关于数值分析的毕业论文

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基于创新人才培养模式的数值计算教学研究与实践 论文 关键词： 数值计算 问题教学 实验教学 论文摘要： 从推动教改研究和我校培养创新人才模式出发,数值计算教学尝试以“问题教学”为主线,以理论与Matlab实验教学相结合,通过动手实践来掌握数值计算方法解决实际问题的基本过程、思考方式和规律,做到学以致用。 随着计算机的发展及其在科学技术领域的应用、推广与深化,科学计算已成为理论推演和实验证明之外的第三种科学论证手段,而作为其基础与核心内容的数值计算 (或称计算方法)已被广泛应用于科学技术和国民经济的各个领域。 数值计算科学以“高等数学”“线性代数”和“微分方程”等课程的基本内容为基础,以“程序语言设计”为手段,以计算机为解题工具,介绍求解工程和科学实验中常见的数学问题的数值方法和理论。因此数值计算属于应用学科,不是纯数学,理论上的完美并不代表实用。其每个算法除了理论上要正确可行外,还要通过数值试验证明是行之有效的,学生学了每个算法后都应该以解决实际问题为目的,通过编程或借助成熟的数学软件完成数值计算的训练,不仅要学会“怎样算”而且必须做到“真会算”,即不仅要知道问题的解是存在的,还必须求出具体的结果,尽管在很大程度上只是近似解。 目前,数值计算课程的教学中一般存在以下两个方面的问题:①重理论,轻实践。数值计算传统的教学模式注重讲授原理和数学理论,过分强调为后续课程奠定基础这一作用,而学生因基础课程的薄弱,或对算法物理背景的不甚了解,往往感到过于抽象、枯燥和难以掌握,学习兴趣不高,自然无法深入理解课堂理论内容,更不能自觉地运用于实际中。另外本课程的考核方式通常仅以笔试方式进行,对于引导学生动手实践不利。这也是学生不重视实验,不注重所学知识的编程实现的原因之一。②学时少,内容多。数值分析课程涉及大量推导过程繁琐的复杂公式,算法分析,程序及计算框图等,但我校计算机信息专业授课计划仅为48学时,教师往往不得不采取“满堂灌”的形式授课,每节课都在讲新内容,每节课也都在用新内容,而学生则经常处于被动学习的地位,负担较重,容易产生思维上的疲劳和情绪上的抵触,学习的积极性、创造性、主动性和灵活性得不到充分发挥,难以提高探索和获取知识的能力。其结果是学生学完本课程后,除了应付考试大多不知道数值分析还有什么用以及如何用。 如何引导学生从枯燥的数学推理过程中走出来,并基于数学建模的思想和方法,以数值计算为工具,解决实际问题,做到学以致用,这是基于我校创新人才培养模式下不断思索且急需解决的问题。 1. 教学应从问题出发,注重工程应用思想 数值计算是实际问题的数值模拟方法的设计分析和软件实现的理论基础,解决具体的实际问题,需要采用数学建模的思想和方法教学,即从生产实践所要解决的实际问题出发,通过归纳、分析、提炼等手段建立数学模型,从而提出相应的数学问题;然后从理论上研究解决问题的基本思想和方法;分析方法的优缺点及所能解决问题的类型,进而给出解决实际问题的数学方法;最后让学生亲自动手编程做实验,用所学的知识来解决简单的实际问题,通过这种“问题教学”法,学生运用数值分析知识解决实际问题,做到学以致用。采取这一方式不仅可激发学生学习数值分析的兴趣和欲望,而且有利于教师将理论知识实践能力和解决实际问题的心得体会通过授课与指导实验这两个环节传授给学生。更重要的是这样的教学过程能够体现数值方法的价值和意义,使得我们的教学不再是无源之水,无本之木。 2. 加强数值试验教学,强化计算能力培养 传统的学习方法是从课本理论到实践。这种验证的思路使学生产生 “盲信” 课本的思维模式,而实验设计是一个主动的创造过程,实验设计和实施中遇到的种种困难,靠学生自己通过文献检索、查阅资料去寻找解决的方法。数值试验是检验旧算法,建立新算法并研制相应软件的重要途径,算法及数值软件的正确性﹑可靠性和有效性,必须通过数值试验来检验。同时,数值试验更是探索新的物理现象的主要手段。为使学生掌握各种数值计算方法,积累计算经验,提高应用数值计算方法和计算机解决实际问题的兴趣和能力,必须加强数值试验课程的教学。通过选择算法、编写程序、上机调试、分析数值结果、写出试验报告和开展课堂讨论等数值试验教学各环节的综合训练,不仅可使学生较好地掌握常用的工程计算方法和技巧,而且提高他们的.程序设计能力和上机操作能力,从而培养学生的创新和工程实践精神。 3. 计算机多媒体教学与传统教学相结合 数值计算的教学方式应与传统的理论教学不同,应采用多媒体教学与板书有机结合,尤其要利用多媒体技术动态地演示近似计算序列的推进过程,使学生直观地理解计算方法的收敛性与收敛速度问题,将抽象的数学知识直观地呈现在学生们面前,极大地提高学生的学习兴趣。 4. 改革考试方法 考试是评估教学质量和学习水平的重要环节,对促进学生更好地掌握所学知识、强化他们的数学思维能力有极其重要的作用。数值计算课程的考试通常为笔试,但这不利于引导学生动手编程实算法。为培养学生理论联系实际的意识,增强他们应用所学知识解决解决实际问题的能力和上机实践的能力,应该将考试方法改革。不仅重视笔试成绩,更要强调上机实践的重要性,即学生本课程的最终成绩应由笔试和上机实验两部分按比例计算。 总之,从推动教改研究和我校培养创新人才模式出发,数值分析课程的学习我们尝试以“问题教学”为主线,以理论与实验相结合,以学生动手为主,在教师指导下运用学到的数值方法和计算机技术,选择合适的数学软件(如MATLAB),分析解决一些实际问题。从而优化课堂教学与实验教学,使枯燥难懂的理论知识易于接受,能真正实现教与学的良性互动。更为如何开拓学生思维和培养具有创新能力与素质的技术性人才的课程建设和教学研究进行可行性的探索。 参考文献: [1]孙亮.数值分析方法课程的特点与思想[J].工程数学,2002,1:84-86 [2]令峰.关于数值分析课程教学的思考[J].肇庆学院学报,2004,5:76-79 [3]周凤麟.数值分析教学初探[J].华东交通大学学报,2007,S1:47-48 [4]周乾智. 数值计算方法实验教学改革初探[J].科技信息,2007,36:342-344论文相关查阅： 毕业论文范文 、 计算机毕业论文 、 毕业论文格式 、 行政管理论文 、 毕业论文 ;

