出现后，筹算原来存在的缺点就更突出了，歌诀的快捷和摆弄算筹的迟缓存在矛盾。为了得心应手，劳动人民便创造出更加先进的计算工具——珠算盘。 现存文献中最早提到珠算盘的是明初的《对相四言》。明代中期公元十五世纪中叶《鲁班木经》中有制造珠算盘的规格：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，……线上二子，一一寸一分；线下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”把上二子和下五子隔开的不是木制的横梁，而是一条线。比较详细地说明珠算用法的现存著作有徐心鲁的《盘珠算法》（公元1573年）、柯尚_迁的《数学通轨》（公元1578年）、朱载堉（1536—1611）的《算学新说》（公元1584年）、程大位的《直指算法统宗》（公元1592年）等，以程大位的著作流传最广。 值得指出的是，在元代中叶和元末的文学、戏剧作品中有提到珠算的。例如元世祖至元十六年（公元1279年）刘因在他的《静修先生文集》中有一首关于算盘的五言绝诗；陶宗仪在他的《辍耕录》中把婢仆贬作算盘珠，要拨才动；《元曲选》“庞居上误放来生债”提到“去那算盘里拨了我的岁数”，等等。文学、戏剧中用算盘珠作比喻，说明珠算盘已经比较流行，也说明它是比较时新的东西。因此可以认为，珠算出现在元代中叶，元末明初已经普遍应用了。 有的外国学者认为我国的珠算出现在汉代，他们的根据是汉徐岳著、北周甄蛮注的《数术记遗》已经明确提到珠算。我国数学家、数学史家钱宝琮（1892—1974）曾经考证过，《数术记遗》是甄鸾依托伪造而自己注释的书。在北周时，乘、除运算都在上、中、下三层进行，又没有简化乘、除法的歌诀，因此甄鸾注释的珠算，充其量不过是一种记数工具或者只能作加减法的简单算盘，和后来出现的珠算是完全不同的。 珠算还传到朝鲜、日本等国，对这些国家的计算技术的发展曾经起过一定的作用。日本人在十七世纪中叶，在中国算盘的基础上，改成梁上一珠、珠作棱形的日本算盘有次可以看出，我们的祖先不仅在数学领域对世界作出了贡献，同时也把算盘这种便于计算的工具推向了世界。希望我们现在的一代还可以继承祖先的优良传统，在世界的数学之林再次贡献自己的知识，力量，让世界重新认识我们中国。

数学史论文3000字中国古代数学史

浅谈中国古代数学作为一个炎黄子孙，龙的传人，我们可以很骄傲的说我们的祖先有很多优秀的，好的东西留给了我们同时也留给了世界，四大发明，影响着整个世界，改变了整个世界。另外就是今天我们要说的数学，中国古人对数学的研究以及对世界作出的贡献。 在中国明代中叶以前我国的数学一直处于世界的领先地位，这是我们的骄傲，我国古代的许多数学家曾经写下了不少著名的数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书而得以流传下来。这些中国古代数学名著是了解古代数学成就的丰富宝库。比如，现在所知道的最早的数学著作《周髀算经》和《九章算术》，它们都是公元纪元前后的作品，到现在已有两千年左右的历史了。能够使两千年前的数学书籍流传到现在，这本身就是一项了不起的成就。最早由于没有印刷术的出现，我们的古人都是用手抄写的方式，把这些数学知识传给下一代的，古代的数学家给已有的算数作出自己的注解，同时提出自己的心得 观点和看法。 大家最熟悉的数学著作就是《九章算术》了，《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位，它的影响还远及国外。在欧洲中世纪，《九章算术》中的某些算法，例如分数和比例，就有可能先传入印度再经阿拉伯传入欧洲。再如“盈不足” （也可以算是一种一次内插法），在阿拉伯和欧洲早期的数学著作中，就被称作“中国算法”。现在，作为一部世界科学名著，《九章算术》已经被译成许多种文字出版。然而，直到今天我们都不知道这本著作的具体作者是谁，只知道西汉早期的著名数学家张苍（前201—前152）、耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补。《汉书?艺文志》中没有《九章算术》的书名，但是有许商、杜忠二人所著的《算术》，因此有人推断其中或者也含有许、杜二人的工作。1984年，湖北江陵张家山西汉早期古墓出土《算数书》书简，67 推算成书当比《九章算术》早一个半世纪以上，内容和《九章算术》极相类似，有些算题和《九章算术》算题文句也基本相同，可见两书有某些继承关系。可以说《九章算术》是在长时期里经过多次修改逐渐形成的，虽然其中的某些算法可能早在西汉之前就已经有了。正如书名所反映的，全书共分九章，一共搜集了二百四十六个数学问题，连同每个问题的解法，分为九大类，每类算是一章。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。直到我国古代的数学家刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。刘徽可是咱们山东邹平人哟，刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。《海岛算经》，就是刘徽所著，这部书中讲述的都是利用标杆进行两次、三次、最复杂的是四次测量来解决各种测量数学的问题。这些测量数学，正是中国古代非常先进的地图学的数学基础。此外，刘徽对《九章算术》所作的注释工作也是很有名的。一般地说，可以把这些注释看成是《九章算术》中若干算法的数学证明。刘徽注中的“割圆术”开创了中国古代圆周率计算方面的重要方法，他还首次把极限概念应用于解决数学问题。中国古代数学，经过从汉到唐一千多年间的发展，已经形成了更加完备的体系。在这基础上，到了宋元时期（公元十世纪到十四世纪）又有了新的发展。宋元数学，从它的发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就之高来看，都可以说是中国古代数学史上最光辉的一页。 特别是公元十三世纪下半叶，在短短几十年的时间里，出现了秦九韶（1202—1261）、李冶（1192—1279）、杨辉、朱世杰四位著名的数学家。所谓宋元算书就指的是一直流传到现在的这四大家的数学著作，包括： 秦九韶著的《数书九章》（公元1247年）； 李冶的《测圆海镜》（公元1248年）和《益古演段》（公元1259年）； 杨辉的《详解九章算法》（公元1261年）、《日用算法》（公元1262年）、《杨辉算法》（公元1274—1275年）； 朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公元1303年）。另外，大家都知道《算经十书》，它是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时候国子监算学科（国家所设学校的数学科）的教科书。十部算书的名字是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》。 这十部算书，以《周髀算经》为最早，不知道它的作者是谁，据考证，它成书的年代当不晚于西汉后期（公元前一世纪）。《周髀算经》不仅是数学著作，更确切地说，它是讲述当时的一派天文学学说——“盖天说”的天文著作。就其中的数学内容来说，书中记载了用勾股定理来进行的天文计算，还有比较复杂的分数计算。当然不能说这两项算法都是到公元前一世纪才为人们所掌握，它仅仅说明在现在已经知道的资料中，《周髀算经》是比较早的记载。另外，还有就是在出现计算器前，我们使用的算盘，对，就是珠算。说道珠算，我们还有必要提一下筹算。筹算在我国古代用了大约两千年，在生产和科学技术以至人民生活中，发挥了重大的作用。但是它的缺点也是十分明显的：首先，在室外拿着一大把算筹进行计算就很不方便；其次，计算数字的位数越多，所需要的面积越大，受环境和条件的限制；此外，当计算速度加快的时候，很容易由于算筹摆弄不正而造成错误。随着社会的发展，计算技术要求越来越高，筹算需要改革，这是势在必行的。这个改革从中唐以后的商业实用算术开始，经宋元出现大量的计算歌诀，到元末明初珠算的普遍应用，历时七百多年。《新唐书》和《宋史•艺文志》记载了这个时期出现的大量著作。由于封建统治阶级对民间数学十分轻视，以致这些著作的绝大部分已经失传。从遗留下来的著作中可以看出，筹算的改革是从筹算的简化开始而不是从工具改革开始的，这个改革最后导致珠算的出现。