2024-07-03
欧拉方法毕业论文
发布时间：2024-07-02 13:42:03
欧拉方法毕业论文
V+F-E=2
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界做出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》，《微分学原理》，以及《积分学原理》都成为数学中的经典著作。除了教科书外，欧拉平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们整理出他的研究成果多达74卷。 欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支，如无穷级数、微分方程等的产生与发展奠定了基础。 欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出了ξ函数在偶数点的值，他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示。此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值，其值近似为…… 在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程这门学科。其中在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。 在微分几何方面，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x,y的偏导数，这些符号至今仍通用。此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。 欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等。 在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的形式。欧拉还给出了费马小定理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n)，他研究数论的一系列成果使得数论成为数学中的一个独立分支。欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积。而且还解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，创立了拓扑学。 欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中都能经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
随着科技负效应的显现,工程伦理越来越受的人们的重视。化学工程有着与其他工程不同的特点。下面是我为大家整理的化学工程应用 毕业 论文，供大家参考。
《 化学工程中计算流体力学应用分析 》
摘要：计算流体力学是以多种计算方程为基础，在多种化学反应设备中进行能量、质量和动量的综合计算，分析出不同守恒定律中，这些变量的主控形式和变化规律，从而优化工程设计和工艺设备，提高化学反应中正向变化的进行，提高热量交换和原材料的反应速率等。从化学工程经济效益的角度分析，有利于工程成本的节约，提升了经济回报。 文章 计算流体力学的基本原理进行分析，并 总结 了其砸你化学工程中搅拌、热交换、精馏塔和化学反应工程的具体应用。
关键词：计算流体力学;求解;基本原理;化学工程;应用
化学工程在我国具有较长的研究与应用历程，并在实际的生产与生活中取得到巨大的应用成效，不仅能够供给正常的生活需求，同时根据新材料的开发，能够满足现代型环保材料的使用。在化学工程中，较多的反映环境和反应机制都是在溶液中进行的，具有质量守恒和热量守恒定律的应用。而这种质量与能量的关系正是计算流体力学的主要原理。通过对实际应用环境和原理的分析，能够优化工程设计和工艺改进，提高化学工程的生产效率。
1计算流体力学在化学工程中的基本原理
计算流体力学简称CFD，是通过数值计算 方法 来求解化工中几何形状空间内的动量、热量、质量方程等流动主控方程，从而发现化工领域中各种流体的流动现象和规律，其主要以化学方程式中的动量守恒定律、能量守恒定律及质量守恒方程为基础。一般情况下，计算流体力学的数值计算方法主要包括数值差分法、数值有限元法及数值有限体积法，其也是一门多门学科交叉的科目，计算流体力学不仅要掌握流体力学的知识，也要掌握计算几何学和数值分析等学科知识，其涉及面广。
针对计算流体力学的真实模拟，其主要目的是对流体流动进行预测，以获得流体流动的信息，从而有效控制化工领域中的流体流动。随着信息技术的发展，市场上也出现了计算流体力学软件，其具有对流场进行分析、计算、预测的功能，计算流体力学软件操作简单，界面直观形象，有利于化学工程师对流体进行准确的计算。
2计算流体力学砸你化学工程中的实际应用
在搅拌中的应用分析
在搅拌的化学反应中，反映介质之间的流动性比较复杂，依据传统的计算形式根本无法解决，并在化学试剂在搅拌中存在不均匀扩散的特点，在湍流的形式中能量的分布状况也存在着空间特点。若是依据实验手段测得反映中物质、能量和质量的变化规律，其得出的结构往往存在较差时效性，实验差加大。
通过对二维计算流体力学的应用，能够对搅拌中流体的形式进行模拟，并进行质量、能量等数据的验证。但是流体的变化，不仅与化学试剂的浓度、减半速度有关，还与时间、容器的形状等有着之间的联系，需要建立三维空间模拟形式进行计算流行力学。随着科学技术和研究水平的提高，在通过借助多普勒激光测速仪后，已经对三维计算形式有了较大的突破，这对于化工工程中原料的有效应用和工程成本的减低具有促进的作用，但是在三维计算流体力学中还存在一定的缺陷，需要在今后的研究中不断的完善。
在化学工程换热器中的应用分析
换热器是化学工程中主要的应用设备，通过管式等换热器、板式换热器、冷却塔和再沸器等的应用，能够有效的控制化学试剂在反应中的温度变化。其中根据换热器的形式不同，计算流体力学的方式也就不同。在管式换热器中主要是通过流体湍流速度的改变，增加换热速率的。在板式换热器中是通过加大流体的接触面积，提高换热效率的。而在冷却塔和再沸器中，热量交换的形式更为复杂，但是却群在重复性换热的特点，增加了换热的时间，提高了换热的效果。从总体上分析，计算流量力学中，需要对温度变化、流体的速度变化、热交换面积变化和时间变化进行分析。通过CFD计算流体力学的应用，能够计算出不同设备的热交换效果，并根据生产的实际需求进行换热器的选择使用。
在精馏塔中的应用
CFD已成为研究精馏塔内气液两相流动和传质的重要工具,通过CFD模拟可获得塔内气液两相微观的流动状况。在板式塔板上的气液传质方面,Vi-tankar等应用低雷诺数的k-ε模型对鼓泡塔反应器的持液量和速度分布进行了模拟,在塔气相负荷、塔径、塔高和气液系统的参数大范围变化的情况下,模拟结果和现实的数据能够较好的吻合。
Vivek等以欧拉-欧拉方法为基础,充分考虑了塔壁对塔内流体的影响,用CFD商用软件FLUENT模拟计算了矩形鼓泡塔内气液相的分散性能,以及气泡数量、大小和气相速度之间的关系,取得了很好的效果。在填料塔方面,Petre等建立了一种用塔内典型微型单元(REU)的流体力学性质来预测整塔的流体力学性质的方法,对每一个单元用FLUENT进行了模拟计算,发现塔内的主要能量损失来自于填料内的流体喷溅和流体与塔壁之间的碰撞,且用此方法预测了整塔的压降。
Larachi等发现流体在REU的能量损失(包括流体在填料层与层之间碰撞、与填料壁的碰撞引起的能量损失等)以及流体返混现象是影响填料效率的主要因素,而它们都和填料的几何性质相关,因此用CFD模拟计算了单相流在几种形状不同的填料中流动产生的压降,为改进填料提供了理论依据。CFD模拟精馏塔内流体流动也存在一些不足,如CFD模拟规整填料塔内流体流动的结果与实验值还有一定的偏差。这是由于对于许多问题所应用的数学模型还不够精确,还需要加强流体力学的理论分析和实验研究。
在化学反应工程中的应用研究
在化学反应工程中，反应物和生成物的化学反应速率与反应器、温度和压力等有着较大的联系，在实际的反应中可以利用计算流体力学进行数据的获取。但是这数据的获取具有一定的温度限制，当反应中温度过大，就会造成分子的剧烈运动，其运动轨迹的变化规律就会异常，在利用计算流体力学的模型计算中，计算数据与实际情况会发生较大的偏差。由于高温中分子的运动轨迹和运动速度难以获取，在计算流体力学的实际计算中，就要借助FLUENT进行三维建型，并利用测速反应器进行速度的测量，通过综合的比较分析，利用限元法进行数据的计算。可以得出不同环境下的反应器的流线、反应器内部的浓度梯度及温度梯度。通过CFD软件预测反应器的速度、温度及压力场，可以更进一步理解化学反应工程中的聚合过程，详细、准确的数据可以优化化学反应中的操作参数。
3结束语
计算流体力学对于化学工程的应用具有实际意义，并在经济效益的提高上具有重要的价值，在近几年，化学工程技术人员不断的计算流体力学中展开研究，以二维空间计算和模拟为基础，不断的完善三维空间的流量计算，并得出了一系列的流体流动规律。根据计算流体力学在化学工程中的广泛应用，在今后的化学工程发展中，应加强此类学科的教学与延伸，提供出更有效的反应设备和工艺操作。
参考文献
[1]余金伟,冯晓锋.计算流体力学发展综述[J].现代制造技术与装备,2013(06).