数学领域中的一些著名悖论及其产生背景

随着现代化的不断向前发展，不断更新换代，不断进步的步伐，机械工程方面的发展同样也不甘落后。下面是由我整理的机械学术论文，谢谢你的阅读。 机械学术论文篇一 机械制造中的机械设计技术分析 摘 要：随着现代化的不断向前发展，不断更新换代，不断进步的步伐，机械工程方面的发展同样也不甘落后。在机械工程中，一个不可或缺的组成部分就是机械设计，可以说机械设计是非常重要的一个方面了，现代化的设计水平与各方面都有相应的联系，如产品的性能问题、质量问题的研究等，同时也关乎到了一个企业的经济效益的发展问题。随着近几年来科学技术水平的不断发展，现代技术也应用的越来越广了，在机械设计中的应用也非常常见了，并且还有新的设计技术不断涌现。 关键词：机械制造;机械设计;设计技术;分析; 中图分类号：C35文献标识码： A 引言：在机械工程领域，机械设计是非常重要和关键的环节，它直接决定了机械产品的技术水平、研发周期、经济效益以及实际性能水平。所谓的机械设计主要是指，在深刻理解、熟练掌握机械工作原理的基础上，根据设计目标和需要达成的效果来构思、计算以及分析机械的结构形式、能量传递模式、润滑方式、运动形式、零件尺寸和形状等，并将分析结果和计算数据转变成为具体描述。在以上过程中，需要综合考虑各种因素，并对其进行统筹协调。时代和科技的进步突出了现代设计技术的重要性。本文以现代设计技术为主要研究对象，分析和探讨了在机械设计中应用现代设计技术的相关情况。 一、 基于IT技术的设计技术 1、 仿真与虚拟设计技术 计算机的不断发展，出现的大量的设计软件，如：PROE、CAD、ANSYS、SOLIDWORKS等。这些仿真画图软件形成了更为强大的人机交互系统。所谓仿真便是以计算机为工具，通过软件模拟出与实际想适应的系统模型，通过改变控制条件研究模型运行结果的计算机与机械相结合的技术。当然，工具不是无所不能的，而是为人所用的，软件只是辅助设计师进行设计工作，没有设计师的工作，软件是不会自动完成任何设计的。虚拟设计即是在这种多维化人机交互信息环境中从事设计的技术。目前投入使用的虚拟设计采用的是通过对数据格式进行适当的转换输出利用现有的CAD系统进行建模的环境系统。 2、 网络协同技术 网络协同设计是在支撑平面和高效的协同工作机制下完善信息管理将分散的设计工作流和资源有机的统一起来从而完成产品的开发设计。网络技术的发展使得网络上大量数据传输和分布的数据库管理成为现实，从而解决了数据在网络上的访问、传输、修改等问题，构造一个三维的网络机械设计平台。 3、 并行设计 传统的机械设计每下一个分支工作必须等上一个结束后才能开始，这是低效的串行设计，这种设计缺乏信息交换以及可操作性。并行设计作为一种设计哲理，是在原有信息集成基础上，集成地、并行地设计产品。并行设计更强调功能上和过程上的集成，在优化和重组产品开发过程的同时，实现多学科领域专家群体协同工作。从任何产品设计来看，并行设计采用每个时刻可容纳的设计过程相应增加，使整个设计过程尽可能同时进行。并行设计的特点是并发个协同，并发是指设计活动的并发进行，协同是指多学科设计队伍活动的协作。网络技术的发展以使得并行设计成为机械设计的重要方法之一。 4、 智能设计 智能设计的发展，从根本上取决于对设计本质的理解，智能设计系统不仅仅是对人脑某些思维特征的模拟，而且需要具有自学习适应的能力，能够较好地支持设计过程自动化。我国市场经济的发展对产品设计与开发提出了强烈的创新要求。在当前的市场经济体系中，对产品设计不仅要求特立独行，还要求简单方便效率的设计。 二、基于数学知识的设计技术 1、 有限元设计 有限元法又称有限单元法，是求解偏微分方程的一种有效的数值方法。有限元法发展至今天，已经成为工程数值分析的有力工具，取得了巨大的进展，利用它成功地解决了一大批有重大意义的问题，很多通用程序和专用程序投入了实际应用，而且应用愈加广泛，已拓展到诸多领域。 2、 优化设计 优化设计就是在满足特定的约束条件下，利用建立数学模型的方法来求取设计的最佳值。优化设计的目标就是最优化设计对象，其手段便是依靠先进的计算机辅助软件。因此，优化设计还可以被看作为通过计算机语言来模拟达到最佳设计方案的现代科技手段。优化设计大体上包括两点内容：首先，建立符合实际的数学模型，把设计要求抽象为约束条件和函数;其次，根据所建立的模型利用计算机进行数学模型的求解从而得到优化设计方案。任何机械设计问题，总是要求满足一定的工作条件、载荷和工艺等方面要求，并在强度、刚度、寿命、尺寸范围及其他一些技术要求的限制条件下寻找一组设计参数。 3、可靠性设计 产品可靠性设计是指在产品的开发设计阶段将载荷、强度等有关设计量及其影响因素作为随机变量对待，应用可靠性数学理论与方法，使所设计的产品满足预期的可靠性要求。产品开发设计阶段的主要内容还包括预测设计对象的可靠度、找出并消除薄弱环节、不同设计方案之间的可靠性指标比较等，可分为定量分析与定性分析两个方面。定量分析是应用概率统计方法、布尔代数、马尔可夫过程理论、故障树分析等计算产品的失效概率。定性分析是通过故障模式、影响及致命度分析、事件树分析、故障树分析等对事故种类、原因、后果等进行罗列和分析。 三、 机械设计技术分析 机械设计是机械制造的前提和基础，对机械制造过程中的具体流程、操作以及问题解决都有一定的知道与规划，因此机械设计对机械制造而言非常重要。机械设计过程中设计到很多领域以及学科知识，随着社会发展，对设计技术层面的要求也越来越高，机械设计所应用到的层面也越来越广泛，下面将从机械设计的规划、方案、技术以及发展趋势等方面对机械设计的技术进行具体分析。 1、 初期规划设计分析 机械设计的初期规划设计流程和操作与计算机软件需求分析设计非常相似，都是在设计之前就要对机器性能以及具体设计要求进行充分的调查和分析，并整理数据得出相关重要结果和信息，这些信息包括所设计的机器应该具备哪些功能和特点，怎样确保制造流程更加便捷高效等等。机械设计的初期规划是机械设计的基础，是机械设计如何进行的引导和约束条件，也是机械制造工程的约束条件。 2、方案分析 在机械设计过程中，方案设计是在初期规划基础上对机械设计构想的具体实施，机械设计的方案设计是机械设计的关键，是机械设计成功与否的决定性因素，在方案设计过程中所要注意的问题也要多于机械设计其他环节，方案设计还要克服设计创想与设计实践之间的差距，避免设计方案的不可实施，确保机械制造安全有效。这就要求设计方案要同时考虑到机械制造的创新技术和机械自身性能及要求两个方面，二者相互渗透，缺一不可，这样才能确保机械设计的设计方案可实行、有创新。机械设计中的方案设计主要包括工作原理运用、机械结构认识、运动方式设计、零件设计与选取、制图以及检查等方面，这些因素构成了机械设计中方案设计的具体流程。 3、 技术设计分析 机械设计中的技术设计是整个设计过程中的灵魂，对于技术层面的要求最为严格，该流程主要是针对设计图纸的具体计算与核对。在技术设计过程中，设计师及相关人员还应将总设计图纸与设计草图进行认真比对并分析，避免出现严重错误，对每个设计环节以及设计部分都要进行严格审查，一旦出现错误或者漏洞，设计人员及工作人员要及时处理并做好校对工作。可以说技术设计环节是对整个设计过程的全面掌控，要求最高，审查也应该最为严格。 结语 ：随着科技的不断进步与发展，机械设计对技术的要求越来越高，要想使设计的产品满足全球化经济市场的竞争与需求，必须将现代科学技术应用于机械设计的领域。相关的工程技术人员也应适应时代的需求，拓展设计思维，灵活运用现代设计技术，提高产品的市场竞争力。 参考文献： [1]董立立，赵益萍，梁林泉，朱煜，段广洪.机械优化设计理论方法研究综述[J].机床与液压，2010 [2]张冠军，陈立人.我国石油机械制造业热处理的现状与展望[J].金属热处理，2010， 机械学术论文篇二 机械设计与机械制造技术探讨 摘 要：随着我们国家社会主义经济在不断的发展，机械制造工程越来越多。而机械设计和机械制造是密不可分的，机械制造要以机械设计作为前提，在经过设计以后才能进行制造，同时，也能更好的保证制造的流畅性。良好的机械设计能够提高机械产品的性能，同时，对机器的质量以及可靠性有很大的影响。本文针对机械设计技术以及机械制造技术进行了分析。 关键词：机械设计;机械制造;技术探讨 中图分类号：TD402文献标识码： A 前言：在机械工程当中，机械设计是指机械设计人员按照机械原理对机器的结构、运动方式、能力以及力的传递方式进行设计，对不同的零部件进行组织构思。在进行设计时，可以对制造的需要进行满足，以此为依据来设计方案。 1、 机械设计与机械制造的背景 就在1969年美国的《机械设计概论》杂志主刊上已登载了机电一体化这一概念。随后，机电一体化进行了持续的拓展。英国机械制造工程师会所在1986年为现代化机械论述了这样的定义：现代化机械是“根据计算机讯息网络调控的，用以实现包含机械动力、运转和能量流动等动力学任务的机械或机电零部件互相联系的体系”。它和前面所提到的机电一体化是相同的，所以能说现代化机械自然是指机电一体化体系。20世纪80年代国际机械和单位理念联合协会进行了如下的定义：机电一体化是精密机械系统、电子调控和体系思想在机械设计和机械制造流程中的协作融合。所以又能说机电一体化根本上是在机械设计和机械制造与其自动化基础上的拓展。把以往的机械设计制造与现代的机械自动化实施了对比，显示出具有自动化的特性是现代化机械和以往的机械在性能上的根本区别。机械自动化在所有行业的运用和拓展，表现出机械自动化的优势和功效。就是功能多样化、高效率节奏、高度可信率、节约材料、节约资源，持续完善人们生产生活的多元化需要。 2、 机械设计的技术分析 机械设计的初期计划设计分析 机械设计要进行初期的计划设计，其在工作方面和计算机软件的设计需求析比较类似，在设计之前要对机器设计的要求进行调查和分析，在分析要求的过程中，对机器应该具备的功能也要进行掌握。以此作为机械设计的基础，然后在设计以及制造过程中要对相应的约束条件进行规定。 机械设计的设计方案分析 在机械设计中，方案设计是关键的部分，方案也是设计的灵魂，其决定着设计的成败。在设计阶段，会遇到很多的问题，主要要面对的问题就是实际和理论之间的矛盾。方案设计不仅仅要符合机器本身的性能，同时，在功能方面也要进 行满足。在方案设计方面，对检验人员对机器开发、认识以及创新方面都要进行重视。在设计阶段，主要的步骤可以简单概括为对工作原理进行定义、对机器结构进行确定、对机器运动方式进行设计、对零部件的选取与设计进行判断、对制图进行设计以及对初步设计进行调查。 机械设计的主要技术设计分析 机械设计中，对技术层面的要求最为严格，在这个阶段要对设计图纸进行校对，同时，要对图纸进行计算，对设计总图和部分草图要进行对比和核对分析。在机械设计方面对每个部分都要进行设计，设计时要进行非常严格的核对，不能出现疏漏的情况，同时，在校对方面也要保证质量。对要进行产品生产的机械，在设计时，要根据产品进行定型设计。 机械设计的技术发展趋势分析 针对现代机械产品的机械设计 现代机械产品对机械设计提出了更高的要求，因此，在进行机械设计时，在技术层面一定要不断的进行改善。机械产品设计要更加具有智能化特点，主要的方式就是利用现代化设计手段，在设计过程中应用设计软件和虚拟的设计技术，对产品设计进行虚拟化，同时，利用多媒体技术对产品的性能、结构进行模拟演示，以达到更好的设计效果。在机械设计方面要更加的系统化，机械设计 中包含着很多的部件，这些部件要有机的结合在一起才能形成整体的设计，同时，要具有一定的层次性，在经过系统设计以后才能实现机械产品的设计目标。最后是要具有模块化特点，这种理念在设计方面比较简单，但是，要保证机械设计功能实现模块组合，在产品方案设计过程中进行实现。机械产品设计要具有特性，要根据所生产的产品特性来进行机械设计，在这个过程中要利用计算机对产品进 行构建，同时，进行必要的推理，最终形成方案设计。 现代机械设计的未来发展与前景分析 机械产品在性能方面要更加的优良，因此，在进行机械设计过程中要以提高产品的性能为目标，其中机械产品的优良性主要体现在可靠性技术以及控制技术方面。机械设计要更加适合市场发展，在激烈的市场竞争中能够获得发展空间，产品在形成以后要能够在市场中进行拓展。同时，在经济环境不断变化的情况下，要不断开发新技术，这样能够在机械设计方面应用新技术。新技术要具备一定的竞争优势，主要体现在技术方面的创新，成本方面的降低，智能化设计等。应用新技术来提高机械设计的市场竞争能力，对企业未来在机械设计方面，节能环保理念也要进行体现，近年来，人们对环境保护越来越重视，在机械设计过程中，绿色设计成为了主要发展方向。机械设计产品以智能化和绿色化为基础，在对能源进行利用时，能够利用机械设计技术实现能源的利用最大化，对实现资源的循环利用更加有帮助。 3、机械制造的技术分析 机械制造技术的特点分析 机械制造技术要符合当代技术发展要求，在机械设计方面要更加具备当代的特点。传统的机械设计在应用过程中出现了越来越不能满足现代机械产品需求的情况，虽然其在制造技术方面在不断的更新，同时，使用的设备也在不断的更换，但是，在原有基础上要不断的更新技术，对技术进行利用，作为其发展的基础。 市场经济不断发展过程中，机械制造技术要做到能够适应经济的发展。工业发展过程中对各方面都提出了新的要求，近年来，工业发展速度非常快，而且在不断的融入新的技术体系。工业生产过程中对计算机技术以及信息技术进行了很好的融合，为了更好的提高生产效率，应该对机械制造技术进行革新。提高生产效率满足客户的需要，能够提高市场占有率。机械制造技术在技术范围上要进行扩大，同时，在生产加工方面要不断的发展。 我国机械制造技术的现状以及发展方向分析 机械制造的管理。计算机管理制度对于机械制造业而言，是一种未来发展的方向。组织体制与生产模式的更新发展，营造出最新的 JIT、AM、LP 以及 CE 等管理理念。在我国，这种管理机制还是比较匮乏的，只有很少的机械制造企业进行这样的管理。因此，我国应该加强机械制造的管理机制。机械制造的设计。工业发达国家都会采用设计方法，并且不断更新设计数据。尤其是计算机辅助软件的应用-CAD 技术的应用，让更多企业开始了无图纸的机械制造。然而，在我国，则缺乏这种计算机软件技术，或者是这样的技术应用并不广泛。因此，在这一技术层面上，我国需要努力与发展。机械制造的工艺分析。机械制造以高精度、高精细加工作为其发展的趋势。最新的技术，如微型加工、纳米加工技术、激光加工技术、电磁加工技术等等。这些技术都属于高端的加工技术，在工业发达的国家，这些技术应用较为广泛。 4、结束语 综上所述，由于现代化机械自动化在设计和制造上具备多功能性、高品质、高可信率、低能源消耗的优势，因此机械设计与制造都是环绕机械自动化来施行的。机电一体化的拓展就是机械自动化的拓展。所有设计师必需清楚地意识到机械设计制造唯有朝机械自动化设计制造的前景拓展，才可能是机械工业拓展中独辟蹊径的出路。 参考文献： [1]张义臣. 现代机械设计与机械制造的相关技术分析[J]. 科技创业家,2014,08. [2]关晓铮. 机械设计与机械制造的技术探讨[J]. 企业技术开发,2014,08. [3]王晓晨. 浅析机械设计与机械制造技术[J]. 科技创新与应用,2014,23. [4]陈火文. 基于卓越计划的机械设计制造技术探讨[J]. 科技创新与应用,2014,25.看了"机械学术论文"的人还看: 1. 机械类论文格式范文 2. 关于机械方面的论文范文 3. 机械专业论文范文 4. 关于机械毕业论文精选 5. 机械类论文摘要范文