珠算是由筹算演变而来的，这是十分清楚的。筹算数字中，上面一根筹当五，下面一根筹当一，珠算盘中的上一珠也是当五，下一珠也是当一；由于筹算在乘、除法中出现某位数字等于十或多于十的情形（例如26532÷8，第一步就是“八二下加四”，就变成），所以珠算盘采用上二珠下五珠的形式。其次，我们可以证明，从杨辉、朱世杰开始到元末丁巨、何平子、贾亨止起除“起一”法外的全部现今通用的珠算歌诀，是为筹算而设的。 杨辉的《乘除通变本末》（公元1274年）和朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）已经有相当完备的歌诀，但是杨辉在《乘除通变本末》中说：“下算不出‘横’‘直’”，其中“横”“直”显然是指算筹的纵横排列，朱世杰在《算学启蒙》中提到“知算纵横数目真”，也是这个意思。《丁巨算法》（公元1355年）、何平子的《详明算法》（公元1373年）、贾亨的《算法全能》（约公元1373年）也有相当完备的归除歌诀，但是都没有提到珠算，而《详明算法》还有许多筹算算草。歌诀出现后，筹算原来存在的缺点就更突出了，歌诀的快捷和摆弄算筹的迟缓存在矛盾。为了得心应手，劳动人民便创造出更加先进的计算工具——珠算盘。 现存文献中最早提到珠算盘的是明初的《对相四言》。明代中期公元十五世纪中叶《鲁班木经》中有制造珠算盘的规格：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，……线上二子，一一寸一分；线下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”把上二子和下五子隔开的不是木制的横梁，而是一条线。比较详细地说明珠算用法的现存著作有徐心鲁的《盘珠算法》（公元1573年）、柯尚_迁的《数学通轨》（公元1578年）、朱载堉（1536—1611）的《算学新说》（公元1584年）、程大位的《直指算法统宗》（公元1592年）等，以程大位的著作流传最广。 值得指出的是，在元代中叶和元末的文学、戏剧作品中有提到珠算的。例如元世祖至元十六年（公元1279年）刘因在他的《静修先生文集》中有一首关于算盘的五言绝诗；陶宗仪在他的《辍耕录》中把婢仆贬作算盘珠，要拨才动；《元曲选》“庞居上误放来生债”提到“去那算盘里拨了我的岁数”，等等。文学、戏剧中用算盘珠作比喻，说明珠算盘已经比较流行，也说明它是比较时新的东西。因此可以认为，珠算出现在元代中叶，元末明初已经普遍应用了。 有的外国学者认为我国的珠算出现在汉代，他们的根据是汉徐岳著、北周甄蛮注的《数术记遗》已经明确提到珠算。我国数学家、数学史家钱宝琮（1892—1974）曾经考证过，《数术记遗》是甄鸾依托伪造而自己注释的书。在北周时，乘、除运算都在上、中、下三层进行，又没有简化乘、除法的歌诀，因此甄鸾注释的珠算，充其量不过是一种记数工具或者只能作加减法的简单算盘，和后来出现的珠算是完全不同的。 珠算还传到朝鲜、日本等国，对这些国家的计算技术的发展曾经起过一定的作用。日本人在十七世纪中叶，在中国算盘的基础上，改成梁上一珠、珠作棱形的日本算盘有次可以看出，我们的祖先不仅在数学领域对世界作出了贡献，同时也把算盘这种便于计算的工具推向了世界。希望我们现在的一代还可以继承祖先的优良传统，在世界的数学之林再次贡献自己的知识，力量，让世界重新认识我们中国。

我发给你，开学时我们写过

中国数学史论文3000字

从算法教学管窥中国古代数学史俞 昕( 浙江湖州市第二中学 313000) 关于算法的涵义， 人们有着不同的界定 普通高中数学课程标准( 实验) 在学生算法目标达成度上，重在算法思想的理解与应用，界定现代算法的意义就是解决某一类问题的办法 确切地说，就是对于某一类特定的问题，算法给出了解决问题的一系列(有穷) 操作， 即每一操作都有它的确定性的意义( 使计算机能够按照它的指令工作) ，并在有限时间( 有穷步骤)内计算出结果普通高中数学课程标准( 实验) 对! 算法部分∀进行说明时，突出强调! 需要特别指出的是， 中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想∀ 吴文俊先生曾经说过! 我们崇拜中国传统数学，决非泥古迷古、 为古而古 复古是没有出路的 我们的目的不仅是要显示中国古算的真实面貌， 也不仅是为了破除对西算的盲从，端正对中算的认识，我们主要的也是真正的目的， 是在于古为今用 ∀算法教学中蕴涵着丰富的数学史教育价值， 作为新时代的高中数学教师是有必要了解这一点的1 中国古代数学的特点古代数学思想分为两大体系， 一个是以欧几里得的几何原本 为代表的西方数学思想体系，这个体系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封闭的演绎体系为特色 另一个则是以我国的九章算术 为代表的东方数学思想体系，这个体系以算法化的思想、 构造性的方法、 开放的归纳体系为特色我国传统数学在从问题出发，以解决问题为主旨的发展过程中， 建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系， 这与西方数学以欧几里得几何原本 为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对中国古代数学中的! 术∀相当于现代数学术语中的! 公式∀，两者虽有相同点(都可以用来解决一类有关问题) ， 其差异也非常之大 主要表现在，! 公式∀只提供了几个有关的量之间的关系， 指明通过哪些运算可由已知量求出未知量，但并没有列出具体的运算程序，一般地，认为这种程序是已知的了 但! 术∀则由怎样运算的详细程序构成的，可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体程序，即把! 公式∀展开为使用某种计算工具的具体操作步骤 从这点看， ! 术∀正是现代意义上的算法， 是用一套! 程序语言∀所描写的程序化算法，可以照搬到现代计算机上去 我国古代数学包括了今天初等数学中的算术、 代数、 集合和三角等多方面的内容由于受实用价值观的影响， 中国传统数学的研究遵循着一种算法化思想，这种思想从九章算术 开始一直是中国古代数学著作大都沿袭的模式:实际问题# # # 归类# # # 筹式模型化# # # 程序化算法即将社会生产生活中的问题，先编成应用问题，按问题性质分类， 然后概括地近似地表述出一种数学模型， 借助于算筹， 得到这一类问题的一般解法 把算法综合起来， 得到一般原理， 分别隶属于各章，人们按照书中的方法、 原理和实例来解决各种实际问题 可以说，中国传统数学以确定算法为基本内容，又以创造和改进算法为其发展的方向受九章算术 的影响，在之后的几个世纪，一些数学家的著作都以算法为主要特点，包括王孝通的辑古算经 、 贾宪的黄帝九章算法细草 、 刘益的议古根源 、 秦九韶的数书九章 、 李冶的测圆海镜 和益古演段 、 杨辉的详解九章算法 、 日用算法 和杨辉算法 ， 这些著作中包括了增乘开方术、 贾宪三角、 高次方程数值解法、 内插法、 一次同余式组解法等一些著名的算法，进一步发展了中国古代数学算法化的特点，使得算法的特点得到了进一步的强化和发展1 1 中国古代数学的算法化思想算法化的思想是中国古代数学的重要特点，并贯穿于中国古算整个发展过程之中即使是与24 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期图形有关的几何问题也不例外，中算家们将几何方法与算法有机地结合起来，实现了几何问题的算法化这样，从问题出发建立程序化的算法一直是古代中国数学研究的传统，也是中算家们努力的方向这种算法化的思想着重构造实践，更强调! 经验∀、 ! 