[2]舒长青,王友欣.计算流体力学在化学工程中的应用[J].化工管理,2014(06).
《 能源化学工程专业化工热力学教学思考 》
[摘要]《化工热力学》是能源化学工程专业一门理论性和逻辑性较强的专业基础课，文章阐述了作者在《化工热力学》课程教学过程中如何提高学生对学习本课程兴趣的教学实践和教学体会。通过明确教学内容和教学主线，改变传统的单一的课堂教学，将课堂教学与学科动态及工程实践密切结合，激发学生学习兴趣，培养学生自主学习能力和工程意识，以满足培养能源化学工程领域领军人物的要求。
[关键词]化工热力学;能源化学工程;教学实践;教学体会
化工热力学是化工类学生的专业必修课程之一，主要讲述热力学定律在化学工程领域的应用，包括化工过程中各种形式的能量之间相互转换规律及过程趋近平衡的极限条件等。它是培养学生分析和解决实际化工问题思维方法的重要专业理论基础课[1-3]。然而该课程的课程内容抽象、计算繁琐，学生感到非常难学又缺乏实际应用，在课程学习过程中学生产生恐惧和厌学心理，达不到良好的教学效果，因此，我们对该课程的教学内容和 教学方法 进行一些改革和尝试，希望激发学生学习的兴趣，进而更好地掌握这门课程，为后续专业课程的学习夯实基础。
武汉大学2013年新开设的能源化学工程专业是由1958年原武汉水利电力学院开办的“电厂化学”专业发展而来，主要面向电力行业及高效洁净能源领域(包括超临界火电、核电、生物质能、氢能、新型化学电源等)，培养掌握化学与化工基础理论及能源化学专业知识和技能的未来行业发展的领军人物。
目前，本专业主要有水处理、材料腐蚀与防护、化学监督与控制、能源化学四个主要研究方向。为了适应学校对新专业发展和一流学科建设的要求，2015年在本专业大三学生中新增设了《化工热力学》这门化工类专业的专业基础课程。如何调动学生的课堂积极性，培养学生的创新能力，夯实学生的专业基础，使他们在54学时的学习过程中理解并掌握本门课程的基本概念，并且将抽象的理论与实际的能源化学过程联系起来是本课程的核心教学任务。本文结合我校能源化学工程专业的培养目标，浅谈《化工热力学》的教学体会，着重对教学方式进行了探索和实践，为培养能源化学工程领域的领军人物奠定基础。
1明确教学内容与课程主线
结合我校《化工热力学》课程以工程应用为中心、专业研究方向覆盖面广等特点，我们选用了朱自强等编著、化学工业出版社出版的《化工热力学》作为教材[4]，同时，也鼓励学生使用部分参考教材(《化工热力学》，冯新等编，2008;《化工热力学(第二版)》，陈钟秀等编，2000;《化工热力学导论(原著第七版)》，.史密斯等编，刘洪来等译，2007)[5-7]。化工热力学发展时间较长，已形成较完整的知识体系，如何在54学时内有效地把关键知识点教授给学生是本课程教学实践的关键。
由于本专业学生在大二《物理化学》课程中已经系统学习了理想气体相关的状态方程及其应用，因此在本课程教学中不再赘述，而是重点介绍工程实际应用较多的二参数状态方程、化工热力学分析、溶液热力学、流体相平衡和化学反应平衡等。在教学实践中，首先，详细分析《化工热力学》教材结构，围绕主线内容合理编排知识点;其次，建立好各知识点之间的逻辑关系，让学生在大脑中建立化工热力学框架图;最后，根据能源化学工程专业的需要，适当删减补充了教材内容，结合学科动态，增强化工热力学的应用能力，如燃料电池开路电压的计算、水/二氧化碳共电解制合成气过程中气体组成的计算等。
2改变单一课堂教学模式，培养学生自主学习能力
化工热力学课程设计的公式多而繁杂，学生在开始学习阶段容易产生恐惧厌学心理，传统的单一课堂教学模式具有“教师主导学生学习”的特点，与本课程“教师引导学生学习”的教学目的存在较大偏差。因此，应改变传统单一课堂讲授模式，充分采用“启发式”和“参与式”相结合的教学方法。
首先，教师在 课前预习 阶段设疑(提出问题)，促使学生思考，复习旧知识，预习新知识;其次，教师在教学实践过程中采用多媒体和板书相结合的教学方式解疑(解决问题)，并通过对例题和习题的讲解加深学生对化工热力学原理、方法和应用的理解，同时，教学过程中应避免陷于抽象的说教和枯燥的公式推导之中，重点讲述化工热力学知识点的应用条件和物理意义;最后，课堂教学结束后，教师主动与学生面对面交流答疑(探讨问题)，并设置思考题让学生查阅相关资料。通过“设疑—解疑—答疑”的渐进式教学方法达到对关键知识点举一反三的目的，同时，吸引学生注意力，培养学生自主学习能力，提高学生学习的积极性和主动性。
3课堂教学与工程实践密切结合，培养学生初步的工程观点
化工热力学由于理论性较强、基本概念多且抽象，而且本科生在学习过程中接触科研课题及工程实践的机会较少，将课堂教学内容与科研课题及工程实践紧密结合起来，建立“以应用为中心”、“探究式”的特色教学模式，紧密联系我校在能源化学工程领域(特别是超临界火电、核电、生物质能、氢能、新型化学电源等方面)开发利用的化学工程实际问题，把学科前沿领域的科研成果带入课堂，可以使他们强化科研思想、激发听课兴趣、培养创新能力;同时，可以让学生获取利用化工热力学基本原理解决工程实际问题提供思路和方法，培养学生初步的工程观点。
4考核方式方法研究
传统的期末一张考卷为准的考试方式不利于学生能力的培养，也不能全面地体现学生对所学知识的掌握程度，为了更加系统全面地评价学生对课程内容的认识情况，我们对课程的考核方式方法进行了改革探索。目前，课程成绩总评包括平时成绩和期末成绩两部分，其中平时成绩包括学生的课堂综合表现、课程预习、作业三个部分，各占10%;期末考试采用开卷方式考试，考试的题目偏重于对知识点的理解和其在能源化学过程中的应用。然而由于该课程的课程内容抽象、计算繁琐，教学过程中发现仍有部分学生存在畏惧厌学心理，因此，在今后的教学实践中应考虑进一步激发学生的学习兴趣，增强学生的主观能动性，在课堂教学中引入分组讨论，开展导向性的专题研究，将课程内容与能源化学过程(特别是学科动态)相结合，培养学生查阅资料和分工协作的能力，为学生下一步学习专业课程夯实基础。
5结束语
在《化工热力学》课程的教学实践和尝试中，首先要明确教学内容与主线，打破单一的学生被动听讲的模式，理论联系实际应用，调动学生学习的积极性和主动性，激发学生对教学内容的兴趣，并且在教学的过程中对教学方法进行改革创新，因材施教，为学生下一步学习更专业的能源化学工程知识和从事新能源行业工作奠定扎实的基础。
参考文献
[1]陆小华，冯新，吉远辉，等.迎接化工热力学的第二个春天[J].化工高等 教育 ，2008，3：19-21.
[2]梁浩，刘惠茹，王春花.《化工热力学》教学实践与尝试[J].广东化工，2010，37(1)：157-158.
[3]李兴扬，唐定兴，沈凤翠，等.化工热力学教学改革与体验[J].化工高等教育，2011，3：71-73.