关于数学分析的论文

2017大学数学论文范文

由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。

几类特殊函数的性质及应用

【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。

【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分

1.引言

特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。

由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。

特殊函数定义及性质证明

特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。

特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。

2.伽马函数的性质及应用

伽马函数的定义：

伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。

Г函数在区间连续。

事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。

，伽马函数的递推公式

此关系可由原定义式换部积分法证明如下：

这说明在z为正整数n时，就是阶乘。

由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....

用Г函数求积分

贝塔函数的性质及应用

贝塔函数的定义：

函数称为B函数(贝塔函数)。

已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：

贝塔函数的性质

对称性：=。事实上，设有

递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有

即

由对称性，

特别地，逐次应用递推公式，有

而，即

当时，有

此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为

由上式得以下几个简单公式：

用贝塔函数求积分

例

解：设有

(因是偶函数)

例贝塔函数在重积分中的应用

计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，

解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是

通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。

贝塞尔函数的性质及应用

贝塞尔函数的定义

贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。

贝塞尔函数的'递推公式

在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4

特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：

以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。

又因为

以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。

为半奇数贝塞尔函数是初等函数

证：由Г函数的性质知

由递推公式知

一般，有

其中表示n个算符的连续作用，例如

由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。

贝塞尔函数在物理学科的应用：

频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令

称为的Fourier变换。它的逆变换是

若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，

这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是

由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：

以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。

首先建立取样定理

设：

其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：

令

经计算：

利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。

通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：

类似地

经计算：

经计算得：

则有：设是的Fourier变换，

记则由离散取样值

因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。

例，利用

引理：当

当

因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式

首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：

(1)

其中

函数的幂级数展开式为：

则关于幂级数展开式为： (2)

由引理及(2)可得

(3)

由阶修正贝塞尔函数

其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为

(4)