发现∀和构造性思维方式下从无到有的发明，对今天的算法教学与研究具有重要的启迪作用中国古代数学算法化的思想具体表现如下:第一步，把实际中提出的各种问题转化为数学模型;第二步，把各种数学模型转化为代数方程; 第三步，把代数方程转化为一种程序化的算法; 第四步，设计( 并逐步改进)、 归纳、 推导(寓推理于算法之中)出各种算法; 第五步，通过计算回溯逐步达到解决原来的问题1 2 中国古代数学的构造性方法所谓构造性方法是解决数学问题的一种方法，是创造性思维方式直接作用的结果按照现代直觉主义者，特别是构造主义者的观点，对于一个数学对象，只有当它可以通过有限次的操作而获得，并且在每步操作之后都能有效地确定下一步所需要采取的操作， 才能说它是存在的按照这种思维方式，可以使概念和方法按固定的方式在有限步骤内进行定义或得以实施，或给出一个行之有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造出来换言之，就是能用有限的手段刻画数学对象并针对问题提出具体的解法中国古代数学的算法化思想与构造性的方法紧密相连由于古代中算家所关心的大多是较为实用的问题，他们在解决问题时首先考虑是如何得到可以直接应用的、 可以方便操作的解，而不会满足于仅仅知道解在理论上的存在性 因为这种纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来说是没有多大意义的从而我们推断，构造性方法的产生是算法化思想直接作用的结果从我国许多经典算书中可以发现， 数学构造性方法在算法中有许多精彩的体现 例如就! 方程∀的筹算图阵及其程序设计而言，首先， ! 群物总杂，各列有数，总言其实∀，这是对每行中未知数的系数和常数项的安排，其次， ! 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之∀，这是对诸行关系的安排， ! 并列为行∀又说明了什么叫! 方程∀ 这为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说服力的样板由于构造性的方法特别强调运算的可操作程度， 所以构造出的! 术∀可以通过一系列有限的运算求出解来， 具有一般性时至今日我国古算家所设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电子计算机上实现这也是我国古算在算法上长期居于领先地位的一个重要原因2 中国古代数学中的优秀算法案例 1 中国古代的代数学代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自豪的领域中小学数学中的算术、 代数内容， 从记数以至解联立的线性方程组， 实质上都是中国古代数学家的发明创造结合新课程的算法教学，笔者选取我国古代著名算法进行分析 1 求最大公约数的算法(更相减损术)中国古代数学中，未曾出现素数、 因数分解等概念，但是发明了求两整数的最大公约数的方法# # # 更相减损术: ! 可半者半之，不可半者，副置分母子之数， 以少减多， 更相减损，求其等也以等数约之 ∀事实上此术中包含了三个步骤:第一步， ! 可半者半之∀， 即进行观察， 若分子、分母都是偶数，可先取其半;第二步， ! 不可半者， 副置分母、 子之数， 以少减多，更相减损，求其等也∀;第三步， ! 以等数约之∀其中第二步! 以少减多， 更相减损∀是关键，又是典型的机械化程序在中国古代数学中， 将最大公约数称作! 等∀由于! 更相减损∀过程终可以在有限步骤内实现， 所以它是一种构造性的方法若用现代语言翻译即为:第一步，任意给定两个正整数， 判断它们是否都是偶数 若是，用2 约减，若不是， 执行第二步 第二步， 以较大的数减去较小的数， 接着把所得的差与较小的数比较， 并以大数减小数继续这个操作， 直到所得的数相等为止， 则这个数( 等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数下面运用 QBA SIC 语言来编写相应的程序( 见程序1) 25 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报程序 1INPUT! m， n= ∀ ; m， nIF m< n T HEN a= m m= n n= aEND IFk= 0WHILE m MOD 2= 0 AND n MOD2= 0 m= m/ 2 n= n/ 2 k= k+ 1WENDd= m- nWHILE d< > n IF d> n TH EN m= d ELSE m= n n= d END IF d = m- nWENDd= 2 ∃ k * dPRINT dEND程序 2INPUT A， BWHILE A < > B IF A> B T H EN A = A- B ELSE B= B - A END IFWENDPRINT BEND程序 3INPUT ! M， N (M> N )∀ ; M， NDOR= M- N IF R> N TH EN M= R ELSE M= N N= R END IFLOOP UNTIL R= 0PRINT MEND程序 4INPUT ! n= ∀ ; nINPUT! an= ∀; aINPUT! x= ∀ ; xv= ai= n- 1WH ILE i> = 0 PRINT ! i= ∀; i INPUT! ai= ∀ ; a v= v * x+ a i= i- 1WENDPRINT vEND程序 2和 3 是两个简化的参考程序， 是从不同的角度来实现更相减损的过程! 更相减损术∀提供了一种求两数最大公约数的算法， 这是九章算术 的一个重要成就， 与古希腊欧几里得的几何原本 中用来求最大公约数的! 欧几里得算法∀， 即辗转相除法， 有异曲同工之妙 欧几里得在几何原本 中针对这个问题引入了许多概念， 给出了冗长的逻辑证明 尽管如此，他还是暗用了一条未加说明的公理， 即如果 a， b都被c 整除， 则a- mb也能被c 整除中国古算采用的! 更相减损∀方法，实际上也暗用了一条未加说明的公理， 即若 a- b 可以被c 整除，则 a， b 都能被c 整除 正如刘徽在九章算术注 中! 其所以相减者， 皆等数之重叠∀ 从形式上看! 更相减损术∀比! 辗转相除法∀更复杂， 循环次数要比辗转相除法多， 但对于计算机来说， 作乘除运算要比作加减运算慢得多， 因此更相减损术在计算机上更为好用26 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期 2 求一元 n 次多项式值的算法(秦九韶算法)秦九韶，南宋著名数学家，其学术思想充分体现在数书九章 这一光辉名著中，该著作不仅继承了九章算术 的传统模式， 对中算的固有特点发扬光大，而且完全符合宋元社会的历史背景， 是中世纪世界数学史上的光辉篇章 书中记载了! 正负开方术∀、 ! 大衍求一术∀等著名算法在数书九章 卷五第 17 个问题以! 尖田求积∀为例的算法程序中，可以看出秦九韶对于求一元n 次多项式f ( x ) = anxn+ an- 1 xn- 1+ %+ a1x+ a0 的值所提出的算法秦九韶算法的特点在于通过反复计算n 个一次多项式，逐步得到原多项式的值 在欧洲， 英国数学家霍纳( Horner ) 在1819 年才创造了类似的方法， 比秦九韶晚了572年秦九韶算法把求f ( x ) = anxn+ an- 1 xn- 1+ %+ a1x + a0 的 值 转 化 为 求 递 推 公 式v0= anvk= vk- 1x+ an- k k= 1， 2， %， n中 v n 的值 通过这种转化， 把运算的次数由至多( 1+ n) n2次乘法运算和n 次加法运算，减少为至多 n 次乘法运算和n 次加法运算，大大提高了运算效率这种算法的QBASIC 语言程序如程序 4 所示算法步骤是如下的五步: 第一步， 输入多项式次数 n、 最高次项的系数an 和x 的值;第二步，将 v 的值初始化为a v ，将i 的值初始化为n- 1; 第三步， 输入 i次项的系数ai ;第四步， v= v x+ ai ， i= i- 1; 第五步，判断i 是否大于或等于 0， 若是， 则返回第三步，否则输出多项式的值v 2 中国古代的几何学中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中的一些实际问题中产生， 并为生产生活服务 基于传统实用价值观的影响， 中国古代的几何学并没有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体系，所以中国古代几何学在整个数学史上的地位并不突出，但在许多几何问题的处理上也突出了算法化这一特色 下面以! 割圆术∀为例作简要分析中国古代数学家刘徽创立! 割圆术∀来求圆的面积及其相关问题 刘徽! 