[4]朱自强，吴有庭.化工热力学(第三版)[M].北京：化学工业出版社，2009.
[5]冯新，宣爱国，周彩荣，等.化工热力学[M].北京：化学工业出版社，2008.
[6]陈钟秀，顾飞燕，胡望明.化工热力学(第二版)[M].北京：化学工业出版社，2000.
[7]史密斯JM，范内斯HC，阿博特MM，等编;刘洪来，陆小华，陈新志，等译.化工热力学导论(原著第七版)(IntroductiontoChemicalEngineeringThermodynamics，SevenEdition).北京：化学工业出版社，2007.
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货拉拉毕业论文
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我是一名货拉拉司机，跑中货车，已经有两年时间了，还欠着一年半的车贷。跑货拉拉之前，我在一家私人的皮具厂做了十年时间，算是一个小主管。一开始老板很看得起我，把很多事情交给我作决定，我也很用心地去管理好厂里的员工，很多事情都亲力亲为，尽力地做好自己的工作。我只有初中文化，刚毕业的时候，在家里玩了一年。亲戚朋友都劝我去读一个技校，学一门技术，我又听到别人说，读技校就是浪费钱、浪费时间，根本就学不到东西，还不如去打工。那时候很羡慕外出打工的同学，因为每次过年回来，他们都用着新款手机、剪着当下最潮的发型、穿着名牌衣服。最重要的是，有钱，能在自己的朋友面前威一威，请吃宵夜、唱K，抢着买单的那一刻感觉自己像个成功人士。于是，我选择了入厂打工，成为了一名打工仔。那时候身边有同学在皮具厂做，大家都说做这行肯定赚到钱，我也认为是如此，就这样我进入了皮具行业。当时，有一位玩得要好的同学，他选择了交几万块钱去学美发，我真的没有想到十多年后，我还在为谋生苦恼的时候，他已经凭着自己小手艺，在一线城市开了间理发店，过起了稳定略带滋润的小生活。今天的我常在想，如果当初家里条件好一些，也能给我凑个几万块去学一门技术，今天的生活会不会有所不同？我以为走进了社会，还是像在学校里一样，只要声音大、只要打一架，对方就肯定服软了。刚进厂的时候，我像个刺头小子，这里看不惯，那里做不顺，常常找同事晦气，动不动就发火，要跟人打架，主管对我的行为感到很头疼，那一年，我18岁。第一个月下来，我只领到了600元的工资，已经包含加班费。
相同点：①从文体看,两文都属议论文.②从主题看,两文表现的都是作者洁身自好、不慕名利的生活态度.③从立意看,两文都以衬托手法托物言志.④从表达方式看,都聚描写、抒情、议议于一体.⑤从句式看,两文都是骈散结合,读来抑扬顿挫,和谐悦耳.⑥从线索看,都是作者的主观感受.不同点：①从主题看,《爱莲说》的作者表达的不是隐逸,而是在污浊的尘世间保持自己的清白节操,《陋室铭》流露的则是作者消极遁世、安贫乐道的隐逸情趣.②从立意看,《爱莲说》是通过正面赞美莲的形象来表达自己的高洁情操,《陋室铭》则以反向立意的方式,达到了抒怀的目的.③从表达方式看,《爱莲说》对“莲”进行的是人格化描写；《陋室铭》通过具体描写“陋室”恬静、雅致的环境和主人高雅的风度来表述自己高洁隐逸的情怀.④从文体看,《爱莲说》是“说”,《陋室铭》是“铭”.⑤从句式看,《爱莲说》以散句为主,句式长短相间、错落有致、富于变化；《陋室铭》则以骈句为主,句式整齐、节奏分明、音韵和谐.⑥从线索看,《爱莲说》以“爱”为线索,《陋室铭》则以“惟吾德馨”的立意贯穿全文的始终.
货拉拉创始人周胜馥一开始靠打德州扑克实现财务自由，之后靠着低价抄底香港房产发家
二叉树方法定价欧式期权毕业论文
这是两种观看跌期权的方式，一般二叉树步长的设置是比较小的，而且也比较密，同时数据也不是特别的充足，但是期权定价就比较权威，而且证据也比较足。
由于这个流派把可转债的本质看成是期权，所以其模型大多直接套用来自国外对期权的成熟研究成果。目前国际上的期权定价方法五花八门，主流的主要有四种：Black-Scholes方法（简称 B-S）、二叉树定价法、蒙特卡罗模拟法以及有保值参数和杠杆效应的解析表达式等等。其中 Black-Scholes 方法是这里面唯一的解析方法，而其余三种都是数值法。
可转债是一种含有路径依赖美式期权的奇异期权，由于附加在可转债上的各种期权具有相互依赖的特征，因而对于可转债的定价通常不能把这些附加期权分割开来独立定价，而需要把它们作为一个有机的整体来看待。所以，当前市场上所通用的这些基本的定价方法，无论是 B-S 定价公式、二叉树模型还是 Monte Carlo（蒙特卡洛）模拟法中的任何一种，都不能 100%完全满足可转债定价的需求。究其原因，还是因为这些定价方法无一例外，把可转债看作简单的看涨期权来处理，而忽略了可转债的其它附加条款，以致定价结果总会出现这样那样的、或多或少的偏差。
单纯用 B-S 欧式期权定价模型来为可转债定价，则忽视了各种附加条款对于可转债价值的影响。二叉树方法倒是能够有效地解决美式期权的定价问题，但是对于含有路径依赖条款的期权定价还是力所不能及。MonteCarlo 模拟方法通过生成多条股价的可能路径，对解决路径依赖的期权定价收效显著，但对美式期权的定价依然还是力不从心。因此，只有综合使用这些工具，特别是结合保值参数和杠杆效应的解析表达式等方法，才能达到最好的效果。中国可转债的特色，使得计量复杂程度更甚。中国可转债的票面利率高，存续时间短，初始转股价溢价低，回售价格却高，转股价修正概率更远远大于国外，种种不同很容易造成“差之毫厘，谬以千里”，纯粹照搬国外模型的，小心犯了极左的机械主义路线错误。
需要提醒的是，大多数定价模型即使在 140 元以上，也会根据数学计算推荐买入；虽然可能获得更高收益，但也增加了亏损的可能，对风险极端厌恶的投资者最好心中有数。
关系：多期二叉树期数越多，计算结果与布莱克-斯科尔斯模型的计算结果的差额越小。二项式期权定价模型假设股票价格仅在向上和向下两个方向波动，并且股票价格每次向上（或向下）波动的概率和幅度在整个调查期间保持不变。 模型将久期分为几个阶段，根据股价的历史波动率模拟整个久期中正股所有可能的发展路径，并计算出每条路径上每个节点的权证行权收益和通过折现法计算的权证价格 . 对于美式权证，由于可以提前行权，每个节点权证的理论价格应该是权证行权收益和折现后的权证价格中的较大者。 拓展资料：期权定价模型基于对冲投资组合的思想。投资者可以建立期权及其标的股票的组合，以确保报酬的确定。在均衡情况下，这种确定的回报必须获得无风险利率。期权的固定价格思想与无套利定价思想是一致的。所谓无套利定价是指任何零投资的投资只能得到零回报，任何非零投资的投资只能得到与投资风险相对应的平均回报，而不能得到超额回报（利润超过相当于风险的回报）。从 Black Scholes 期权定价模型的推导不难看出，期权定价本质上是无套利定价的。 假设条件： 1、标的资产价格服从对数正态分布； 2、在期权有效期内，金融资产的无风险利率和收益变量不变； 3、市场无摩擦，即没有税收和交易成本； 4、金融资产在期权有效期内没有股息等收益（此假设后放弃）； 5、该期权为欧式期权，即在期权到期前不能执行。 B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)
二叉树定价和B-S定价是期权领域中最经典的定价方法，BS模型对标的资产的价格服从对数正态分布的期权进行定价;二叉树定价法假定到期且只有两种可能，非涨即跌，以此思想进行定价。
数学欧拉公式的论文答辩题目
还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法. ●难点磁场 已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程 =|a－1|+2的根的取值范围. ●案例探究 〔例1〕已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R). (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围. 命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”. 技巧与方法：利用方程思想巧妙转化. (1)证明：由 消去y得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4〔(a+ c2〕 ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴ c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ ,x1x2= . |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>－a－c>c,解得 ∈(－2,－ ) ∵ 的对称轴方程是 . ∈(－2,－ )时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( ). 〔例2〕已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点. 技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制. 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 ∴ . (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 (这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过) ●锦囊妙计 1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法： y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n. (2)当a>0,f(x)在区间〔p,q〕上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q). 若－