通过(1)(4)比较系数得

又由被积函数为偶函数，所以

公式得证。

3.结束语

本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。

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经济数学是属于经济学的一个分支，大一的经济数学是经济学管理专业的基础知识。下面是我为大家推荐的大一经济数学论文，供大家参考。大一经济数学论文 范文 篇一：《经济类高等数学分层教学的实践研究》 摘要：高等数学是经济类本科生一门重要的基础课程，对掌握好其专业课程知识和从事本专业更高层次的研究起着关键作用。为使该专业学生学好这门课程，我校对高等数学的教学试行了分层教学的教学模式。本文从分层的必要性、分层方式以及取得的效果等方面分析阐述了实行分层教学的优势。 关键词：高等数学;分层教学;因材施教 一、分层教学实施的必要性 高等数学是大学本科经济类专业学生的一门重要的基础课程，其重要性体现在学好这门课程不仅是学好其专业课的基本保障，更是提高思维素质的方式和进行更高层次研究的不可缺少的工具。因此，一般的本科院校对经济类的学生从一年级开学就开始开设高等数学课程。然而，高等学校扩大招生后，我国的高等 教育 已经从精英教育发展到大众教育阶段，使得高校各专业入学人数在激增的同时，生源质量下降已是不争的事实。而且学生来自全国各个省市地区，入学的数学成绩、水平参差不齐;不同学生的兴趣、 爱好 及发展方向各不相同。而相同专业所使用的教材、教学计划、教学大纲都是一样的，学生和教师基本没有选择的余地。这种统一的教学模式严重阻碍了高等数学 教学质量的进一步提高。目前，这一课程的教学面临的最大问题是学生的学习兴趣和学习成绩的下降。而造成这一问题的因素是多方面的，其中一个重要的原因是忽视学生对 教学 方法 、教学内容的不同需求。因此，根据学生的数学成绩、 兴趣爱好 、发展志向在适当尊重个人意愿的前提下对学生实施不同要求，不同方式的教学方式，就势在必行。本文以科学理论为基础，结合本校的教学实践，分析论述了分层教学的实施方法和取得的成果。 二、分层教学的理论基础 分层教学的理论基础是美国心理学、教育学家布鲁姆 ()“掌握学习”理论。布鲁姆认为：“只要在提供恰当的材料和进行教学的同时，给每个学生提供适度的帮助和充分的时间，几乎所有的学生都能完成学习任务或达到规定的学习目 标。”“掌握学习”理论要求教师的教学“应根据学生的实际发展水平、学习方式和个性特点来进行”。而一般高校的生源来自全国各个省市地区，近年来的高校扩招也造成了生源质量的下降。这就造成了学生的数学水平参差不齐，差异较大，而分层教学可以较好得体现上述思想。分层教学法还以多元智力理论为基础，尊重学生的个性差异，重视个性发展，遵循因材施教的原则，以学生的发展作为教学的出发点和归宿，真正体现“以学生发展为中心，以社会需要为方向，以学科知识为基础”的教育改革要求，也能真正体现素质教育的精神内涵。另外，其实在我国古代，教育家、思想家孔子就已经提出育人要“深其深，浅其浅，益其益，尊其尊”，即主张“因材施教，因人而异”。也就是说，教师的“教”，一定要适合学生的“学”。 三、分层教学的实施 分层教学，就是针对学生不同的学习水平和能力，以及学生自身对数学的兴趣爱好程度和要求有区别地制定学习目标，设计课程内容，创设不同的教学情境和教授方式，从而进行有针对性的因材施教，促进学生得到全面的锻炼和发展，进而实现更高效率，更好效果的教学模式。从2008学年开始，在我校教务处的大力支持下，我们在经济类专业的高等数学教学中试行了分层教学模式，和以往的不分层相比，两年来教学效果取得了显著的提高。具体实施方法是，对于经济类专业的两个学院，经济贸易学院和工商管理学院，我们采取不打乱院系，但是分层也分班的方式。层次分为两层，即A层和B层。A层是基本知识掌握、理论灵活运用、理论联系实际等方面要求较高的层次，教学计划和内容以 考研 和在专业领域进行深入研究为目标;B层相应要求较低，但是以打下扎实基础，使数学成为后继专业课学习的有力工具为基本原则。同时，由于A层班级的较高要求不易把握，由具有多年教学 经验 的教师担任授课工作。分层的依据有客观依据和主观依据。客观依据是学生的数学成绩水平，一方面参考高考成绩，另一方面，在新生入学伊始，进行一次数学“摸底”考试。“摸底”考试的试题由教学经验丰富的教师来出，大部分是一般难度的题目，但有少数较难题，由此可看出学生的数学成绩高下。分层的主观依据即是学生自己对数学课程的兴趣深浅程度和要求高低。比如，有的学生虽然成绩一般，但是对数学很感兴趣，或者有考研等在本专业领域继续研究的意向，我们可以考虑将该生分A层班级听课。反之，有的学生考试成绩虽高，但是对数学兴趣不大，只是当做一门必修基础课程来修，那么，就可以征求该生的意见，将其分在B层班级上课。考虑到班级人数和授课效果，我们采取相当三个“自然班”的人数为一个授课班。分层教学的根本目的是因材施教，因此，第一学期期末考试结束后，一些学生的数学成绩、对数学的兴趣态度等可能已经不再适合原来的班级教学目标，这就需要对班级进行调整，也就是说，分层教学具有一定的流动性。调整时也遵循上述分层依据，因为调整也是再一次分层。一方面是学生的试卷成绩，另外兼顾学生的主观意愿。但是实践证明，波动不宜过大，以不超过5%为宜。 四、分层教学的成效与思考 分层教学取得了一定的成效，较之08级以前不实施分层教学的学生成绩，不及格率有了较大幅度的降低。60-69，70-79分数段的人数有显著增加，而90分以上的优秀率有小幅增加，平均分明显提高。成绩分布呈正态分布。由此可见，分层教学符合大多数学生的愿望和要求，应当坚持和完善。分层教学有的放矢，因材施教，可以提高学生的学习兴趣，降低因学科本身的抽象枯燥造成的负担。使一些对数学没有信心，失去学习兴趣的学生达到了大纲的要求，较好解决了大学生数学学习两级分化太大的矛盾。08级以后的学生对分层次教学的认可度越来越高，适应数学学习的能力和学习数学的信心也大大地增强。实践证明，分层教学保证了面向全体学生，因材施教，做到了“优等生吃得饱，中等生吃得好，差等生吃得了”，同时，减轻了学生的课业负担，是全面提高教学质量和实施素质教育的行之有效的途径。虽然分层教学的实施使高等数学教学各方面有了大的改进，但是还有一些问题亟待解决。比如不同“自然班”的学生在同一个授课班上数学课，这就给课堂和作业管理造成了一定的难度，对教师和辅导员提出了新的要求。另外，考试过后需要将学生成绩按“自然班”排名，也造成了一些麻烦。我们的工作还仅仅是一个开始，今后将在实践中不断完善分层教学的教学方式，比如，在考核学生成绩方面，可以考虑不仅依据笔试的卷面成绩，再兼顾 其它 形式的考核成绩;在教学过程中，可适当借助计算机进行多媒体教学，以提高学生的学习兴趣。 参考文献： [1]阳妮.大学数学分层教学的理性思考[J].高教论坛，2007. (5)：87-89. [2]郑兆顺.新课程中学数学教学法的理论与实践[M].北京：国防工业出版社，2006. [3]郭德俊，李原.合作学习的理论与方法[J].高等师范教育研究，1994，(3)：43-54. [4]付海峰.在层次教学中培养学生的思维能力[J].中学数学参考，1997，(10). 大一经济数学论文范文篇二：《经济数学课的教改》 摘要：本文从教学内容的改革、教学方法的改革、教学手段的改革、以及 考试方法的改革等几个方面论述了 经济数学课的教学改革思路。其主导思想是：经济数学教学应当以“用数学贯穿于整个教学的始终。”以应用实践为主线，加强知识点的理解、运用和补充，培养学生建立数学模型、解决实际问题的能力。 关键词：经济;数学课;教改 很多人都知道，数学非常重要，但却不知道它重要在哪里，只知道各类考试都要考数学，似乎这是应试 教育的代名词。究竟学了数学有何作用，究竟在数学教学中应当怎样培养适应社会主义市场经济 发展需要的应用型、创新型人才?一直以来，成为我们教学改革所探讨的问题。本文从高职经济数学的教学内容、教学方法、教学手段、以及考试方法等几个方面的改革进行了论述。其主导思想是以“用数学贯穿于整个经济数学教学的始终。”以应用实践为主线，加强知识点的理解、运用和补充，培养学生建立数学模型、解决实际问题的能力。 一、教学理念上以“应用”为目标贯穿整个教学过程 经济数学与一般的高等数学相比有其特殊性，应使学生正确认识经济与数学的关系，在经济学领域，数学分析必须为经济分析服务，而不能本末倒置，应坚持“数学为体，经济为用”的原则。因此，在教学中，将经济融于数学。每章开始，都用当前经济生活中的 热点 问题激发学生学习有关数学知识的兴趣，进入各节内容，尽可能的以经济为例，使数学与经济逐步结合，最后，又以所学有关数学知识，分析每章开始时提出的经济问题。例如：讲函数时，以商品的产量受什么影响、手机话费与什么有关等引入函数的概念，讲完函数概念之后，以数学表达式给出上面提到的函数关系式，最后再给出经济分析中常见的函数(成本函数、收入函数、利润函数、需求函数等)。讲导数与微分时，问学生，在日常生活中见到过某商品突然降价而利润增加的现象吗?当学生举了很多例子、学习兴趣被激发后，引入变化率的问题，也就是将要引入的导数。讲完这一章后，再给出为什么商品降价反而利润增加的答案，就是“富有弹性”。也就是说，适当降价会使需求量较大幅度上升，从而增加收入。这样的教学，既帮助学生理解有关的数学原理和方法，也帮助学生了解它们在经济管理中的应用。 二、教学内容上以“必需、够用”为原则 经济数学课是高职经济管理类专业重要的基础课和工具课，通过对微积分、线性代数、线性规划等内容的学习，使学生初步具有解决经济管理问题的能力，并为今后学习经济管理课程和从事经济管理工作打下必要的数学基础。如何在有限的学时内，完成这么多内容的教学呢?那就要紧紧结合专业培养目标，按“必需、够用”的原则取舍经济数学的内容。教学内容的增删，首要的就是去掉一些抽象的、理论性强的、纯数学语言的概念及定理的证明，代之以定性的、通俗的描述性定义及几何解释。例如，函数极限概念，对高职学生来说，有一种感性认识，确立一种极限概念、思想也就足够了。重点介绍函数极限的概念，然后对整标函数——数列的极限仅仅作为函数极限的一个特例，简而述之。这样处理，凸现了函数极限概念。比以往的先介绍数列极限概念、性质，然后再介绍函数极限，节省了大量时间，教学效果也很好。