瓤而裁之∀，即对与圆周合体的正多边形进行无穷小分割，分成无穷多个以正多边形每边为底、 圆心为顶点的小等腰三角形， 这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面积 这样通过对直线形的无穷小分割， 然后求其极限状态的和的方式证明了圆的面积公式刘徽的算法! 割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣∀体现出程序化的过程， 可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化趋势，并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值的方法， 将这种极限思想用于近似计算其中包含有迭代过程和子程序，是一种典型的循环算法，充分体现了程序化的特点中算家的几何学，并不追求逻辑论证的完美，而是着重于实际计算问题的解决， ! 析理以辞， 解体用图∀， 以建立解决问题的一般方法和一般原则 但另一方面，这种几何学又是以面积、 体积、 勾股相似等为基本概念，以长方形面积算法、 长方形体积算法、 相似勾股形的性质为出发点的， 整个几何理论建立在! 出入相补原理∀等基本原理之上例如，由勾股定理自然地引起平方根的计算问题，而求平方根和立方根的方法， 其步骤就是以出入相补原理为几何背景逐步索骥而得这方面内容的介绍， 不仅可以丰富学生的算法知识，而且可以通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵， 激发学生学习算法的兴趣，体会算法在人类发展史中的作用3 中国古代数学算法的教学价值 1 培养正确数学观的良好平台中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上差别很大，但是重要的是形式后面的认识论发展线索可以为现代算法教学的体系、 教学层次提供依据它的具体数学知识载体也是现代算法教学的重要源泉 各种算法的创立就是创造性劳动的产物，即是创造思维的一种! 凝固∀和! 外化∀ 其次， 通过把一部分问题的求解归结为对于现成算法的! 机械应用∀， 这就为人们积极地去从事新的创造性劳动提供了更大的可能性 从而算法化也就意味着由一个平台向更高点的跳跃吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重见天日， 开拓了数学机械化的新领域， 吴先生提出! 数学教育的现代化就是机械化∀他在研究中这样写道: 数学问题的机械化， 就要求在运算和证明过程中， 每前进一步之后，都有一个确定的必须选27 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报择的下一步， 这样沿着一条有规律的， 刻板的道路，一直达到结论证明机械化的实质在于， 把通常数学证明中所固有的质的困难，转化为计算的量的复杂性计算的量的复杂性在过去是人力不可能解决的，而计算机的出现解决了这种复杂性吴先生的理论和实践已经表明，证明和计算是数学的两个方面， 且又是统一的，这在数学教育中具有重要意义我们应当引导学生了解古人对问题思考的角度，学会站在巨人的肩膀上，比如按照中国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算机上实现开方培养学生在学习数学知识的同时更多地关心所学知识的社会意义和历史意义，力图在面向未来的同时，通过同传统上的哲学、 历史和社会学的思想结合起来， 形成正确的数学观算法教学就为此搭建了一个良好的平台， 并且承载丰富的历史底蕴 2 渗透爱国主义教育的最佳契机与西方相比， 中算理论具有高度概括与精练的特征， 中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算的步骤之中， 起到! 不言而喻， 不证自明∀的作用，可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单， 精巧的理论建筑物 因此， 中算理论可以说是一种! 纲目结构∀:目是组成理论之网的眼孔;纲是联结细目的总绳以术为目， 以率为纲，即是依算法划分理论单元，而用基本的数量关系把它们连结成一个整体 纲举目张，只有抓住贯串其中的基本理论与原理， 才能看清算法的来龙去脉下面是吴文俊先生总结的! 关于算术代数部分发明创造的一张中外对照表∀从算法教学管窥中国古代数学史中国 外国位值制十进位记 最迟在九章算术 成书时已十分成熟 印度最早在 6 世纪末才出现分数运算 周髀算经 中已有， 在九章算术 成书时已成熟 印度最早在 7 世纪才出现十进位小数 刘徽注中引入， 宋秦九韶 1247年时已通行 西欧 16 世纪时始有之， 印度无开平方、 立方 周髀算经 中已有开平方， 九章算术 中开平、 立方已成熟西方在 4 世纪末始有开平方， 但还无开立方， 印度最早在 7 世纪算术应用 九章算术 中有各种类型的应用问题 印度 7 世纪后的数学书中有某些与中国类似的问题与方法正负数 九章算术 中已成熟 印度最早见于 7 世纪，西欧至 16 世纪始有之联立一次方程组 九章算术 中已成熟 印度 7 世纪后开始有一些特殊类型的方程组， 西方迟至 16 世纪始有之二次方程 九章算术 中已隐含了求数值解法，三国时有一般解求法 印度在 7 世纪后，阿拉伯在 9世纪有一般解求法三次方程 唐初( 公元 7 世纪初) 有列方程法， 求数值解已成熟西欧至 16 世纪有一般解求法， 阿拉伯 10 世纪有几何解高次方程 宋时( 12 # 13 世纪)已有数值解法 西欧至 19 世纪初始有同样方法联立高次方程组与消元法 元时( 14 世纪初) 已有之 西欧甚迟，估计在 19 世纪28 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期 3 品位数学美学思想的美妙境界中国古代数学不但具有实用性特征， 还蕴涵着丰富的美学思想 比如九章算术 中列方程的方式，相当于列出其增广矩阵，其消元过程相当于矩阵变换，而矩阵是数学美学方法中对称最典型的表现形式之一; 九章算术 中用几何方法巧妙地解决了很多代数问题， 这是数形结合的统一: 把数学问题改编成歌诀，以便于掌握和传授，这是文学艺术与数学的统一 总之， 在算法教学中， 应努力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教学，这对数学教育的发展具有重要的意义参考文献1 中学数学课程教材研究开发中心 普通高中课程标准实验教材书(数学) [ M] 北京: 人民教育出版社， 20072 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准(实验) [ M] 北京: 人民教育出版社， 20033 李文林 数学史概论(第二版) [ M ] 北京: 高等教育出版社， 20024 王鸿钧， 孙宏安 中国古代数学思想方法[ M] 南京: 江苏教育出版社， 19885 张维忠 数学， 文化与数学课程[ M] 上海: 上海教育出版社， 19996 吴文俊 吴文俊论数学机械化[ M ] 济南: 山东教育出版社， 19957 代钦 儒家思想与中国传统数学[ M] 北京: 商务印书馆， 20038 费泰生 算法及其特征[ J] 数学通讯， 2004， 79 张奠宙 算法[ J] 科学， 2003， 55( 2)10 李建华 算法及其教育价值[ J ] 数学教育学报， 2004， 311 李亚玲 算法及其学习的意义[ J ] 数学通报， 2004， 2(上接第23 页) 实验教师对课改实验进行探索、 总结、 反思、 调整， 推广比较成熟的经验，同时纠正实验过程中的偏颇与极端行为，教学过程逐步进入新的稳定阶段教学过程逐步过渡到以问题为主线、 以活动为主线的! 无环节∀模式( 2)受不同的教学理念影响， 教师角色、 学生角色、 教学目标、 教学过程关注点等方面， 在教学过程中有很大差异教师角色 学生角色 教学目标 教学过程关注领导者(权威)接 受 者(被动)让 学 生 掌握 数 学 知识技能知识 引入， 讲 解本质， 巩固练习主导者(决定)观 察 者(协助)让 学 生 观摩 数 学 产生过程展示 过程， 注 重建构， 强化训练引导者(组织)参 与 者(主动)让 学 生 参与 探 究 数学 生 成 过程问题 情境， 提 出问题， 学生活动( 3) 2004 年高中数学课程改革后， 课堂教学发生一定的变化，广泛地进行! 