本科毕业论文答辩模板和问题 [篇1]
一、毕业论文答辩应注意的几个问题
（一）答辩步骤
1、在毕业论文答辩时，答辩老师首先要求你简要叙述你的毕业论文的内容。叙述中要表述清楚你写这篇论文的构思（提纲），论点、论据，论述方式（方法）。一般约5分钟左右。答辩老师通过你的叙述，了解你对所写论文的思考过程，考察你的分析和综合归纳能力。
2、第二步，进行现场答辩。答辩老师向你提出2—3个问题后，做即兴答辩。其中一个问题一般针对你的论文中涉及的基本概念、基本原理提出问题，考察学生对引用的基本概念基本原理的理解是否准确。第二个问题，一般针对你的论文中所涉及的某一方面的论点，要求结合工作实际或专业实务进行讲（论）述。考察你学习的专业基础知识对你实务（实际）工作的联系及帮助，即理论联系实际的能力。第三个问题，根据学生有一定工作经验，提出专业理论或实务中的问题，引导学生以工作实践中遇到的案例和实务，研讨理论依据或当前所学专业发展中的诸多问题及热点问题。考察学生专业方面的潜在能力
（二）注意问题
1、自己为什么选择这个课题？
2、研究这个课题的意义和目的是什么？
3、全文的基本框架、基本结构是如何安排的？
4、全文的各部分之间逻辑关系如何？
5、在研究本课题的过程中，发现了那些不同见解？对这些不同的意见，自己是怎样逐步认识的？
6、论文虽未论及，但与其较密切相关的问题还有哪些？
7、还有哪些问题自己还没有搞清楚，在论文中论述得不够透彻？
8、写作论文时立论的主要依据是什么？
二、答辩技巧
学生首先要介绍一下论文的概要，这就是所谓“自述报告”，须强调一点的是“自述”而不是“自读”。这里重要的技巧是必须注意不能照本宣读，把报告变成了“读书”。“照本宣读”是第一大忌。这一部分的内容可包括写作动机、缘由、研究方向、选题比较、研究范围、围绕这一论题的最新研究成果、自己在论文中的新见解、新的理解或新的突破。做到概括简要，言简意赅。不能占用过多时间，一般以十分钟为限。所谓“削繁去冗留清被，画到无时是熟时”，就是说，尽量做到词约旨丰，一语中的。要突出重点，把自己的最大收获、最深体会、最精华与最富特色的部分表述出来。这里要注意一忌主题不明；二忌内容空泛，东拉西扯；三忌平平淡淡，没有重点。
在答辩时，学生要注意仪态与风度，这是进入人们感受渠道的第一信号。如果答辩者能在最初的两分种内以良好的仪态和风度体现出良好的形象，就有了一个良好的开端。
在回答问题时所要掌握的技巧是构思时要求每个问题所要答的“中心”“症结”“关健”在哪里？从哪一个角度去回答问题最好？应举什么例子来证明？回答问题的内容实质上是一段有组织的“口头作文”。这就要一、文章应有论点、论据。二、有开头主体与结尾。三、有条理、有层次。四、应用词确当，语言流畅。五、应口齿清楚、语速适度。开头要简洁：单刀直入，是最好的开头，开门见山地表述观点，在答辩中是最好的办法。主体部份的表述可条分缕析，即把所要回答的内容逐条归纳分析，实际上是对自己掌握的材料由此及彼，由表及里地做整理。这样的表述就不会流于表面，而能深入本质。条分缕析可以把自己掌握的一些实际例子合并，整理成若干条目，列成几个小标题：分成几点，一点一点，一条一条地说出。满碗的饭必须一口一口吃，满肚子的道理也必须一条一条讲出来，环环相扣，条条相连，令人听完后有清楚的印象。假如在准备的时候已经准备了一个较完整的提纲，那么沿着回答问题的主线，再穿上一些玉珠（举例子）就可以做到中心明确，条理清楚，有理有例了。
此外还应注意：图表穿插、语流适中、目光移动、体态语辅助、时间控制、紧扣主题、人称使用
二、大学毕业论文答辩自述稿模板
尊敬的各位评委老师：
大家好！我是来自的学生**。我的论文题目是《》。我当时之所以选择研究是因为，主要表现在：
在着手准备论文写作的时候，我针对这个命题，大量阅读相关方面的各种资料。对的概况有了大致了解，缕清思路的基础上确定研究方向，然后与老师商讨，确定论文大致思路和研究方向。然后，为了完成论文，本人收集了大量的文献资料，其中主要来自网上的论文期刊、图书馆的书目、学习教材的理论资料。在导师的耐心指导和帮助下，经过阅读主要参考资料，拟定提纲，写开题报告初稿，毕业论文初稿，修改等一系列程序，于****年*月*日正式定稿。
具体来说，我的论文分为以下四个部分：
第一部分，主要概述了，
第二部分，是在对进行了详细论述的基础上，运用法对的深入挖掘。
第三部分，运用法对的深入挖掘。
第四部分，经过本次论文写作，我学到了许多有用的东西，也积累了不少经验，但由于学生能力不足，加之时间和精力有限，在许多内容表述上存在着不当之处，与老师的期望相差甚远，许多问题还有待于进一步思考和探索，借此答辩机会，万分恳切的希望各位老师能够提出宝贵的意见，多指出本篇论文的错误和不足之处，学生将虚心接受，从而进一步深入学习研究，使该论文得到完善和提高。在论文的准备和写作过程中，我阅读了大量的关于的相关书籍和学术期刊，这得益于我们学校图书馆丰富的参考书籍和学术期刊数据库的专业论文。本文经过一二三稿并最终定稿，在这期间，我的论文指导老师教
授对我的论文进行了详细的修改和指正，并给予我许多宝贵的建议和意见。在这里，我对他表示我最真挚的感谢和敬意！
以上就是我的答辩自述，希望各评委老师认真阅读论文并给予评价和指正。谢谢！
本科毕业论文答辩模板和问题 [篇2]
一、毕业论文答辩应注意的几个问题
（一）答辩步骤
1、在毕业论文答辩时，答辩老师首先要求你简要叙述你的毕业论文的内容。叙述中要表述清楚你写这篇论文的构思（提纲），论点、论据，论述方式（方法）。一般约5分钟左右。答辩老师通过你的叙述，了解你对所写论文的思考过程，考察你的分析和综合归纳能力。
2、第二步，进行现场答辩。答辩老师向你提出2—3个问题后，做即兴答辩。其中一个问题一般针对你的论文中涉及的基本概念、基本原理提出问题，考察学生对引用的基本概念基本原理的理解是否准确。第二个问题，一般针对你的论文中所涉及的某一方面的论点，要求结合工作实际或专业实务进行讲（论）述。考察你学习的专业基础知识对你实务（实际）工作的`联系及帮助，即理论联系实际的能力。第三个问题，根据学生有一定工作经验，提出专业理论或实务中的问题，引导学生以工作实践中遇到的案例和实务，研讨理论依据或当前所学专业发展中的诸多问题及热点问题。考察学生专业方面的潜在能力
（二）注意问题
1、自己为什么选择这个课题？
2、研究这个课题的意义和目的是什么？
3、全文的基本框架、基本结构是如何安排的？
4、全文的各部分之间逻辑关系如何？
5、在研究本课题的过程中，发现了那些不同见解？对这些不同的意见，自己是怎样逐步认识的？
6、论文虽未论及，但与其较密切相关的问题还有哪些？
7、还有哪些问题自己还没有搞清楚，在论文中论述得不够透彻？
8、写作论文时立论的主要依据是什么？
二、答辩技巧
学生首先要介绍一下论文的概要，这就是所谓“自述报告”，须强调一点的是“自述”而不是“自读”。这里重要的技巧是必须注意不能照本宣读，把报告变成了“读书”。“照本宣读”是第一大忌。这一部分的内容可包括写作动机、缘由、研究方向、选题比较、研究范围、围绕这一论题的最新研究成果、自己在论文中的新见解、新的理解或新的突破。做到概括简要，言简意赅。不能占用过多时间，一般以十分钟为限。所谓“削繁去冗留清被，画到无时是熟时”，就是说，尽量做到词约旨丰，一语中的。要突出重点，把自己的最大收获、最深体会、最精华与最富特色的部分表述出来。这里要注意一忌主题不明；二忌内容空泛，东拉西扯；三忌平平淡淡，没有重点。
在答辩时，学生要注意仪态与风度，这是进入人们感受渠道的第一信号。如果答辩者能在最初的两分种内以良好的仪态和风度体现出良好的形象，就有了一个良好的开端。
在回答问题时所要掌握的技巧是构思时要求每个问题所要答的“中心”“症结”“关健”在哪里？从哪一个角度去回答问题最好？应举什么例子来证明？回答问题的内容实质上是一段有组织的“口头作文”。这就要一、文章应有论点、论据。二、有开头主体与结尾。三、有条理、有层次。四、应用词确当，语言流畅。五、应口齿清楚、语速适度。开头要简洁：单刀直入，是最好的开头，开门见山地表述观点，在答辩中是最好的办法。主体部份的表述可条分缕析，即把所要回答的内容逐条归纳分析，实际上是对自己掌握的材料由此及彼，由表及里地做整理。这样的表述就不会流于表面，而能深入本质。条分缕析可以把自己掌握的一些实际例子合并，整理成若干条目，列成几个小标题：分成几点，一点一点，一条一条地说出。满碗的饭必须一口一口吃，满肚子的道理也必须一条一条讲出来，环环相扣，条条相连，令人听完后有清楚的印象。假如在准备的时候已经准备了一个较完整的提纲，那么沿着回答问题的主线，再穿上一些玉珠（举例子）就可以做到中心明确，条理清楚，有理有例了。