在教学中，把重点放在幂函数、指数函数、线性函数、矩阵代数、线性方程组等内容上，删除了曲线的凹凸、由参数方程确定的函数的导数、旋转体的体积、行列式的部分内容等等，而把时间花在与他们今后学习和工作中天天都要接触的单利、复利、产量、收益、成本、最小投入、最大利润、弹性函数等内容上，对他们来说更实用，更有价值。这样，有利于我们所培养的人才在今后的工作中能够胜任岗位。 三、积极进行教学方法改革 (一)改革教学方法，让学生成为授课的主角。我们积极贯彻行动导向教学思想，一改传统教学模式中教师讲学生听的教学形式，让学生参与到课堂讲授中来，教师针对某一内容和知识点，灵活运用行动导向多种互动式的教学方法，以此实现学习由“要我学”向“我要学”的方向转变。本课程归纳并可应用多种互动式教学形式和方法，如头脑风暴法、专题演讲法、课堂讨论法、情景模拟法、角色演练法等。这些方法不仅能提升教学质量和效果，而且可以极大地激发学生学习该课程的积极性和热情。 (二)实现课堂教学与具体实践的互动。本课程在教学过程中，采取了课内实践与课外实践相结合，阶段实践和课程实践相结合的实践教学方式，教师针对讲授内容，除进行必要的课堂实践训练外，还积极组织学生进行社会调研，数学建模，以此培养学生运用所学知识分析解决实际问题的能力。 (三)将案例教学贯穿课程始终。本课程在内容设计上精心挑选了大量案例，理论联系实际，学以致用，通过案例的分析和讲解，使学生由单纯地死记硬背知识转变应用知识增长技能。 四、实现教学手段和评价手段的更新 教师在教学中充分利用 现代 教育技术手段，开发制作、使用多媒体课件和课程 网络资源，增强教学的直观性，以利于学生对知识的理解和消化。 考试是教学的指挥棒，对于引导学生端正 学习态度 ，把握学习重点起着有着至关重要的作用。高等职业教育的主要任务是培养高技能人才，这类人才，既要能动脑，又要能动手，所以必须用的职业教育的人才质量观去考核学生，多方位、多角度全面评价学生的学习成绩。为此我们进行了考试改革，改变了一卷定结果的做法。在对学生的评价上，一是以方式方法的灵活性提高评价的全面性。将日常评价拓展到课题活动、 经济数学小 论文、经济数学作业、小组活动、 自我评价 、相互评价、面谈、提问、日常情境观察等内容;二是以“统一”的方式来提高评价的可参照性。以重新组卷的方式实行期末考试，统一阅卷、统一评分。 在这方面我们曾经做过考核能力的试题的征集工作，但还是在摸索之中，一些原则性的意见可以归纳为： 重视基础，突出重点。基础知识掌握情况仍然是考试中不可缺少的内容。 注重思想，淡化技巧。繁难的技巧要淡化，经济数学中有普遍意义的数学思想与方法应是考试的重点。 重视应用，考查能力。要着重测试学生的潜在能力。使素质高、能力强、潜力大的学生在考试中占优势。 形式多样，富有弹性。可以尝试“开放性”试题，测试创造性思维能力，也可以尝试笔试与口试相结合。 五、积极开展第二课堂活动 开展第二课堂活动,重视学生个性 发展和能力的培养。数学建模活动是一项把数学知识直接应用于解决实际问题的最佳快捷、有效途径，是提高学生分析问题解决问题的能力、灵活运用数学知识处理问题的能力、激发学习兴趣、主动查阅资料、增强协作意识、培养创新能力的最佳手段。因此，在学完微积分后，给出与经济专业有关的建模训练题：产品利润问题、连续复利问题、由边际函数求最优化问题、最优批量问题等。在建模训练的过程中，学生就会认真地看书、查资料，经常向老师请教，互相探讨，这样学生的综合素质就会有很大提高。当然，由于高职学生的基础较差，建模作业完成的不会很好，但这需要教师不断在教学中渗透用数学思想可以解决许多经济中的问题，拓展了学生的知识面。 目前我校经济数学课的教学取得了良好的效果，学生对学习经济数学的兴趣提高了，恳于钻研，勤于思考的学生越来越多。总之，我们紧扣培养目标，将基础理论、数学建模有机融合，以必须的数学理论为基础，以丰富的实际问题为背景，以数学建模为突破口，取得了较好的成效。通过以上的教学改革使我们深刻体会到，学生的学习潜力是无限的，关键是教师如何培养和挖掘，为他们提供展示才能和发展的空间，所以我们要树立创新的教育教学理念，要坚信别人能做到的，我们也一定能做到并且会做得更好。 参考 文献： [1]高纪文.高职院校学生高等数学学习现状及对策[J]. 中国职业技术教育,2005,(6). [2]刘建清.石化学院高职数学教学改革与实践[D].西北师范大学,2005:8-11. [3]张拓.高职数学课教学改革探讨[J].教育与职业?理论版,2008,(1). 大一经济数学论文范文篇三：《经济学中数学统计方法的应用》 1 经济学与数学统计方法之间的融合历程 数学统计在经济学研究中的应用已经非常普遍，两者之间的联系也越来越紧密。回顾历史，早在17世纪，经济学与统计学之间的融合就已经表现出了必然的趋势。在当时，英国古典经济学家威廉·配第在《政治算数》一书中第一次利用数学方法来解决经济问题，这是两者的首次融合。不过在那个时期的研究由于受到社会发展的限制，研究方法还是以定性分析为主，并没有对统计学进行充分的运用。到了19世纪20年代以后，经济学与统计学之间的结合得到了进一步的深入。在这一时期，德国经济学家于1854年在其发表的论文中提出了一个结论，指出可以通过数学统计方法推导出“戈森定律”，其中还重点阐述了统计学方法应用于经济学是非常必要且重要的[1]。之后，英国经济学家斯坦利·文杰斯也对经济学与数学统计方法两者之间的关系进行了深入的研究，并在他1871年发表的书籍中提出了一个新的思想，也就是采用统计学的方法建立经济数学模型[2]。此后，经济学中数学统计方法的运用开始得到推广和发展。20世纪40年代之后，由于受到第三次科技革命的影响，经济学与统计学在实践上和理论上都得到了突破性的发展，并且两者之间的融合也得到了创新性的进步，进入了一个新的阶段。1955年，由美国经济学家摩根斯坦和数学家伊诺曼共同创作了《对策论与经济行为》，这本书籍的出版成为经济学与数学开始全新合作的里程碑[3]。自此之后，无论是在微观经济学中，还是在宏观经济学中，统计方法都得到了大量的运用，其重要性变得更加凸显。由此可见，从17世纪开始经济学与统计学出现融合的趋势，经历了长期的发展历程，目前两者之间的融合已经非常的深入和成熟，对于推动经济学的科学化发展起到了非常重要的作用。 2 数学统计方法应用于经济学的作用分析 数学统计方法可用于解决经济学问题 严谨精密的分析过程以及清晰准确的分析结果是数学统计方法的优势所在，而经济学问题的分析和解决中则对结果精确度和科学性要求非常高。由此可见，数学统计方法应用于经济学中具有重要的实际意义。数学统计方法很早就开始在经济学领域中得到应用，随着两者之间的结合和发展，现在在相关的研究领域已经出现了很多数学专业化理论，例如经济计量学、数理经济学等，这又进一步为两者的融合和共同发展提供了理论基础[4]。在经济学问题的解决中，数学统计方法的应用模式主要是“经济一数学—经济”，这也就是说，首先，以现实经济问题为出发点来建立数学模型，然后，采用数学方法来分析这一数学模型并得到结果，最后，再利用经济学原理和理论来评估所得的结果，得出相应的结论，其结论不仅可以用于指导经济活动，同时还可以用于预测经济发展方向。特别是在现代企业经济决策中，通过数学统计方法可以对经济活动进行从定性到定量的全面分析，可以较为科学、准确地预测决策执行后的结果，并充分利用企业的现有条件来对结果进行控制和优化，通过这种方式可以有效提高经济决策的可靠性与科学性，避免企业财力、物力的损失[5-6]。 数学统计方法可作为工具展开经济理论分析 从经济学与数学统计方法融合的初期发展到现在，数学统计学已经开始应用于各种重大经济问题的研究和分析中。再加上现代数学与现代经济理论之间的融合也在不断的深入，很多经济现象理论都可以通过数学方法来进行科学、合理的解释。特别是在这几年来，数学统计方法应用于经济现象和经济关系分析中的研究在不断进行，通过这种方式不仅可以从量的角度来确定结果，同时还可以从质的角度来做出判定[7-8]。由此可见，如果没有数学统计方法，就难以有效解决经济学问题。 3 数学统计方法应用于经济学的实例分析 在GDP分析模型中，可以通过数量分析和统计学方法来找出其中的统计指标，设计相应的指标体系，并结合社会现状来研究GDP值的计算方法和影响因素。在下面的研究中我们以某市2001—2012年的GDP纵向分布数据模型为例，采用分析数量经济法中的回归分析来展开统计学研究，并初步预测2014年之后的某个阶段。 表1即为某市的GDP数据统计结果，采用回归分析的方法来处理数据，并建立一个关于GDP与实践序列间关系的F(y)模型，其数据处理结果散点图如下所示。从图中我们可以看出，GDP呈现明显的非平稳增长趋势，通过回归分析和数据处理作出一阶差分，可以看出散点图为二次函数形式，因此可得F(y)=ax2+bx+c，采用回归分析来处理年份可以得到回归统计结果见表2。由此可得回归方程为F(y)=，检验其规定系数可知R=，与1非常接近，由此可知，该回归方程与实际数据有很好的拟合度，可以采用该方程对未来的某个阶段进行预测。 一般来说，实际的GDP受多因素影响，其变化不稳定，因此预测值都会有一定的偏差，根据某市2013年实际GDP总值为亿元，与上述预测的理论误差为： w=()/×100%= 这一误差值较大程度的偏离了回归曲线，分析其原因可能是由于在建设模型的初始条件时消除的政府主观态度、人们的消费亿元以及汇率和进出口关税等部分影响因素有着一定的联系。由于2014年级之后的年份都还没有确切的数据，因此本文仅限于探讨对2013年的预测。就本次模型来说，虽然 没有从整体上来进行考虑和分析，但是其理论与实际的核实可以看出这次预测并不是没有任何依据的，具有可行性。 4 结 论 总的来说，数学统计学对于经济的预测和 总结 起着非常重要的作用，数学统计方法应用于经济学中，对各项经济指标预测与评估以及决策和改革都有着深刻的影响意义。本文选择某市为例来进行数学统计方法分析，在实际的经济预测中，数据的收集并不能仅仅局限于纵向，同时也要注重横向幅度的收集，对数据的收集要全面，筛选要科学，只有这样才能够使理论分析更加有依据，其结果也更加具有理论效应。经济学中数学统计方法的应用，有利于帮助其掌握数据内在的规律性和本质变化，提高数据分析的质量和经济预测的科学性、准确性。 猜你喜欢： 1. 大一经济学论文范文 2. 关于大学经济学论文范文 3. 大一微观经济学论文 4. 大一经济学论文 5. 大学经济数学论文