创设情境∀! 提出问题∀!引导学生探究探索∀， 出现了以! 问题主线∀、! 活动主线∀为主的课堂， 出现了! 问题情境学生活动建立数学运用数学同顾反思∀的整体课堂构思这些改变对于揭示数学的内在本质， 发展学生的思维能力起到积极的作用( 4) 由于受多种因素制约(特别是高考) ，与初中相比， 本次课改后高中数学课堂教学变化幅度不大，近半数的课堂教学模式仍然以五环节为主对于课改倡导的教学理念， 只是渗透在传统的教学模式中，目前高中数学课堂教学改革的力度、 深度与课改的预期目标还有一定的距离我们看到2008 年的赛课教案的创新、 探索力度， 远没有1990 年的名师授课录 大， 那时还没有明确提出课改理念，但他们却进行积极的探索， 关注学生主体 而今天，课改的理念已经系统培训 5 年， 许多教师仍停留在形式层面，未能变成自觉的行为参考文献1 李善良 我国数学教学设计的探索与评析# # # 兼及十年初中数学教师说课评比活动[ J ] 中国数学教育(初中版) ， 2007， 92 编委会 名师授课录(中学数学高中版) [ M] ， 上海教育出版社， 19913 2000 年全国首届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教案(会议资料)4 2008 年全国第四届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教案(会议资料)5 李善良 关于数学教学中问题的设计[ J] 高中数学教与学，2008， 129 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报

1、非10进制记数的利和弊 　　2、数的概念的发展与人类认识能力提高的关系 　　3、比较古代埃及人和古代巴比伦人解方程的方法，探讨他们各自对后来的数学发展的启迪作用 　　4、为什么毕达哥拉斯学派关于不可公度量的发现会在数学中产生危机? 　　5、欧几里得《原本》中的代数 　　6、欧几里德《几何原本》与公理化思想； 　　7、在几何学中有没有“王者之路” 　　8、无所不在的斐波那契数列 　　9、文艺复兴时期数学发展的重要因素 　　10、达•芬奇与数学 　　11、十进制小数的历史 　　12、圆周率的历史作用 　　13、“圆”中的数学文化 　　14、明代中国商业算术处于突出地位的原因 　　15、近代中国数学落后的原因 　　16、芝诺悖论与微积分的关系 　　17、未解决的问题在数学中的重要性 　　17、黄金分割引出的数学问题 　　18、试论数学悖论对数学发展的影响 　　19、第一次数学危机及其克服 　　20、第二次数学危机及其克服 　　21、第三次数学危机及其克服 　　22、数学对当代社会文化的影响 　　23、试论数学的发展对人类社会的进步的推动作用 　　24、从历史观看数学 　　25、数学符号的价值 　　26、谈对数学本质的认识 　　27、试论数学科学的价值 　　28、函数概念的发展 　　29、空间概念的发展 　　30、曲线概念的发展 　　31、数学对天文学的推动 　　32、数学中无穷思想的发展 　　33、数学中的美 　　34、音乐中的数学 　　35、艺术中的数学 　　36、浅谈数学语言的特点 　　37、论数学的抽象性 　　38、关于数学的严谨性 　　39、关于数学的真理性 　　40、数学家的不幸 　　41、数学家的幸运 　　42、从数学史中扩展的数学知识 　　43、从程大位的《算法统宗》“首篇”河图、洛书等看《易经》与珠算之联 44、 梵语的盛行——十进制的发明之谜 45、 中国古代数学发展缓慢的启示 　　46、 从矩阵的萌芽论中国传统数学的文化底蕴 　　47、 《九章算术》刘徽注中的算法分析工作与算法分析思想 　　48、 《费马大定理》读后感 ‍　　49、 黎曼猜想浅谈 　　50、 再论《巧排九方》——一个传统的数字推理趣题之详解及其推广 　　51．、 数学史上的三次危机 52、 笛卡儿解析几何思想的文化内涵 53、 理性数学的哲学起源 54、中国数学教育史研究进展 这是我搜集的部分资料，

世界中世纪史论文

欧洲自公元500年至公元1500年的一千年间被称为中世纪，这个时期历来被认为是欧洲最为黑暗的时期。由于蛮族的入侵和定居引起了罗马帝国的崩溃，几乎造成当时欧洲文化的完全毁灭。西欧的封建制度便是在这一背景下，由日尔曼、罗马和基督教三种因素互相融合，从罗马灭亡后的废墟上产生、发展起来的。骑士制度同样也产生于中世纪的欧洲，是欧洲在封建化的过程中逐步产生、确立起来的封建附庸制度。中世纪的欧洲国家是一种松懈的领土集合体。在一个国家里，以皇帝、国王、公爵等为最高领主，其他大贵族则以向其宣誓效忠来换取封地——“采邑”，从而成为最高领主的附庸。这些附庸各自又可以拥有从属于自己的附庸，直到拥有少量土地或无地的骑士们，如此便构成了西欧完整的封建等级体系。

中世纪西欧的统一是文化上和宗教上的统一，在人们观念中的统一。在实际政治生活中，它形成了多元的政治秩序。与古希腊城邦时代相比，它的多元主义更加复杂多样，或者说，更加杂乱。 � 多元主义最突出的表现是教会与国家、教权与俗权的分化。它造成了西欧从社会权力结构到人的日常生活，从最高权力层面到基层的教区村镇、领地的最深刻的纵向分裂。有关政教二元化的问题将在后面详述。 � 在纯世俗政治领域，我们看到的同样是极其复杂的多元主义格局。 � 从水平方向上看，西欧并存着各种政治实体：帝国、王国、教皇国，以及多少具有独立地位的公国、伯爵领地、城市、主教领地、修道院等，每个政治实体都有特定的管辖权和管辖范围，其存在都有法律依据或历史根据，然而它们的权利和地位又常常相互重叠和冲突。在名义上，这些实体是属于不同层面的，帝国和罗马教廷属最高层面，[1]其次是王国，然后是公爵领地、伯爵领地、城市、主教领地、修道院等。但在事实上，这种层面的区分并不很清晰，且高一层面对低一层面的控制也是有限的，他们往往互不统属，各自独立。[2] � 中世纪西欧人在观念上笼罩在罗马帝国的巨大阴影之中。查理曼帝国和日尔曼人的神圣罗马帝国都被理解为罗马帝国的复活，在名义上，代表着西欧的统一。但查理曼帝国只是昙花一现，日尔曼罗马帝国只是徒具其名。在最好的情况下，也只是实现了对德意志王公和意大利有限的控制。天主教会是维护西欧统一的主要力量，它自身也具有统一的组织形式，享有对各国教会的控制权。然而它对各国教会的控制权也常常遭到蔑视。各国世俗政府控制本国教会的企图构成教会政治统一的主要障碍。各国的主教也有一种离心力，在教会利益与本国利益间常摇摆不定。 � 统一的基督教帝国的理想进入14世纪后就已经失去了实际政治影响，代之而起的是许多平等的主权国家并立的局面。不过，主权国家的形成是长期历史发展的产物。还在查理曼帝国解体后，就已形成了多国并立的分裂格局。每个国家发展起独立的个性。它们起初虽然权力有限，有的甚至极其分散，但它们是权力集中的焦点。在英国和法国，通过王权的加强，控制本国教会，将封建附庸转变为国王的官僚和臣民，实现了国家的统一。在德国，这种权力集中的倾向在诸侯的层面上表现出来，皇帝被架空，国家内部形成多元的政治实体。 � 各个王国虽然都具有向外扩张的冲动，但总的说来，扩张的意识并不很强，且总是被独立的努力和离心的倾向所抵销。并且，任何一个企图僭越的国家都会受到其它一些国家(或政治势力)联合的抵制与制裁。结果是在数百年之中，维持了一种“欧洲均势”。这种“均势”直到近代仍然如此。 � 从垂直的方向来看，西欧远没有形成统一的权力中心，更没有整齐划一的政治秩序。帝国与王国之间，领主与附庸之间，王国与城市之间、罗马教会与各国教会之间，都没有形成僵固不变的关系，更没有自上而下的绝对统治。每一种权力都受到来自水平方向或来自下层的权力的制约，每一种权力都由其它一些权力将其限制、阻挡和分散。上下之间保持着某种张力，但又不至完全破裂。整体保持着一定的内凝力，但又不排斥多样性和个体的独立性。到中世纪末期，这种不稳定平衡开始发生倾斜。在英法，迈向君主专制；在德意，则导致长期的分裂，集权过程在中间的层面上完成。结果是加剧了多元化局面。所以，中世纪西欧是罗马帝国大厦崩塌后散落的一堆碎片，是大大小小领地的连缀，并没有形成真正意义上的国家。近代民族国家的三个要素：主权、人民、土地，在中世纪并不具备。国家没有最高主权，每块封地及封地上的人民可随领主的改变而转来转去。