此外还应注意：图表穿插、语流适中、目光移动、体态语辅助、时间控制、紧扣主题、人称使用
二、大学毕业论文答辩自述稿模板
尊敬的各位评委老师：
大家好！我是来自的学生**。我的论文题目是《》。我当时之所以选择研究是因为，主要表现在：
在着手准备论文写作的时候，我针对这个命题，大量阅读相关方面的各种资料。对的概况有了大致了解，缕清思路的基础上确定研究方向，然后与老师商讨，确定论文大致思路和研究方向。然后，为了完成论文，本人收集了大量的文献资料，其中主要来自网上的论文期刊、图书馆的书目、学习教材的理论资料。在导师的耐心指导和帮助下，经过阅读主要参考资料，拟定提纲，写开题报告初稿，毕业论文初稿，修改等一系列程序，于****年*月*日正式定稿。
具体来说，我的论文分为以下四个部分：
第一部分，主要概述了，
第二部分，是在对进行了详细论述的基础上，运用法对的深入挖掘。
第三部分，运用法对的深入挖掘。
第四部分，经过本次论文写作，我学到了许多有用的东西，也积累了不少经验，但由于学生能力不足，加之时间和精力有限，在许多内容表述上存在着不当之处，与老师的期望相差甚远，许多问题还有待于进一步思考和探索，借此答辩机会，万分恳切的希望各位老师能够提出宝贵的意见，多指出本篇论文的错误和不足之处，学生将虚心接受，从而进一步深入学习研究，使该论文得到完善和提高。在论文的准备和写作过程中，我阅读了大量的关于的相关书籍和学术期刊，这得益于我们学校图书馆丰富的参考书籍和学术期刊数据库的专业论文。本文经过一二三稿并最终定稿，在这期间，我的论文指导老师教授对我的论文进行了详细的修改和指正，并给予我许多宝贵的建议和意见。在这里，我对他表示我最真挚的感谢和敬意！
以上就是我的答辩自述，希望各评委老师认真阅读论文并给予评价和指正。谢谢！
本科毕业论文答辩模板和问题 [篇3]
根据教务处“关于做好201届学生毕业论文（设计）答辩工作的通知”要求，经学院研究决定，于2015年5月10日-11日（周六、周日）上午8：30开始进行2015届学生毕业论文答辩。现将有关事项通知如下：
一、 成立答辩委员会及答辩小组
按照学院相关规定成立答辩委员会及答辩小组。
（一） 答辩委员会
主席：
委员：
（二） 答辩小组
答辩小组：
组 长：成 员（答辩分组情况表附后）
二、 答辩相关事宜
（1）每位学生仔细查阅“论文答辩分组表”确认本人所在的组别，在指定的教室答辩。
（2）要求每位学生采用多媒体演示,报告5-8分钟,答辩5-8分钟，答辩时。
（3）每位学生按照分组的排名顺序进行答辩，不得缺席。出现缺席者，我院不再组织答辩，无毕业论文成绩，后果自负。
（4）每位学生需按照答辩组教师数准备论文份数。
（5）答辩结束后，每位学生根据评委老师提出的存在问题进行修改。修改正稿打印3份，与电子版一并交教学秘书（以班级为单位收齐）。电子版文件名要注明学号，如2000010094001某某。
（6）指导教师没有签名同意答辩的论文，该学生不能参加答辩，答辩委员会审核不通过的答辩论文，该学生不能参加答辩。被小组评定为不合格的毕业论文，将再次参加答辩。具体时间另行通知。
（7）秘书负责收集整理资料和成绩登录工作，老师负责整理收齐资料工作，老师负责成绩登录工作，老师负责答辩教室安排工作。学生答辩秘书负责记录教师和学生的答辩情况。学生小组长负责收齐学生论文稿件和相关表格交教师组长，教师组长交教研室主任。
（8）各小组的答辩成绩汇总表及其他相关材料在5月 14日前交教学秘书处。论文指导教师完成指导教师评分表填写工作、院里组织教师完成评阅教师评分表填写工作、各答辩小组组长安排学生完成答辩记录表的填写工作、各答辩小组组长完成答辩小组评分表的填写工作。
（9）论文指导教师于5月10日前完成指导教师评分表填写及评分工作，5月14日前把已完成评分和填写的指导教师评分表、指导学生的答辩论文终稿及学院本科生毕业论文（设计）评阅教师评分表”各一份交教研室主任老师处。
教育学院
2015年4月26日
本科毕业论文答辩模板和问题 [篇4]
一、答辩自述
数学解题是数学教学与数学学习的重要组成部分。通过数学解题，可以深化对数学基础知识、基本技能的认识，逐渐体会数学知识的精髓——数学思想方法，培养严谨的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，提高灵活运用数学知识去分析问题、解决问题的能力。研究中学数学解题的教与学，使学生认识中学数学解题在中学数学教学中的地位与作用，认识数学解题在培养思维与能力方面的意义，提高学生分析与解决数学问题的能力，充分发挥数学解题在数学教学中的积极作用。
二、毕业论文答辩的一些问题
1、自己为什么选择这个课题？
由于自己对数学解题思想方面比较感兴趣，也因为将来最有可能的工作是教师，所以希望在毕业论文的研究中能对今后有所帮助。加之数学解题技巧是初等数学中的一个非常重要的组成部分，所以选择了这个论问题。
2、研究这个课题的意义和目的是什么？
答：数学解题是数学教学与学习的重要组成部分。通过数学解题，可以深化对数学基础知识、基本技能的认识，逐渐体会数学知识的精髓——数学思想方法，培养严谨的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，提高灵活运用数学知识去分析问题、解决问题的能力。为了学生以后走上工作岗位不出现瘸腿现象，加强数学教育中的文化素质显得比较重要和具有现实意义。
3、全文的基本框架、基本结构是如何安排的？
答：第一部分：几种常见的数学解题思想；第二部分：数学解题技巧的培养； 第三部分：如何将数学解题思想贯穿于解题技巧中；第四部分：解题技巧的误区； 第五部分：解题思想与解题技巧的体会；第六部分：结束语
4、你这篇论文的侧重点在哪方面？为什么？
答：我这篇论文的侧重点在如何将数学解题思想融入到数学解题技巧当中。
因为我觉得在所有掌握了各种解题思想后最重要的是懂得何用将这些思想运用到实际问题当中，只有这些才算真正理解了解题思想它的应用。
5、你觉得数学解题技巧在解决数学问题有什么优势？
答：数学问题的解决方法有很多种，但是万变不离其中，这就要求我们掌握一些常用的数学解题技巧，在解题中不用为了用哪种方式合适而浪费时间，在解数学题时可以做到条件反身，从而为你整个解题过程节省很多时间。
6、论文虽未论及，但与其较密切相关的问题还有哪些？
答：本文在撰写有关解题技巧的误区这一方面只是列举了两个技巧的误区，但我觉得这方面很重要，这一点与如何培养学生的解题能力密切相关，应该罗列出哪些问题最容易产生惯性思维，避免走入技巧的误区。
7、哪些问题自己还没搞清楚，在论文中论述得不够透彻？
答：有些数学题看起来哪种方法都可以用，但是实际上我们并不能直接反应出哪种方法最合适，这篇论文在有关哪些题型用哪些方法方面没有去罗列出来。
8、写作论文时立论的主要依据是什么？
答：主要依据是数学解题思想的技巧，根据你所掌握的各种数学解题思想，然后将这些思想融入到实际问题当中，也即将这些思想融入到解题技巧当中。
欧洲数学计算方法研究论文
牛顿、莱布尼茨和微积分微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。 牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。 牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。 如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，这比牛顿公开发表微积分著作早 3 年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。 莱布尼茨 1646 年生于莱比锡。 15 岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不到 20 岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。莱布尼茨对数学有超人的直觉，并且对于设计符号很第三。他的微积分符号 “dx\" 和 ”∫” 已被证明是很发用的。 牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作，经过各自独立的研究，掌握了微分法和积分法，并洞悉了二者之间的联系。因而将他们两人并列为微积分的创始人是完全正确的，尽管牛顿的研究比莱布尼茨早 10 年，但论文的发表要晚 3 年，由于彼此都是独立发现的，曾经长期争论谁是最早的发明者就毫无意义。牛顿和莱尼茨的晚年就是在这场不幸的争论中度过的。 牛顿的“流数术” 数学史的另一次飞跃就是研究“形”的变化。17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克?