关于数值积分法的研究论文

微积分的基本思想及其在经济学中的应用

摘要： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。

关键词：微分   积分   基本思想   应用

微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

1. 微积分的产生、发展及其作用

微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献《晏能中.微积分——数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。

随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。

微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。

2. 微积分的基本思想———局部求近似、极限求精确

微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。

微分学的基本思想

微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。

积分学的基本思想

积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。

3.微分在经济学中的应用

随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书.本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性.

弹性分析

在文献《蔡芷.财会数学》中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。

4.积分在经济学中的应用

积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。

5.总结：

微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微积分的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微积分的知识有利于我们去解决各种相关的问题。

参考文献：

[1] 祁卫红，罗彩玲.微积分学的产生和发展[J].山西广播电视大学学报，2003，（02）. [2] 晏能中.微积分——数学发展的里程牌[J].达县师范高等专科学校学报，2002，（04）. [3] 同济大学数学教研室.高等数学（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1993. [4] [美]托·道林.数学在经济中的应用[M].福州：福建科学技术出版社，1983,4. [5] 蔡芷.财会数学[M].上海：知识出版社，1982,12.

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[16]Sandra Nicol(2006).Challenging Pre-serviceteachers’Mathematical Understanding:The case of Division by .

[]function ydot=DyDt(t,y)mu=2;ydot=[y(2);mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];（3）解算微分方程tspan=[0,30]; y0=[1;0]; [tt,yy]=ode45(@DyDt,tspan,y0); plot(tt,yy(:,1))xlabel('t'),title('x(t)') 图 微分方程解（4）plot(yy(:,1),yy(:,2)) xlabel('位移'),ylabel('速度')

要:常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题，实际生活中很多问题的数学模型都是微分方程。但在许多情况下，首先找到问题的解析解，然后再进行相关的计算往往非常困难，有时甚至是行不通的，基于此理由，我们可以避免求解析解而直接求相应的数值解。本论文就是对目前已有的常微分方程的数值方法进行研究，并大胆地提出一种新的数值方法——欧拉-牛顿法。 关键词：常微分方程 解析解 数值解 研究 新的数值方法 欧拉-牛顿法 0 引言 在生产实践和科学研究过程中，我们经常会遇到求解常微分方程的定解问题，虽然我们已经知道不少类型的常微分方程的解法。但工程技术人员在工程和科学研究中所关心的往往只是常微分方程的近似数值解，而非从事数学研究的技术人员所注重的“过程”。采用常规的人工推导、求解无疑是效率非常低下的，而且工程上的常微分方程往往结构非常复杂，要给出一般方程解的表达式也是非常困难的。实际上到目前为止，我们只能对有限的几种特殊类型的方程求精确解，这远不能满足工程需要，对那些不能用初等函数来表达的方程就只能去求其近似的数值解，而且这样还可以借助于运算速度快的计算机来进行辅助求解，大大提高求解的速度和精度。我们考虑一阶常微分方程初值问题在区间[a，b]上的解，其中f(x，y)为x，y的已知函数，y0为给定的初始值，将上述问题的精确解记为y(x)。数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n+1个节点,这里差hi=xi+1-xi，i=0，1，…，n称为由xi到xi+1的步长。这些hi可以不相等，但一般取成相等的，这时，在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分,泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化导致不同的方法。本文在对目前已有的常微分方程的数值方法进行深入研究的基础上，对改进的欧拉方法进行再次改进并提出一种新的数值方法（本文命名为欧拉-牛顿法），并能够以具体实例来验证方法的有效性和实用性。 1 欧拉—牛顿法 改进的欧拉方法的公式是 先研究求的近似值，其中是步长。对于递推格式 由此所确定的可以看成是下面关于的（非线性）函数 在y=yk-1附近的零点。虽然上面(2)式定义的F(y)还与k以及xk-1，xk,yk-1有关，但这个问题还可以在求数值解时予以考虑，对于理论分析来说则无需顾及。如果我们直接利用牛顿法求F(y)在y=yk-1附近的零点，当然可以利用yk-1作为z的初值z0，利用 由于zi-1到zi的区间很小，所以在每一个小区间内设已知方程F(z)=0有近似根zi-1，将函数F(z)在点zi-1展开，有 于是方程F(z)=0可近似地表示为： 这是个线性方程，记其根为zi，则有 从而得到欧拉—牛顿法的递推格式为： f(x，y)关于y的偏导数的绝对值通常特别大，由此可以得出 的值也特别大，再加之初始解yk-1已经很靠近F(y)的零点，所以采用牛顿法求F(y)在y=yk-1附近的零点实现了问题与方法之间的完美结合。事实上，在一般情况下利用(4)式迭代一次即可得到满意的结果。考虑到f(x，y)的凸凹性可能会对迭代格式(4)产生一定的影响，所以保险起见，也可以利用(4)式迭代两次，至少可以增强算法的稳定性。 例1．求解下述初值问题 上面(5)式的理论解为 表中符号说明：X[k]是x的值；Y[k]是对应每一个x的y精确值（理论值）；YX[k]是利用欧拉-牛顿法计算出的y近似值；E[k]是y精确值和近似值之间的误差。利用欧拉—牛顿法求解的计算结果的精度至少达到了小数点后13位，甚至有的达到了小数点后15位，表1中y精确值和计算值之间的误差E[k]的值非常的小，几乎达到了零值，即用欧拉—牛顿法得到的结果几乎达到了人们所企盼的结果，它很明显地优越于改进的欧拉方法，所以实例证明欧拉—牛顿法还是值得推广的。 2 总结 对于求一般的常微分方程初值问题的数值解来说，已经有很多的方法。在实际应用中，我们当然希望能够结合具体问题的特点，充分利用不同方法的差异，选择一种更为合适的方法，力争得到尽可能好的结果。对于求解实际问题来说，我们通常并不能立即得出所得到的结果到底有几位有效数字。虽然可以通过理论分析来估计误差，但这样做一是劳神费力，二是所得到的结果也未必靠的住，这中间不确定的因素太多。在现代计算机条件下，采用基于试验的方法一般比理论分析的结果更为直观，更为具体。在这个基础上再辅之以理论分析，结论当然更可靠一些。求解一阶常微分方程的新的数值求解方法（欧拉—牛顿法）是改进的欧拉方法和牛顿法的完美结合，从而为求解一阶常微分方程的数值解提供了方便，并且结果的精度也比较高。

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数值分析论文格式

数学应用是数学 教育 的重要内容，呼唤数学应用意识，提高数学应用教学质量，已成为广大数学教育工作者的共识。下面是我为大家推荐的数学建模论文，供大家参考。

数学建模论文 范文 一：建模在高等数学教学中的作用及其具体运用

一、高等数学教学的现状

(一) 教学观念陈旧化

就当前高等数学的教育教学而言，高数老师对学生的计算能力、思考能力以及 逻辑思维 能力过于重视，一切以课本为基础开展教学活动。作为一门充满活力并让人感到新奇的学科，由于教育观念和思想的落后，课堂教学之中没有穿插应用实例，在工作的时候学生不知道怎样把问题解决，工作效率无法进一步提升，不仅如此，陈旧的教学理念和思想让学生渐渐的失去学习的兴趣和动力。

(二) 教学 方法 传统化

教学方法的优秀与否在学生学习的过程中发挥着重要的作用，也直接影响着学生的学习成绩。一般高数老师在授课的时候都是以课本的顺次进行，也就意味着老师“由定义到定理”、“由习题到练习”，这种默守陈规的教学方式无法为学生营造活跃的学习氛围，让学生独自学习、思考的能力进一步下降。这就要求教师致力于和谐课堂氛围营造以及使用新颖的教育教学方法，让学生在课堂中主动参与学习。

二、建模在高等数学教学中的作用

对学生的 想象力 、观察力、发现、分析并解决问题的能力进行培养的过程中，数学建模发挥着重要的作用。最近几年，国内出现很多以数学建模为主体的赛事活动以及教研活动，其在学生学习兴趣的提升、激发学生主动学习的积极性上扮演着重要的角色，发挥着突出的作用，在高等数学教学中引入数学建模还能培养学生不畏困难的品质，培养踏实的工作精神，在协调学生学习的知识、实际应用能力等上有突出的作用。虽然国内高等院校大都开设了数学建模选修课或者培训班，但是由于课程的要求和学生的认知水平差异较大，所以课程无法普及为大众化的教育。如今，高等院校都在积极的寻找一种载体，对学生的整体素质进行培养，提升学生的创新精神以及创造力，让学生满足社会对复合型人才的需求，而最好的载体则是高等数学。

高等数学作为工科类学生的一门基础课，由于其必修课的性质，把数学建模引入高等数学课堂中具有较广的影响力。把数学建模思想渗入高等数学教学中，不仅能让数学知识的本来面貌得以还原，更让学生在日常中应用数学知识的能力得到很好的培养。数学建模要求学生在简化、抽象、翻译部分现实世界信息的过程中使用数学的语言以及工具，把内在的联系使用图形、表格等方式表现出来，以便于提升学生的表达能力。在实际的学习数学建模之后，需要检验现实的信息，确定最后的结果是否正确，通过这一过程中的锻炼，学生在分析问题的过程中可以主动地、客观的辩证的运用数学方法，最终得出解决问题的最好方法。因此，在高等数学教学中引入数学建模思想具有重要的意义。

三、将建模思想应用在高等数学教学中的具体 措施

(一) 在公式中使用建模思想

在高数教材中占有重要位置的是公式，也是要求学生必须掌握的内容之一。为了让教师的教学效果进一步提升，在课堂上老师不仅要让学生对计算的技巧进一步提升之余，还要和建模思想结合在一起，让解题难度更容易，还让课堂氛围更活跃。为了让学生对公式中使用建模思想理解的更透彻，老师还应该结合实例开展教学。

(二) 讲解习题的时候使用数学模型的方式

课本例题使用建模思想进行解决，老师通过对例题的讲解，很好的讲述使用数学建模解决问题的方式，让学生清醒的认识在解决问题的过程中怎样使用数学建模。完成每章学习的内容之后，充分的利用时间为学生解疑答惑，以学生所学的专业情况和学生水平的高低选择合适的例题，完成建模、解决问题的全部过程，提升学生解决问题的效率。

(三) 组织学生积极参加数学建模竞赛

一般而言，在竞赛中可以很好地锻炼学生竞争意识以及独立思考的能力。这就要求学校充分的利用资源并广泛的宣传，让学生积极的参加竞赛，在实践中锻炼学生的实际能力。在日常生活中使用数学建模解决问题，让学生独自思考，然后在竞争的过程中意识到自己的不足，今后也会努力学习，改正错误，提升自身的能力。

四、结束语

高等数学主要对学生从理论学习走向解决实际问题的能力进行培养，在高等数学中应用建模思想，促使学生对高数知识更充分的理解，学习的难度进一步降低，提升应用能力和探索能力。当前，在高等教学过程中引入建模思想还存在一定的不足，需要高校高等数学老师进行深入的研究和探索的同时也需要学生很好的配合，以便于今后的教学中进一步提升教学的质量。

参考文献

[1] 谢凤艳，杨永艳. 高等数学教学中融入数学建模思想[J]. 齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2014 ( 02) : 119 -120.

[2] 李薇. 在高等数学教学中融入数学建模思想的探索与实践[J]. 教育实践与改革，2012 ( 04) : 177 -178，189.

[3] 杨四香. 浅析高等数学教学中数学建模思想的渗透 [J].长春教育学院学报，2014 ( 30) : 89，95.