中世纪西欧人的心理特征在于，他们对这种“国将不国”、“天下大乱”的局面并未感到不安。 � 中世纪社会几乎所有的关系，权利、特权、义务、地位、身份，都是个别发展的产物，而不是统一法律和政令建立起来的统一制度。比如每个城市与其领主或国王的关系就是典型。每种制度都有例外，每个法律都不指望无差别地到处适用。所以，中世纪的政治制度是无法概括的，任何概括都易出现遗漏和片面性。 � 在多元主义的政治格局下，每个西欧人具有多重角色。分别与领主、国王、教会、城市等发生关系，被置于多重秩序之中。托马斯�6�1阿奎那曾谈到人受四重法律的支配，即永恒法(上帝的智慧)、自然法、人法、神法(教会法)，[3] H伯尔曼通过对中世纪西方法制的研究得出的结论是，西方基督教世界的法律所具有的独有特征在于，每个个人都生活在一种复合的法律体系之下，其中，每一种法律都治理个人作为其中一名成员的交迭重合的次级共同体中的一个。没有一种法律要求统揽整个司法管辖权。这些法律体系就是王室法、封建法、庄园法、商人法、教会法等。这样一来，各种权力体系汇集到他的身上，分割了他的生活。比如在中世纪英国，王权、教权和领主权汇集于基层，形成村镇、庄园和教区三位一体的社会组织。“在这种共同体里，教区执掌教化，村镇负责行政治安，庄园法庭管司法，三者独立行使职权。与此相应，生活在这种共同体内的每个成员既作为教区的教民，也作为国王的臣民，同时还作为领主的庄民。”[4]他使每个人的服从与忠诚并不固着于一个不变的权力中心。 � 在政治领域里，王室、贵族和教会形成鼎足而立的三大政治势力，他们的相互合作与角逐，是多元化政治秩序的典型表现。有时教会与王权结盟，神化王权，对抗贵族的分裂倾向；有时它又站在贵族营垒，联手扼制王权的专制倾向。在王权与教权的冲突中，贵族有时站在教会一边，抑制王权的膨张；有时又站在王权一边，抵档教权的扩张。王权同时实现对教会和贵族的控制在中世纪只是偶而出现过。 � 对西欧社会来说，多元主义是一把双刃剑，它给社会带来混乱无序，甚至无政府状态。给人民生活带来无穷灾难和痛苦。然而它也产生了正面效应。它使任何一种权力无法实现对个人的绝对控制。各种权力彼此分割，互相竞争与制约，给个人留下了一定自主与自由的罅隙。 � 多元主义政治结构使每种社会政治力量都获得了存在的权利。在它们的互相竞争或争夺中不断发展和完善自己。每个国家(或民族)都形成了自己的个性，培育起了所谓“英国精神”、“法兰西精神”、“日尔曼精神”等，它们之间相互影响和渗透，形成西欧多元化创造精神的源泉和多元化发展道路。法国是封建主义的典型，英国为西欧提供了大宪章和议会政治的范例。作为罗马文化故土的意大利率先兴起罗马法复兴的热潮，而瑞士州联邦则第一个建立了民主制度，给君主制的欧洲冲开了第一道口子。每一个国家选择了独特的道路，都为整个西欧的发展贡献了自己的创造。各国发展的不平衡并没有导致一种力量长久占据优势，更没有窒息其它国家的发展。相反，各国相互影响，相互促进，彼此消长，交错前进，推动着西欧整体的发展。 � 各种社会力量、各个社会等级、社会组织、团体和各种地域性的单位，教会、城市、贵族、僧团、行会、议会、修道院等，也同样发展起自己丰满的个性，成为不同创造力的源泉，为整体的发展做出了独有的贡献。[5]它们的相互竞争、激荡、渗透，使社会整体多彩多姿，充满生机和活力。同样，在思想领域，中世纪政治思想有多种源头：希腊的、罗马的、基督教的（官方的和异端的）、日尔曼的、城市的、伊斯兰教的、犹太教的等等。中世纪思想发展的一大奇观就是这些大不相同的文化因素的互相融合。 � 可见，中世纪的西欧呈现出没有秩序的秩序，没有中心的统一，混乱中的和谐。“伴随着这种混乱和骚动，我们看到对法治的坚定信仰，对正义的社会秩序的不懈追求：这就是中世纪政治制度史的真正特点。”[6]从某种意义上说，西欧中世纪的政治文化是不完善的，不成形的，或不成熟的。正因为如此，它也就处于不断的变动之中，而不是凝固和僵化。没有一种理想真正实现，没有一种要求完全满足，创造与追求的冲动从未停歇。虽然从总体上说，西欧中世纪的发展水平是较低的，但是，它属于一种特别类型的文化，注定有远大前途。也就是说，只有这种类型的政治文化才能产生现代政治文明。并且，它有着惊人的发展速度。可以说，每过一个世纪西欧社会就有一种新面貌，变化往往是以世纪甚至年代来计量的。整个中世纪社会运动很像一场巨大的地壳变迁：经过动荡、破裂、组合、喷涌、聚积、沉淀，从未安静和停滞，不断有新的事务涌现，不断有蜕变与新生。从混沌的运动中，逐渐形成有序的新文明。到中世纪末期，它已显露出了基本轮廓。从发展水平上看，这时西方已经走在了世界各民族的前列。

一、西欧与中国城市的不同特点 1、城市起源不同。西欧中古城市是在10至11世纪重新复苏和产生的。其特点之一是在完成了封建制后，社会生产力进一步发展，手工业从庄园经济中分离，成为西欧城市产生的经济前提和物质基础。特点之二，西欧城市“不是从过去历史现成地继承下来的，而是获得自由的农奴重新建立起来的。”〔①〕这是西欧城市产生的阶级前提和政治基础。西欧城市多产生于水陆交通要道、商业转手处以及人口稠密、土地肥沃、居民感到手工业不足的农业区。如法国巴黎以及北部的佛兰德尔、不拉奔；德国的科伦、吕伯克、柏林；英国的曼彻斯特、约克、伦敦；意大利的威尼斯、佛罗伦萨等城市。另外从安全方面着想，城市还产 生于大领主、大主教、修道院所在地以及军事堡垒附近。新城堡的建立要经过一个较长的历史过程，开始只是作为手工业、商业的居留地。例如佛兰德尔的布鲁日城，该地原是佛兰德尔伯爵领地，962年后伯爵鲍尔文（铁臂）在利斯小河的转变处建造了一所城堡，在它的外面不久兴起了一个由小贩、手艺人和酒肆店员住着的新堡或“郊区”，新城堡开始用木栏栅围起来，以后又从数里以外的一个古罗马城市的废墟上运来石头砌成石头城堡。新堡是一个新兴的工商业聚居地，旧城堡是封建领主的宅第。西欧新兴的城市，如汉堡、纽伦堡、斯特拉斯堡等带“堡”（Bourg）的字根，以及圣日耳曼、圣德尼圣波耳等带“圣”字（san，saint）的字根，多反映了当时该城堡起源于旧的军事堡垒或教会修道院附近。“到了十一世纪末期，‘堡民’（Bourgperson）不复意味着一个城堡的兵士或仆从，而意味着市民了”〔②〕。至于兴起于河川渡口的城市，在名称上也有反映，如法兰克福（Frankford ，法兰克人的渡口）、牛津（oxford，牛的渡口）等。这些新兴的或在旧的废墟上复苏重建的城市，规模并不大，一般只有几百人以至二、三千人，上万人的城市已很稀有，14世纪的英国伦敦，这个一国的经济、政治、军事中心也只有4万居民。虽然新的居留地不大，但它却对封建的自给自足的闭塞经济打开了缺口。国内市场开始建立起来，导致了封建经济瓦解。 中国的情况则不同。中国较西欧进入封建社会要早一千年（中国是公元前475年，西欧是公元后476年）。中国在从奴隶制到封建制这个转变时期，虽然也经历了大动荡，但时间短，没有经历像古罗马那样外族（部族）入侵破坏，原来的上层建筑没有遭到彻底摧毁而是经过一定的改造（改革）实现的。奴隶制时期的旧城市，在进入封建制后基本继承下来，在新的生产关系的推动下，随着农业、手工业、商业的发展和大量分封，到战国时期，城市大量增加而且较前繁荣了。如当时赵奢答田单说：“古者四海之内分为万国，城虽大无过三百丈者，人虽众无过三千家者……。今千丈之城，万家之邑相望也。”齐国都城临淄已发展到“七万户、甚富而实……。临淄之途，车毂击，人肩摩，连衽成帷，举袂成幕，挥汗成雨”〔④〕的大城市了。就城市种类来分，因手工业、商业的发展作为前提条件形成的经济中心城市，在中国史籍记载上随着社会的发展进步日益增长。如战国时的扬州，西汉时的宛、成都、合肥、番禺，唐时的泉州等。到两宋、明代，除传统的经济中心城市日益繁荣外，又增加了一些新的城市，如汉口、北京、江宁、福州、张家口、宁波、厦门、上海、漳州、西宁等，新兴起的市镇尤其在江南的苏、杭、淞、嘉、湖地区发展较快，萌发了资本主义幼芽。清的闭关政策给资本主义萌芽以严厉的打击，鸦片战争后西方列强的入侵更是雪上加霜。但从整体上讲中国城市主要是按照统治阶级的政治、军事需要（秦实行的郡县制）而建立的，城市虽然也多建于水陆交通要道、人口稠密、土地肥沃等地区，类似于西欧，但在性质上是有区别的。一个是自然形成的，一个主要是以统治者的需要采取命令建立的（当然也有自然成分），中国城市自秦汉以后，以京城、省城（郡、道……）、府城、州县等依次而定，星罗棋布。