牛顿（1642~1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念 直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力不概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形――线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。 牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。 （1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。 （2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。 （3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。 牛顿已完全清楚上述（1）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。 牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。 莱布尼茨使微积分更加简洁和准确 而德国数学家莱布尼茨（. Leibniz 1646~1716）则是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是他们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。 莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度――阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。 牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。 留给后人的思考 从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早10年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。牛顿系统论述“流数术”的重要著作《流数术和无穷极数》是1671年写成的，但因1676年伦敦大火殃及印刷厂，致使该书1736年才发表，这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪。另外也有书中记载：牛顿于1687年7月，用拉丁文发表了他的巨著《自然哲学的数学原理》，在此文中提出了微积分的思想。他用“0”表示无限小增量，求出瞬时变化率，后来他把变量X称为流量，X的瞬时变化率称为流数，整个微积分学称为“流数学”，事实上，他们二人是各自独立地建立了微积分。最后还应当指出的是，牛顿的“流数术”，在概念上是不够清晰的，理论上也不够严密，在运算步骤中具有神秘的色彩，还没有形成无穷小及极限概念。牛顿和莱布尼茨的特殊功绩在于，他们站在更高的角度，分析和综合了前人的工作，将前人解决各种具体问题的特殊技巧，统一为两类普通的算法――微分与积分，并发现了微分和积分互为逆运算，建立了所谓的微积分基本定理（现今称为牛顿――莱布尼茨公式），从而完成了微积分发明中最关键的一步，并为其深入发展和广泛应用铺平了道路。由于受当时历史条件的限制，牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念比较模糊，因此引发了长期关于微积分的逻辑基础的争论和探讨。经过18、19世纪一大批数学家的努力，特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以极限的观点定义了微积分的基本概念，并简洁而严格地证定理即牛顿―莱布尼茨公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。 不幸的是牛顿和莱布尼茨各自创立了微积分之后，历史上发生了优先权的争论，从而使数学家分为两派，欧洲大陆数学家两派，欧洲大陆的数学家，尤其是瑞士数学家雅科布?贝努利（1654~1705）和约翰?贝努利（1667~1748）兄弟支持莱布尼茨，而英国数学家捍卫牛顿，两派争吵激烈，甚至尖锐到互相敌对、嘲笑。牛顿死后，经过调查核实，事实上，他们各自独立地创立了微积分。这件事的结果致使英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交流，使英国人在数学上落后了一百多年，因为牛顿在《自然哲学的数学原理》中使用的是几何方法，英国人差不多在一百多年中照旧使用几何工具，而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法，并使微积分更加完善，在这100年中英国甚至连大陆通用的微积分都不认识。虽然如此，科学家对待科学谨慎和刻苦的精神还是值得我们学习的。 莱布尼兹 莱布尼兹 (1646-1716) 莱布尼兹是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 生平事迹莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。 20岁时他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。 莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。 始创微积分 17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼兹在1673-1676年间也发表了微积分思想的论著。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表明了微积分基本 示的微积分运算法则。 然而关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示积分，dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。 1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。 莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。 丰硕的物理学成果 莱布尼兹的物理学成就也是非凡的。他发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，并在《教师学报》上发表了“关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观，认为“没有物质也就没有空见，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”。在光学方面，莱布尼兹也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。 发明乘法计算机 德国人莱布尼兹发明了乘法计算机，他受中国易经八卦的影响最早提出二进 制运算法则。莱布尼兹对帕斯卡的加法机很感兴趣。于是，莱布尼兹也开始了对计算机的研究。1672年1月，莱布尼兹搞出了一个木制的机器模型，向英国皇家学会会员们做了演示。但这个模型只能说明原理，不能正常运行。 1674年，最后定型的那台机器，就是由奥利韦一人装配而成的。莱布尼兹的这台乘法机长约1米，宽30厘米，高25厘米。它由不动的计数器和可动的定位机构两部分组成。整个机器由一套齿轮系统来传动，它的重要部件是阶梯形轴，便于实现简单的乘除运算。莱布尼兹设计的样机，先后在巴黎、伦敦展出。由于他在计算设备上的出色成就，被选为英国皇家学会会员。 中西文化交流之倡导者 莱布尼兹对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。在《中国近况》一书的绪论中，莱布尼兹写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲——中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过。”“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的。我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能。在思考的缜密和理性的思辩方面，显然我们要略胜一筹”，但“在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见拙了。”在这里，莱布尼兹不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神，而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图，极力推动这种交流向纵深发展，是东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。莱布尼兹为促进中西文化交流做出了毕生的努力，产生了广泛而深远的影响。 由于莱布尼茨在牛顿完成其前两段工作之后曾访问巴黎（1672年）和伦敦（1673年），并且和了解牛顿微积分工作的科学家们通过信，因而被指责为“剽窃者”。这使他起而为自己的名誉辨护，因而使这场争论达到了相当激烈的地步。许多数学家都被牵扯了进来，直到使欧洲数学家分成两派，大陆的数学家们为莱布尼茨辩护，英国的数学家们则捍卫牛顿，以至长期对立，形成学术上的门户之见，达到双方停止了学术思想交流的程度，影响了此后一段时间的数学进展。在牛顿和莱布尼茨都已逝世之后进行的调查表明：虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但莱布尼茨也是微积分主要思想的独立创立者，他们都同样地接受了前辈数学家的启发，同样地作出了自己的独立贡献。在以前的科学史上我们已经看到，在以后的科学史上我们还将一再地看到这种同一发现在大致相同的时间被完全不同甚至互不相识的人们独立完成的现象。这种现象的大量出现，最好不过地说明：是科学的发展造就了杰出的科学家，而不是杰出科学家的个人天赋决定了科学的发展。