[4] 刘合财. 在高等数学教学中融入数学建模思想 [J]. 贵阳学院学报，2013 ( 03) : 63 -65.

数学建模论文范文二：数学建模教学中数学素养和创新意识的培养

前言

创新人才的培养是新的时代对高等教育提出的新要求.培养高质量、高层次人才不仅需要传统意义上的逻辑思维能力、推理演算能力，更需要具备对所涉及的专业问题建立数学模型，进行数学实验，利用先进的计算工具、数学软件进行数值求解和做出定量分析的能力.

因此，如何培养学生的求知欲，如何培养学生的学习积极性，如何培养学生的创新意识和创新能力已成为高等教育迫切需要解决的问题[1].

在数学教学中，传统的数学教学往往注重知识的传授、公式的推导、定理的证明以及应用能力的培养.尽管这种模式并非一无是处，甚至有时还相当成功，但它不能有效地激发广大学生的求知欲，不能有效地培养学生的学习积极性，不能有效地培养学生的创新意识和创新能力.

而如何培养学生的创新意识和创新能力，既没有现成的模式可循，也没有既定的方法可套用，只能靠广大教师不断探索和实践.

近年来，国内几乎所有大学都相继开设了数学建模和数学实验课，在人才培养和学科竞赛上都取得了显着的成效.数学建模是指对特定的现象，为了某一目的作一些必要的简化和假设，运用适当的数学理论得到的一个数学结构，这个数学结构即为数学模型，建立这个数学模型的过程即为数学建模[2].

所谓数学教学中的数学实验，就是从给定的实际问题出发，借助计算机和数学软件，让学生在数字化的实验中去学习和探索，并通过自己设计和动手，去体验问题解决的教学活动过程.数学实验是数学建模的延伸，是数学学科知识在计算机上的实现，从而使高度抽象的数学理论成为生动具体的可视性过程.

因此，数学实验就是一个以学生为主体，以实际问题为载体，以计算机为媒体，以数学软件为工具，以数学建模为过程，以优化数学模型为目标的数学教学活动过程[3-7].

因此，如何把实际问题与所学的数学知识联系起来;如何根据实际问题提炼数学模型;建模的方法和技巧;数学模型所涉及到的各类算法以及这些算法在相应数学软件平台上的实现等问题就成了我们研究的重点.现结合教学实践，谈谈笔者在数学建模和数学实验课的教学中 总结 的几点看法.

1掌握数学语言独有的特点和表达形式

准确使用数学语言模拟现实模型数学语言是表达数学思想的专门语言，它是自然语言发展到高级状态时的特殊形式，是人类基于思维、认知的特殊需要，按照公有思维、认知法则而制造出来的语言及其体系，给人们提供一套完整的并不断精细、完善、完美的思维和认知程序、规则、方法.

用数学语言进行交流和良好的符号意识是重要的数学素质.数学建模教学是以训练学生的思维为核心，而语言和思维又是密不可分的.能否成功地进行数学交流，不仅涉及一个人的数学能力，而且也涉及到一个人的思路是否开阔，头脑是否开放，是否尊重并且愿意考虑各方面的不同意见，是否乐于接受新的思想感情观念和新的行为方式.数学建模是利用数学语言模拟现实的模型，把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征.

现实问题要通过数学方法获得解决，首先必须将其中的非数学语言数学化，摒弃其中表面的具体叙述，抽象出其中的数学本质，形成数学模型.通过分析现实中的数学现象，对常见的数学现象进行数学语言描述，从而将现实问题转化为数学问题来解决.

2借助数学建模教学使学生学会使用数学语言构建数学模型

根据现阶段普通高校学生年龄特点和知识结构，我们可以通过数学建模对学生加强数学语言能力的培养，让他们熟练掌握数学语言，以期提升学生的形象思维、 抽象思维 、逻辑推理和表达能力，提高学生的数学素质和数学能力.在数学建模教学过程中，教师要力求做到用词准确，叙述精炼，前后连贯，逻辑性强.在问题的重述和分析中揭示数学语言的严谨性;在数学符号说明和模型的建立求解中揭示数学语言的简约性，彰显数学语言的逻辑性、精确性和情境性，突出数学符号语言含义的深刻性;在模型的分析和结果的罗列中，显示图表语言的直观性，展示数学语言的确定意义、语义和语法;在模型的应用和推广中，显示出数学符号语言的推动力的独特魅力.

而在学生的书面作业或论文 报告 中，注意培养学生数学语言表达的规范性.书面表达是数学语言表达能力的一种重要形式.通过教师数学建模教学表述规范的样板和学生严格的书面表达的长期训练来完成.在书面表达上，主要应做到思维清晰、叙述简洁、书写规范.例如在建立模型和求解上，严格要求学生在模型的假设，符号说明、模型的建立和求解，图形的绘制、变量的限制范围、模型的分析与推广方面，做到严谨规范.

对学生在利用建模解决问题时使用符号语言的不准确、不规范、不简洁等方面要及时纠正.

3借助数学实验教学，展示高度抽象

的数学理论成为具体的可视性过程要培养创新人才，上好数学实验课，首先要有创新型的教师，建立起一支"懂实验""会试验""能创新"的教师队伍.由于数学实验课理论联系实际，特点鲜明，内容新颖，方法特别，所以能够上好数学实验课，教师就必须具备扎实的数学理论功底，计算机软件应用操作能力，良好的科研素质与科研能力.

因此，数学与统计学院就需要选取部分教师，主攻数学建模、数学实验、数值分析课程.优先选派数学实验教师定期出去进修深造提高，以便真正形成一支"懂实验""会实验""能创新"的教师队伍.实验课的地位要给予应有的重视.我院现存的一个重要表现就是实验设备不足，实验室开放时间不够.为了确保数学实验有物质条件上的保证，必须建立数学实验与数学建模实验室.

配备足够的高性能计算机，全天候对学生开放，尽快尽早淘汰陈旧的计算机设备.精心设计实验内容，强化典型实验，培养宽厚扎实理论水平;精选实验内容，加强学生之间的互动，培养协作意识和团队精神.在实验教学时数有限的情况下，依据培养目标和教学纲要，对教材中的实验内容进行选择、设计.要最大限度地开发学生的创造性思维，数学实验在项目设计过程中应当遵循适应性、趣味性、灵活性、科学性、渐进性和应用性的基本原则.

选择基础性试验，重点培养宽厚扎实的理论水平，提高对数学理论与方法的深刻理解.熟练各种数学软件的应用与开发，提高计算机应用能力，增强实践应用技能;增加综合性实验和设计性实验，从实际问题出发，培养学生分析问题，解决问题的能力，强化 创新思维 的开发.

教学方法上实行启发参与式教学法：启发-参与-诱导-提高.充分发挥学生主体作用，以学生亲自动脑动手为主.

教师先提出问题，对实验内容，实验目标，进行必要的启发;然后充分发挥学生主体作用，学生动手操作，每个命令、语句学生都要在计算机上操作得到验证;根据学生出现的情况，老师总结学生出现的问题，进行进一步的诱导;再让其理清思路，再次动手实践，从理论与实践的结合上获得能力上提高.数学实验是一门强调实践、强调应用的课程.

数学实验将数学知识、数学建模与计算机应用三者融为一体，可以使学生深入理解数学的基本概念和理论，掌握数值计算方法，培养学生运用所学知识使用计算机解决实际问题的能力，是一门实践性很强的课程.在这一教学活动中，通过数学软件如MAT-LAB、Mathematica、SPSS的教学和综合数学实验，如碎片拼接、罪犯藏匿地点的查找、光伏电池的连接、野外漂流管理、水资源的有效利用、葡萄酒的分类等，通这些实际问题最终的数学化的解决，将高度抽象的数学理论呈现为生动具体的可视性结论，展示数学模型与计算机技术相结合的高度抽象的数学理论成为生动具体的可视性过程.

4突出学生的主体作用，循序渐进培养学生学习、实践到创新

实践教学的目的是要提高学生应用所学知识分析、解决实际问题的综合能力.

在教学中，搭建数学建模与数学实验这个平台，提示学生用计算机解决经过简化的问题，或自己提出实验问题，设计实验步骤，观察实验结果，尤其是将庞大繁杂的数学计算交给计算机完成，摆脱过去害怕数学计算、画函数图像、解方程等任务，避免学生一见到庞大的数学计算公式就会产生畏惧心理，从而丧失信心，让学生体会到在数学面前自己由弱者变成了强者，由失败者变成了胜利者、成功者.

再设计让学生自己动手去解决的各类实际问题，使学生通过对实际问题的仔细分析、作出合理假设、建立模型、求解模型及对结果进行分析、检验、总结等，解决实际问题，逐步培养学生熟练使用计算机和数学软件的能力以及运用数学知识解决实际问题的意识和能力.

同时，给学生提供大量的上机实践的机会，提高学生应用数学软件的能力.一个实际问题构成一个实验内容，通过实践环节加大训练力度，并要求学生通过计算机编程求解、编写实验报告等形式，达到提高学生解决实际问题综合能力的目标.数学建模与数学实验课程通过实际问题---方法与分析---范例---软件---实验---综合练习的教学过程，以实际问题为载体，以大学基本数学知识为基础，采用自学、讲解、讨论、试验、文献阅读等方式，在教师的逐步指导下，学习基本的建模与计算方法.

通过学习查阅文献资料、用所学的数学知识和计算机技术，借助适当的数学软件，学会用数学知识去解决实际问题的一些基本技巧与方法.通过实验过程的学习，加深学生对数学的了解，使同学们应用数学方法的能力和发散性思维的能力得到进一步的培养.实践已证明，数学建模与数学实验课这门课深受学生欢迎，它的教学无论对培养创新型人才还是应用型人才都能发挥其他课程无法替代的作用.