（边防有专门军事城镇、卫所）城市内，既有府第衙门差从仆役，又有工商业者，兼有西欧中古城市的旧堡与新城的内容。但在城市里，府衙是首脑、中心，工商业则是附属产物。历代帝王为强化统治和供享用往往采取迁豪富、徙百工以充京都，如秦始皇下令“迁天下豪富于咸阳”〔⑤〕，隋炀帝营建东都洛阳时，“徙天下富商大贾数万家于东京”〔⑥〕，明太祖建都金陵（南京）之初，“取苏浙等处上户四万五千余家，填实京师，壮丁发各监局充匠，余置都城之内外”，明成祖迁都北京时“取金陵民匠二万七千户”〔⑦〕。 综上所述，西欧城市的发展规律，是由手工业、商业的聚居地，逐渐发展扩大而成为新的经济、政治中心。中国城市则由政治、军事中心，逐渐发展扩大而成为新的政治、经济中心。 2、城市的结构不同。西欧中古城市一开始主要由庄园中逃亡的农奴、手工业者作为主要居民，此外还有逃亡农奴经营的行商小贩、酒肆店铺等，基本上是一个生产城市。城市的布局，一般中心是广场，是手工拥、商品交易集会之处。组织上是按照传统的“农村公社”民主形式组织起来的，各个行业又逐渐组织起自己的同业行会。商人们也组织起商会，作为他们团结战斗，反对共同的敌人（强盗、贵族）与防止外部竞争以保卫本身的生存与利益的组织。在西欧，“中世纪的城市劳动与亚洲的劳动形式和在西方的农村劳动形式……不同，它已经前进了一大步，并且对于资本生产方式，对于劳动的连续性和经济性来说，是一所预备学校”〔⑧〕。西欧出现了二个经济中心——庄园和城市，即农业经济中心和商业经济中心，二者互相依存又向不同方向发展。 中国的城市却很庞杂，但总起来讲，达官、贵族、差役、仆从为主体，工商业者处于附属地位。消费大于生产，商业超过手工业，基本上是消费城市。城市规模一般较大，人口较多，中小城市人口一般数千数万，大者数十万以至百万。城市布局，一般以行政长官的衙署为全城的中心，各种府第鳞次栉比，城关往往发展成为工、商业区。城市富商大贾，多与有权势者相结托，有的买得官爵，有的广治田宅，成为统治阶级的一员。来自农村里的手工业者、行商小贩，到达城市后，长期没有代表自己利益的组织，又由于人少力单，显得特别软弱无力。中国的城市行会，形成较晚，最早可见于《房山石经》题记中记载，说明迟至唐代天宝至贞元间北方才有行会，这较封建城市的形成要晚一千多年。具有真正意义的行会，可能在明代以后。〔⑨〕但就是在这时的行会与西欧也有所不同。所以市民运动一直到明清之际才活跃起来。中国进入城市的多是一些破产农民，他们在人身上不像西欧那样有一定的人身自由，到了城市靠日劳动过活，兼做手工业或从事商贩与其他工作。他们乡土观念较深，流动性大。当条件改善后，他们还要回乡置产务农。有的虽世代城居，但当条件恶劣时，他们乃迁居乡间谋生。习惯于接受“耕豪民之田，见税什伍”〔⑩〕的封建剥削方式。城乡间没有严格的界限，农民进城或市民重回农村没有本质的变化。他们基本上仍然从属于封建主义范畴而难能发展成为新兴的资产阶级。 3、城市的作用不同。西欧中古城市，它是商品生产的基地、被压迫农奴反封建斗争的堡垒、世俗文化的发祥地、文艺复兴的摇篮。城市又与王权结成联盟促进国家的统一和近代民族国家的形成。它的出现与发展成为埋葬中古封建主的墓场。城市在封建领地上开始出现时，领主大都采取支持的态度。这是因为：（1）西欧领地相互间没有从属关系，甲地的农奴逃到乙地后，乙地领主可以从他们经营的行业中得到税收，以增加自己的收入。（2）领主为了就近得到能工巧匠的手工艺品和贩运商贾的各种奢侈品，以满足不断增长的需要，他们热心于新的工商业中心出现在自己的领地上。（3）领主对外地逃奴，予以优待收容安置，免得手工业工匠等进入其他领地。 于是，他们从轻规定课税、宽大司法。在道路桥梁等地方建设、茅舍地基、园地货摊等方面，予以慷慨的特许〔①①〕。这些均得到逃亡者的欢迎。新领主对逃亡农奴的保护与宽容是为了维护他们的剥削和统治，而逃亡的农奴则渴望的是自由的贸易和生活。随之新的矛盾和斗争也就开始了。新的市民展开了为摆脱领主的控制、争取城市自治权的斗争，这一斗争又称为城市公社运动。这一运动从11世纪城市出现起到13世纪城市形成。他们的斗争方式灵活多样，有的通过金钱赎买得到自治，如法国南部较为富庶的城市；有的是通过武装斗争获得自治的，如法国的琅城、意大利的米兰等。据统计“那些自治城市的数量在1100年和1300年间增加了十倍，而他们的人口有时则增加到两三倍”〔①②〕。取得完全自治的城市，设有全体市民代表大会，而全体市民代表大会是城市最高的权力机关，下设常设机构（通过选举）管理城市。它们享有独立的行政、司法、财政、铸币、军事防卫以及对外宣战、媾和等权，如意大利的威尼斯、热那亚、佛罗伦萨城市共和国。另外还有一些城市，它们是在相互妥协下产生的，只取得了不完全的自治权，如法国的巴黎，法王“准予参加审理商业性质的问题和巴黎商会的案件”〔①③〕。总之，市民人身自由了，并享有不同程度的参政权。 统治阶级为了强化王权，便把王权与城市市民结成了政治联盟，使西欧政治格局有了新变化、新特点。西欧的英、法两国在城市的支持下，分别于十三、十四世纪，迅速地从封建割据的混乱纷争中摆脱出来，建立了中央集权的等级君主制国家。（英于1295年召开国会，法于1302年召开三级会议）城市与王权结成联盟，相互支援，形成经济繁荣国力强盛的局面。城市工商业的发展有力的推动了农村的变革。农村货币地租的实施，使整个农奴的身份逐渐得到了自由，这些又推动了国内统一市场的形成。西欧王权强化之日，乃封建社会迅速走向瓦解之时，早年需要相互支持的联盟一旦破裂，资产阶级革命从而酝酿爆发。 中国的城市，在中古以来它始终是各级统治者的中心，是一个消费的中心。正如马克思指出过的；“在亚细亚，城市的繁荣或存在完全是由政府的地方性支出，生起来的”〔①④〕。中国城市既然完全为统治者所控制，它们对于城市工商业的政策则就以本身的利害为转移了，城市工商业的命运则时舛时兴。如西汉初“海内为一，开关梁，弛山林之禁，是以富商大贾周流天下，交易之物，莫不通得其所欲。”这种对工商业采取的放任政策，立即引起工商业在全国范围内的活跃。同时对农业又采取了“约法省禁，轻田租什五税一，量吏禄，度官用，以赋于民”〔①⑤〕的政策，很快使农业得到恢复与发展，经过六、七十年的轻徭薄赋，西汉初出现了“文景之治”的盛世。这个时期私营工商业的大发展，使许多工商业城市蓬勃兴起，规模较大的有西安、洛阳、邯郸、临淄、江陵、陈、吴、寿春、番禺等18个城市。富商大贾也应运而生，他们“或@①财役贫，转谷百数，废居居役，封君皆低首仰给。冶铸煮盐，财或累万金，而不佐国家之急……”〔①⑥〕。商品经济的发展，冲击了封建的等级制度和自然经济的基础。从汉初刘邦时起，就有许多官吏建议实施“抑商”政策。汉高祖曾下令“商人不得衣丝乘马，重租税以困辱之”〔①⑦〕，但收获不大。武帝时，随着整个经济的复苏与发展，尤其是农业经济的兴旺，汉统治者又开始对私营工商业大张挞伐了，颁布了一系列抑制工商业发展的政策，诸如盐铁官卖、平准均输等。加之统治阶级日益腐朽，造成了新的经济破坏，社会动乱。历代如是周而复始，严重地阻碍了城市工商业的发展与社会的进步。 中国城市里富商大贾的发展，既然以封建统治者的意志为转移，他们在政治上乃与封建权势相结托，在经济上则把剩余资本转向购置田宅，成为商人地主。他们并无自治权利的要求。城市里的小手工业者和小商贩在官府的严密监督下经营和生活，人少力单难以组织起来进行斗争。官营手工业只是作为统治阶级服务的仆役罢了，相互间没有联系。中国城市的性质与西欧是不同的，中国真正的大城市，在这里，只能认为是帝王的军营，那是真正经济结构上的赘疣。〔①⑧〕但历史仍然是发展的，不过太缓慢了，16世纪以后日益落后于西欧。 二、中西城市不同特点形成的原因 1、西欧与中国土地所有制形态不同。封建土地所有制是封建制度的基础，有其共性，又有各自不同的特点。西欧土地是由国王赐封给领主的，土地是封建领主的世袭领地，按照长子继承制（或遗嘱继承人）的办法承袭下来的。各级领主对自己领地上的土地经营方式采取庄园制，土地不能买卖。中国的土地制度，虽然名义上也是“普天之下莫非王土”，而实际上是地主土地所有制。封建社会初期，有过一段领主土地制，但为时短暂。战国秦商鞅变法“除井田，民得买卖，富者田连阡陌，贫者无立锥之地”〔①⑨〕，从此很快过渡到地主土地所有制，土地可以自由买卖。虽然也有过荫封、皇庄，但比重不大。另外在历代也有限田、度田、王田、占田、均田、公田等制度的实施，但效果不佳，为时也是短暂的。在中国地主土地所有制下，土地变化较频繁，那里不仅有大地主，而且还有中、小地主和一定数量的自耕农。 