既然是奥数题就是有答案的。
1.中国古代在数的方面的贡献 算筹 根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明，也同样经历了一个漫长的历史发展过程。在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循十进位制。 算筹的出现年代已经不可考，但据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。 算筹的发明就是在以上这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，现在已经不可查考了，但至迟到春秋战国；算筹的使用已经非常普遍了。前面说过，算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢？ 那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。其一是"十进制"，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是"位值制，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码"2"，放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的荫芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。 按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。 中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一"，确实是一点也不过分的。 二进制思想的开创国 著名的哲学家数学家莱布尼茨(1646-1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。当代的许多科学家认为易经中并不含有复杂的二进制思想，可是这本中国古籍中的一些基本思想和二进制在很大程度上仍然有着千丝万缕的联系。 元始的《灵宝经》里面把阴阳定义为阳是自冬至到夏至的上升的气，阴为从夏至到冬至下降的气，这是对地球周期运动的最简练认识。阴阳是一种物质认识，后来转化为思想方式，反者道之动等等，都是这种思想的表现。从而开创了对立统一的思想方式，实际上计算机的电子脉冲的思想是与之一致的，采样定律也是与之一致的。 《易经》是我国伏羲、周文王等当政者积累观天测算经验而成的关于天象气象和人变易的经典，从八卦到六十四卦，就是二进制三位到六位表达，上世纪八十年代还有四位计算机，可以说，周文王的六十四卦在表达能力上已经高于四位计算机。 十进制的使用 《卜辞》中记载说，商代的人们已经学会用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个单字记十万以内的任何数字，但是现在能够证实的当时最大的数字是三万。甲骨卜辞中还有奇数、偶数和倍数的概念。 十进位位值制记数法包括十进位和位值制两条原则，"十进"即满十进一；"位值"则是同一个数位在不同的位置上所表示的数值也就不同，如三位数"111"，右边的"1"在个位上表示1个一，中间的"1"在十位上就表示1个十，左边的"1"在百位上则表示1个百。这样，就使极为困难的整数表示和演算变得如此简便易行，以至于人们往往忽略它对数学发展所起的关键作用。 我们有个成语叫"屈指可数"，说明古代人数数确实是离不开手指的，而一般人的手指恰好有十个。因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。在文明古国巴比伦使用的是60进位制（这一进位制到现在仍留有痕迹，如一分＝60秒等）另外还有采用二十进位制的。古代埃及倒是很早就用10进位制，但他们却不知道位值制。所谓位值制就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。位值制是千百年来人类智慧的结晶。零是位值制记数法的精要所在。但它的出现却并非易事。我国是最早使用十进制记数法，且认识到进位制的国家。我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则，比如一百二十七。同时我们对0的认识最早。 十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价，"如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了"，李约瑟说"总的说来，商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学。" 分数和小数的最早运用 分数的应用 最初分数的出现，并非由除法而来。分数被看作一个整体的一部分。"分"在汉语中有"分开""分割"之意。后来运算过程中也出现了分数，它表示两整数比。分数的加减乘除运算我们小学就已完全掌握了。很简单，是不是？不过在七、八百年以前的欧洲，如果你有这种水平那么就可以说相当了不起了。那时精通自然数的四则运算就已达到了学者水平。至于分数，对当时人来说简直难于上青天。德国有句谚语形容一个人陷入绝境，就说："掉到分数里去了"。为什么会如此呢？这都是笨拙的记数法导致的。在我国古代，《九章算术》中就有了系统的分数运算方法，这比欧洲大约早1400年。 西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识，编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》章中，提出了完整的分数运算法则。 从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道，在《九章算术》中，讲到约分、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、除分（分数除法）的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同。另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的著作。 分数运算，大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度。实际上，印度在七世纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年（263年），所以，即使与刘徽的时代相比，我们也要比印度早400年左右。 小数的最早使用 刘徽在《九章算术注》中介绍，开方不尽时用十进分数（徽数，即小数）去逼近，首先提出了关于十进小数的概念。到公元 1300年前后，元代刘瑾所著《律吕成书》中，已将写成把小数部分降低一行写在整数部分的后边。而西方的斯台汶直到1585年才有十进小数的概念，且他的表示方法远不如中国先进，如上述的小数，他记成或106368。 九九表的使用 作为启蒙教材，我们都背过九九乘法表：一一得一、一二得二……九九八十一。而古代是从"九九八十一"开始，因此称"九九表"。九九表的使用，对于完成乘法是大有帮助的。齐恒公纳贤的故事说明，到公元前7世纪时，九九歌诀已不希罕。也许有人认为这种成绩不值一提。但在古代埃及作乘法却要用倍乘的方式呢。举个例子。如算23×13，就需要从23开始，加倍得到23×2，23×4，23×8，然后注意到13＝1＋4＋8，于是23＋23×4＋23×8加起来的结果就是23×13。从比较中不难看出使用九九表的优越性了。 根据考古专家在湖南张家界古人堤汉代遗址出土的简牍上发现的汉代"九九乘法表"，竟与现今生活中使用的乘法口诀表有着惊人的一致。这枚记载有"九九乘法表"的简牍是木质的，大约有22厘米长，残损比较严重。此前在湘西里耶古城出土的一枚秦简上也发现了距今2200多年的乘法口诀表，并被考证为中国现今发现的最早的乘法口诀表实物。 