2、西欧与中国的阶级结构不同。在封建社会，封建主剥削压迫农民造成阶级对立和矛盾这是共同的，但又有各自的特点。西欧通过采邑分封、特恩制，建立起依次互为主从的封建等级制、割据一方，俨然似一个独立王国，中央集权制出现的较晚，领主们相互纷争比较突出。领主管辖下的农民被严格束缚在土地上，世代相因没有人身迁徙自由，处于农奴地位，并随着封建领主的封建割据的形成而日益恶化。他们又随着庄园经济的发展，利用领主间相互矛盾而逃离，开创新的活动场所，逐渐形成城市。城市成为农奴解放栖身之所、农奴制的对立物。到封建社会后期，新兴的市民阶级，也就是资产阶级茁壮成长起来。中国进入封建社会不久，很快形成了中央集权的封建制国家。又由于土地可以自由买卖和统治阶级自隋唐以来采取科举制选拔官吏，中小地主出身的知识分子可以上升到公卿贵族地位上来。另外在土地继承上又是分户析产，统治阶级不象西欧那样日益分化瓦解，相反是在不断地充实强化，使他们得以布成罗网，从中央到地方联合一气共同统治剥削广大农民。破产农民一般不愿背井离乡，即令进入城市，也是从一个罗网进入另一罗网，得不到真正的解放。中国农村经济长期难以得到城市商品经济的助力，发展缓慢，手工业与农业结合比较牢固，新兴的城市资产阶级难以形成。 3、西欧与中国政治结构不同。虽然都是地主阶段专政，但形式和内容都有所不同。西欧随着社会发展，王权与市民曾结成政治联盟，在十三、十四世纪英、法出现了等级君主制，直到“王权以奴役和掠夺报答了它的盟友为止”〔②⑩〕，一场资产阶级革命也就爆发了。中国在发展过程中，不存在城市与王权联盟，中古时期也根本没有形成资产阶级。农民阶级虽然有过前仆后继的大规模起义，但因农民的分散性以及由此而来的极端落后性，这些起义都毫无例外的失败了。 4、宗教以及其他因素的影响。西欧基督教会是西欧封建社会的支柱，教权往往大于王权，教权与王权之争相互削弱，西欧城市往往在它们的矛盾的裂缝中产生、发展。十字军东侵从11到13世纪延续了好几百年，给波及到的东西方人民带来一场浩劫。在这场动乱剧变中，大部分封建骑士消失了，部分农奴乘势逃到了城市。十字军东侵又使西欧封建主变得更加贪婪奢侈，从而对城市日益依赖，剥削方式转为货币地租，又收取大量赎金，让交起赎金的农奴获得自由，客观上有利于封建制的瓦解。加上西欧在罗马帝国时代就有了繁荣的商业城市，各地区与国家间曾有过四通八达的商路，当生产复苏后有利于在原来的基础上复兴和发展。中国的宗教是皇权的附属物。中国的土地辽阔，四邻封闭，有了天灾人祸，农民往往逃到边远的宽乡，披荆斩棘，重建家园。他们对于城市没有多大兴趣，因为城市是反动的中心，他们视为畏途，又因为城市是消费的中心，他们难以久居。对城市他们不象西欧那样具有莫大的吸引力。

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魏晋南北朝小说可分为志怪小说和志人小说。志怪小说记叙神仙方术、鬼魅妖怪、殊方异物、佛法灵异，虽然很多作品中表现了宗教迷信思想，但也保存了一些具有积极意义的民间故事和传说。志人小说记叙人物的逸闻轶事、言谈举止，从中可以窥见但是社会生活的一些面貌。魏晋南北朝小说篇幅短小、叙事简单，只是粗陈故事梗概，而且基本上还是按照传闻加以直录，没有艺术的想象和细节的描写。虽有人物性格的刻画，但是还不能展开。所以还只是初具小说的规模，而不是成熟的小说作品。在中国小说史上，魏晋南北朝的志怪小说和志人小说是不可或缺的一环。在人物刻画、细节描写，以及叙事语言的运用等方面，它们都为唐传奇的写作积累了经验。一些唐传奇的故事取自这个时期的小说，如《离魂记》与《幽明录》的《庞阿》，《柳毅传》与《搜神记》的《胡母班》都有继承关系。唐以后的文言小说始终有志怪一类，《聊斋志异》是这类小说的顶峰。模仿《世说新语》的小说达几十种之多，这也说明了魏晋南北朝小说的影响。魏晋南北朝文学，上起汉献帝建安元年（196），下迄隋朝建立（489），前后约400年。这一时期是中国历史上一个大分裂、大动荡时期，战争频仍，军阀割据，朝代更迭，同时也是一个思想异常活跃、文化环境较为宽松、文学艺术极为活跃的时期，是中国古代文学大转变，且极富创造性时期。 魏晋南北朝文学的发展轨迹：诗歌是这一时期文学成就最高的领域。我们从三个线索予以表述：（1）时代线索：建安诗歌是中国诗歌史上文人创作的第一次大丰收，其代表人物有“三曹”和“建安七子”；正始诗歌，其代表人物有“竹林七贤”，而真正代表正始诗歌成就的是阮籍、嵇康；太康诗歌，作家众多，有所谓“三张”、“二陆”、“两潘”、“一左”，除左思外，成就不太高；永嘉诗坛，代表人物有刘琨、郭璞与玄言诗人许询、孙绰等；晋宋之际，陶渊明是成就最高的诗人；齐、梁永明体诗，代表人物有谢朓、王融、阴铿；梁、陈之际的宫体诗；北朝文学以庾信成就最高，庾信是南北朝诗歌的集大成者。（2）内容线索：建安诗歌，悲伤离乱，慷慨苍凉，梗概多气，有鲜明的时代特色，被称为“建安风骨”；正始诗歌继承建安诗歌的传统，由于环境险恶，变慷慨用世为忧生嗟叹；太康诗歌重模拟、颂功德，重形式倾向明显，而左思则是建安风骨、正始之音的继承者。其《咏史》诗，借古讽今，抒写怀抱，笔力矫健。其后，鲍照《拟行难路》和《拟古》之作，情感抑郁、体气豪迈；庾信《拟咏怀》抒发悲愤，开绮艳、清新、老成的诗风。在玄言诗盛行之际，陶渊明可谓独树一帜，他以平淡自然之风开田园诗歌一派。谢灵运和谢朓完成了由玄言诗向山水诗的转变，开山水诗一派。梁、陈时期的宫体诗风靡一时，这是诗风的一股逆流。（3）体裁线索。曹操四言诗，曹植五言诗和建安七子的文人五言诗彬彬其盛，蔚为大观。永明体新诗的出现为唐代近体诗的形成奠定了基础。七言诗也得到了开创和发展。曹丕的《燕歌行》，标志着七言古诗的成熟；鲍照对七言诗的发展做出了重要贡献，他创制了以七言为主的歌行体；曹操以乐府旧题写时事，发展了乐府诗；以四言写乐府，使四言诗出现中兴。南北朝民歌是继周民歌和汉乐府民歌之后又一次集中的民间口头创作。艳曲兴于南朝，胡音生于北俗。南朝民歌风格清丽柔弱，代表作为《西洲曲》；北朝民歌风健质朴，代表作为《木兰诗》。散文一改两汉史传、政论独盛的局面，向多样化方向发展。与汉代散文相比，有四个特点：一、叙事言情的书信和山水散文兴起，用书信的形成写自然山水是魏晋南北朝散文的独创；二、历史传记逐渐独立于史书之外，成为文学传记；三、抒情成分增多；四、文章趋向骈俪。骈体文形成并臻于鼎盛。文章四六句型已成常规，追求精致的对仗、谐调的声律、使事用典、雕饰辞采、骈文创作盛极一时。辞赋由汉大赋演变为抒情小赋，并向骈化和律化方向发展。小说，是魏晋南北朝时期产生的新的文学样式，是我国小说发展史上的重要阶段。主要有志怪小说《搜神记》和志人小说《世说新语》。 文学意识的自觉和文学创作的自由，带来了文学理论发展和文学批评的繁荣。曹丕的《典论·论文》是我国现存最早的文学批评专论，它对文学的社会地位与作用、文学批评的态度与方法、文体的区分、文风与作家的关系等重要问题提出了看法，标志着文学批评进入了新时期。陆机的《文赋》是一篇用骈体文写成的文论著作，阐述了相当完整的创作论，它第一次把创作动机、过程、方法、形式、技巧等问题归入文学批评范畴。刘勰的《文心雕龙》是一部体大思精的文学理论巨著，是对前代文学理论的总结和发展。它初步建立了文学史观，既重视文学发展与世风的关系，也重视文学自身发展中的继承与革新，较全面地说明了作品的内容与形成之关系，总结了创作过程中各个环节的经验和教训，初步建立了文学批评的方法论。钟嵘的《诗品》是我国第一部诗论著作。《诗品序》是全书的总论，论述了五言诗的起源和发展，对诗歌的某些创作方法及诗歌的抒情达意等问题提出了自己的见解。它也存在一些缺憾，如对某些作家品评失当，对声病说盲目排斥，在探讨诗歌传承关系时显得简单化，但它无疑是研究汉魏六朝诗歌的重要参考材料。此外，颜延之对文笔说的阐述，裴子野的《雕虫论》，萧绎的《金楼子·立言篇》，萧子显的《南齐书·文学传论》、颜之推的《颜氏家训·文章篇》等，都对文学问题发表了重要的意见。齐武帝永明年间，周颙、沈约、王融等提出“四声八病”的理论，是对声律说的新发展，对后世韵文和近体诗的发展有重大影响。文学理论和文学批评的发展，逐步使文学创作置于其影响与指导之下。文学创作与文学批评的同步发展，二者之间相互依存、相互促进的密切关系，对当时和后世的文学发展都产生了深远的影响。

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