除了里耶秦简外，与张家界古人堤遗址发现的这枚简牍样式基本一致的"九九乘法表"还曾在楼兰文书中见到过，那是写在两张残纸上的九九乘法表，为瑞典探险家斯文赫定在上个世纪初期发掘。 乘法表在古代并非中国一家独有，古巴比伦的泥版书上也有乘法表。但汉字（包括数目字）单音节发声的特点，使之读起来朗朗上口；后来发展起来的珠算口诀也承继了这一特点，对于运算速度的提高和算法的改进起到一定作用。 负数的使用 人们在解方程或其它数的运算过程中，往往要碰到从较小数减去较大数的情形，另外，还遇到了增加与减小，盈余与亏损等互为相反意义的量，这样，人们自然地引进了负数。 负数的引进，是中国古代数学家对数学的一个巨大贡献。在我国古代秦、汉时期的算经《九章算术》的第八章"方程"中，就自由地引入了负数，如负数出现在方程的系数和常数项中，把"卖（收入钱）"作为正，则"买（付出钱）"作为负，把"余钱"作为正，则"不足钱"作为负。在关于粮谷计算的问题中，是以益实（增加粮谷）为正，损实（减少粮谷）为负等，并且该书还指出："两算得失相反，要以正负以名之"。当时是用算筹来进行计算的，所以在算筹中，相应地规定以红筹为正，黑筹为负；或将算筹直列作正，斜置作负。这样，遇到具有相反意义的量，就能用正负数明确地区别了。 在《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则，也就是书中解方程时用到的"正负术"即"同名相除，异名相益，正无入正之，负无入负之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。"这段话的前四句说的是正负数减法法则，后四句说的是正负数加法法则。它的意思是：同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加；零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减；同号两数相加，等于其绝对值相加；零加正数得正数，零加负数得负数，当然，从现代数学观点看，古书中的文字叙述还不够严谨，但直到公元17世纪以前，这还是正负数加减运算最完整的叙述。 在国外，负数出现得很晚，直至公元1150年（比《九章算术》成书晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了负数，而且在公元17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达，尽管在代数方面作出了巨大贡献，但他在解方程时却极力回避负数，并把负根统统舍去。有许多数学家由于把零看作"没有"，他们不能理解比"没有"还要"少"的现象，因而认为负数是"荒谬的"。直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。 从上面可以看出，负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。负数概念引进后，整数集和有理数集就完整地形成了。 圆周率的计算 圆周率是数学中最重要的常数之一。对它的计算，可以作为显示出一个国家古代数学发展的水平的尺度之一。而我国古代数学在这方面取得了令世人瞩目的成绩。 我国古代最初把圆周率取作3，这虽应用起来简便，但太不准确。在求准确圆周率值的征途中，首先迈出关键一步的是刘徽。他创立割圆术，用圆内接正多边形无限逼近圆而求取圆周率值。用这种方法他求得圆周率的近似值为，也有人认为他得到了更好的结果：。青出于蓝，而胜于蓝。后继者祖冲之利用割圆术得出了正确的小数点后七位。而且他还给出了约率与密率。密率的发现是数学史上卓越的成就，保持了一千多年的世界纪录，是一项空前杰作。2.阿拉伯数字并不是阿拉伯人最早发明的，而是最早起源于印度。据传早在公元七世纪时，阿拉伯人渐渐地征服了周围的其他民族，建立起一个东起印度，西到非洲北部及西班牙的萨拉森大帝国。到后来，这个大帝国又分裂成为东、西两个国家。由于两个国家的历代君主都注重文化艺术，所以两国的都城非常繁荣昌盛，其中东都巴格达更胜一筹。这样，西来的希腊文化，东来的印度文化，都汇集于此。阿拉伯人将两种文化理解并消化，形成了新的阿拉伯文化。大约在公元750年左右，有一位印度的天文学家拜访了巴格达王宫，把他随身带来的印度制作的天文表献给了当时的国王。印度数字1、2、3、4……以及印度式的计算方法，也就好似在这个时候介绍给了阿拉伯人。因为印度数字和计算方法简单又方便，所以很快就被阿拉伯人所接受了，并且逐渐地传播到欧洲各个国家。在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。到后来，人们虽然弄清了“阿拉伯数字”的来龙去脉，但有大家早已习惯了“阿拉伯数字”这个叫法，所以也就沿用下来了。3.人类认识0早，还是认识1早。1、2、3、4……9、0称为“阿拉伯数字”。其实，这些数字并不是阿拉伯人创造的，它们最早产生于古代的印度。大约在公元750年左右，有一位印度的天文学家拜访了巴格达王宫，把他随身带来的印度制作的天文表献给了当时的国王。印度数字1、2、3、4……以及印度式的计算方法，也就在这个时候介绍给了阿拉伯人。因为印度数字和计算方法简单而又方便，所以很快就被阿拉伯人所接受了，并且逐渐地传播到欧洲各个国家。在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。 由此可以看出，他们是同时被创造的。但我个人认为，人类是先认识1，因为初一的教科书上写着，负数是在人们的生产生活中产生的。人类应该是先发明了用1，2，3...数数，然后发现有东西没有了再用0表示，再发明了负数。4.数学中的符号+ - × ÷ ∧（表示乘方）√（开方）是有理数基本运算符号。 由于研究的需要，人类创造了大量的数学符号，来代替和表示某些数学概念和规律，简化了数学研究工作，促进了数学的发展。 在中学数学中，常见的数学符号有以下六种：一、数量符号 如，圆周率；a,x等。二、运算符号如加号（+），减号（-），乘号（×或·），除号（÷或-），比号（：）等。三、关系符号如“=”是“等号”，读作“等于”；“≈”或“=”是“约等号”读作“约等于”；“≠”是“不等号”。读作“不等于”；“＞”是“大于符号”，读作“大于”；“＜”是“小干符号”，读作“小于”；“‖”是“平行符号”，读作“平行于”；“⊥”是“垂直符号”，读作“垂直于”等。四、结合符号 如小括号（ ），中括号[ ]，大括号{ }。五、性质符号 如正号（+）、负号（-），绝对值符号（||）。六、简写符号 如三角形（△），圆（⊙），幂（）等。这些符号的产生，一是来源于象形，实际上是缩小的图形。如平行符号“‖”是两条平行的直线；垂直符号“⊥”是互相垂直的两条直线；三角形符号“△”是一个缩小了的三角形；符号“⊙”表示一个圆，中间的一点表示圆心，以免与数0及英文字母O混淆。二是来源于会意，即由图形就可以看出某种特殊的意义。如用两条长度相等的线段“=”并列在一起，表示等号；加一条斜线“≠”，表示不等号；用符号“＞”表示大于（左侧大，右边小），“＜”表示小于（左侧小，右边大），意思不难理解；用括号“（ ）”、“[ ]”、“｛｝”把若干个量结合在一起，也是不言而喻的。三是来源于文字的缩写。如我们以后将要学到的平方根号“”中的“√”，是从拉丁字母Radix（根值）的第一个字母r演变而来。相似符号“∽”是把拉丁字母S横过来写，而S是Sindlar（相似）的第一个字母。还有大量的符号是人们经过规定沿用下来的。当然这些符号并不是一开始就都是这种形状，而是有一个演变过程的，这里就不多讲了。数学符号的产生，为数学科学的发展提供了有利的条件。首先，提高了计算效率。古时候，由于缺少必要的数学符号，提出一个数学问题和解决这个问题的过程，只有用语言文字叙述，几乎象做一篇短文，难怪有人把它称为“文章数学”。这种表达形式很不方便，严重阻碍了数学科学的发展。当数量、图形之间的关系能够用适当的数学符号表达后，人们就可以在这个基础上，根据自己的需要，深入进行推理和计算，因而能更迅速地得到问题的解答或发现新的规律。其次，缩短了学习的时间。初等数学发展到今天，已有两千多年的历史，内容非常丰富，而其中主要的内容今天能够在小学和中学阶段学完，这里数学符号是起一定作用的。例如，我们的祖先开始只有1、2少数几个数字的概念，而今天幼儿园的小朋友就能掌握几十个这样的数。分析原因，除了古今生活条件不同，人们的见识差别极大以外，今天已有一套完整的记数符号，人们容易掌握。第三、推动了深入的研究。我们研究数学概念和规律，不仅需要简明、确切地表达它们，而对它们内部复杂的关系，需要深人地加以探讨，没有数学符号的帮助，进行这样的研究是十分困难的。所以，数学符号的应用，是多快好省地研究数学科学的重要途径。我国宋朝著名科学家沈括曾经说过，数学方法应该“见繁即变，见简即用”。数学符号正是适应这种变“繁”为“简”的实际需要而产生的。数学符号不仅随着数学发展的需要而产生，而且也随着数学的发展不断完善。比如，古代各民族都有自己的记数符号，但在长期使用过程中，印度——阿拉伯数码记数方法显示出更多的优点，因而其他的数码符号逐渐淘汰，国际上都采用了这种记数方法。
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