5具体的教学策略和途径

数学建模课程和数学实验课程同时开设，在课程教学中，要尽可能做到如下几个方面：

1)注重背景的阐述

让学生了解问题背景，才能知道解决实际问题需要哪些知识，才能做出贴近实际的假设，而这恰恰是建立一个能够解决实际问题的数学模型的前提.再者，问题背景越是清晰，越能够体现问题的重要性，这样才能激发学生解决实际问题的兴趣.

2)注重模型建立与求解过程中的数学语言的使用

在做好实际问题的简化后，使用精炼的数学符号表示现实含义是数学语言使用的彰显.基于必要的背景知识，建立符合现实的数学模型，通过多个方面对模型进行修正，向学生展示不同的条件相对应的数学模型对于现实问题的解决.在模型的求解上，严格要求学生在模型的假设，符号说明、图形的绘制、变量的限制范围、模型的分析与推广方面，做到严谨规范.对学生在利用建模解决问题时使用符号语言的不准确、不规范、不简洁等方面及时纠正.

3)注重经典算法的数学软件的实现和改进

由于实际问题的特殊性导致数学模型没有固定的模式，这就要求既要熟练掌握一般数学软件和算法的实现，又要善于改进和总结，使得现有的算法和程序能够通过修正来解决实际问题，这对于学生能力的培养不可或缺.只有不断的学习和总结，才有数学素养的培养和创新能力的提高.

参考文献：

[1]叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融人高等数学课的教学中去[J].工程数学学报，2003,(8)：1-11.

[2]颜荣芳，张贵仓，李永祥.现代信息技术支持的数学建模创新教育[J].电化教育研究，2009,(3)。

[3]郑毓信.数学方法论的理论与实践[M].广西教育出版社，2009.

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[5]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].第3版.北京：高等教育出版社，2002.

[6]周家全，陈功平.论数学建模教学活动与数学素质的培养[J].中山大学学报，2002,(4)：79-80.

[7]付桐林.数学建模教学与创新能力培养[J].教育导刊，2010,(08):89-90.

一、正确的论文格式：论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定要有正确的格式，就拿摘要来说吧，它要包括6 要素（问题,方法,模型,算法,结论,特色），它是一篇论文的概括，摘要的好坏将决定你的论文是否吸引评委的目光，但听阅卷老师说，这次有些论文的摘要里出现了大量的图表和程序，这都是不符合论文格式的，这种论文也不会取得好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。二、论文的写作：我个人认为论文的写作是至关重要的，其实大家最后的模型和结果都差不多，为什么有些队可以送全国，有些队可以拿省奖，而有些队却什么都拿不到，这关键在于论文的写作上面。一篇好的论文首先读上去便使人感到逻辑清晰，有条例性，能打动评委；其次，论文在语言上的表述也很重要，要注意用词的准确性；另外，一篇好的论文应有闪光点，有自己的特色，有自己的想法和思考在里面，总之，论文写作的好坏将直接影响到成绩的优劣。三、算法的设计：算法的设计的好坏将直接影响运算速度的快慢，建议大家多用数学软件（Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等），这里提供十种数学建模常用算法，仅供参考：1、 蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）

数值分析计算方法毕业论文

《数值计算方法》是作者丁丽娟、程杞元团队根据数值计算方法课程的基本要求,在多年的教学实践和原有教材基础上编写而成的,包含了数值代数、数值逼近和常微分方程数值解法的基本内容。力求全面、系统地介绍求解各类数学问题近似解的基本、常用的方法,并且着重阐明构造算法的基本思想与原理。

数值分析的目的是设计及分析一些计算的方式，可针对一些问题得到近似但够精确的结果。以下是一些会用利用数值分析处理的问题：数值天气预报中会用到许多先进的数值分析方。计算太空船的轨迹需要求出常微分方程的数值解。

汽车公司会利用电脑模拟汽车撞击来提升汽车受到撞击时的安全性。电脑的模拟会需要求出偏微分方程的数值解。对冲基金会利用各种数值分析的工具来计算股票的市值及其变异程度。航空公司会利用复杂的最佳化算法决定票价、飞机、人员分配及用油量。此领域也称为作业研究。保险公司会利用数值软件进行精算分析。计算太空船的轨迹需要求出常微分方程的数值解。

随着科技负效应的显现,工程伦理越来越受的人们的重视。化学工程有着与其他工程不同的特点。下面是我为大家整理的化学工程应用 毕业 论文，供大家参考。

《 化学工程中计算流体力学应用分析 》

摘要：计算流体力学是以多种计算方程为基础，在多种化学反应设备中进行能量、质量和动量的综合计算，分析出不同守恒定律中，这些变量的主控形式和变化规律，从而优化工程设计和工艺设备，提高化学反应中正向变化的进行，提高热量交换和原材料的反应速率等。从化学工程经济效益的角度分析，有利于工程成本的节约，提升了经济回报。 文章 计算流体力学的基本原理进行分析，并 总结 了其砸你化学工程中搅拌、热交换、精馏塔和化学反应工程的具体应用。

关键词：计算流体力学;求解;基本原理;化学工程;应用

化学工程在我国具有较长的研究与应用历程，并在实际的生产与生活中取得到巨大的应用成效，不仅能够供给正常的生活需求，同时根据新材料的开发，能够满足现代型环保材料的使用。在化学工程中，较多的反映环境和反应机制都是在溶液中进行的，具有质量守恒和热量守恒定律的应用。而这种质量与能量的关系正是计算流体力学的主要原理。通过对实际应用环境和原理的分析，能够优化工程设计和工艺改进，提高化学工程的生产效率。

1计算流体力学在化学工程中的基本原理

计算流体力学简称CFD，是通过数值计算 方法 来求解化工中几何形状空间内的动量、热量、质量方程等流动主控方程，从而发现化工领域中各种流体的流动现象和规律，其主要以化学方程式中的动量守恒定律、能量守恒定律及质量守恒方程为基础。一般情况下，计算流体力学的数值计算方法主要包括数值差分法、数值有限元法及数值有限体积法，其也是一门多门学科交叉的科目，计算流体力学不仅要掌握流体力学的知识，也要掌握计算几何学和数值分析等学科知识，其涉及面广。

针对计算流体力学的真实模拟，其主要目的是对流体流动进行预测，以获得流体流动的信息，从而有效控制化工领域中的流体流动。随着信息技术的发展，市场上也出现了计算流体力学软件，其具有对流场进行分析、计算、预测的功能，计算流体力学软件操作简单，界面直观形象，有利于化学工程师对流体进行准确的计算。

2计算流体力学砸你化学工程中的实际应用

在搅拌中的应用分析

在搅拌的化学反应中，反映介质之间的流动性比较复杂，依据传统的计算形式根本无法解决，并在化学试剂在搅拌中存在不均匀扩散的特点，在湍流的形式中能量的分布状况也存在着空间特点。若是依据实验手段测得反映中物质、能量和质量的变化规律，其得出的结构往往存在较差时效性，实验差加大。

通过对二维计算流体力学的应用，能够对搅拌中流体的形式进行模拟，并进行质量、能量等数据的验证。但是流体的变化，不仅与化学试剂的浓度、减半速度有关，还与时间、容器的形状等有着之间的联系，需要建立三维空间模拟形式进行计算流行力学。随着科学技术和研究水平的提高，在通过借助多普勒激光测速仪后，已经对三维计算形式有了较大的突破，这对于化工工程中原料的有效应用和工程成本的减低具有促进的作用，但是在三维计算流体力学中还存在一定的缺陷，需要在今后的研究中不断的完善。

在化学工程换热器中的应用分析

换热器是化学工程中主要的应用设备，通过管式等换热器、板式换热器、冷却塔和再沸器等的应用，能够有效的控制化学试剂在反应中的温度变化。其中根据换热器的形式不同，计算流体力学的方式也就不同。在管式换热器中主要是通过流体湍流速度的改变，增加换热速率的。在板式换热器中是通过加大流体的接触面积，提高换热效率的。而在冷却塔和再沸器中，热量交换的形式更为复杂，但是却群在重复性换热的特点，增加了换热的时间，提高了换热的效果。从总体上分析，计算流量力学中，需要对温度变化、流体的速度变化、热交换面积变化和时间变化进行分析。通过CFD计算流体力学的应用，能够计算出不同设备的热交换效果，并根据生产的实际需求进行换热器的选择使用。

在精馏塔中的应用

CFD已成为研究精馏塔内气液两相流动和传质的重要工具,通过CFD模拟可获得塔内气液两相微观的流动状况。在板式塔板上的气液传质方面,Vi-tankar等应用低雷诺数的k-ε模型对鼓泡塔反应器的持液量和速度分布进行了模拟,在塔气相负荷、塔径、塔高和气液系统的参数大范围变化的情况下,模拟结果和现实的数据能够较好的吻合。

Vivek等以欧拉-欧拉方法为基础,充分考虑了塔壁对塔内流体的影响,用CFD商用软件FLUENT模拟计算了矩形鼓泡塔内气液相的分散性能,以及气泡数量、大小和气相速度之间的关系,取得了很好的效果。在填料塔方面,Petre等建立了一种用塔内典型微型单元(REU)的流体力学性质来预测整塔的流体力学性质的方法,对每一个单元用FLUENT进行了模拟计算,发现塔内的主要能量损失来自于填料内的流体喷溅和流体与塔壁之间的碰撞,且用此方法预测了整塔的压降。

Larachi等发现流体在REU的能量损失(包括流体在填料层与层之间碰撞、与填料壁的碰撞引起的能量损失等)以及流体返混现象是影响填料效率的主要因素,而它们都和填料的几何性质相关,因此用CFD模拟计算了单相流在几种形状不同的填料中流动产生的压降,为改进填料提供了理论依据。CFD模拟精馏塔内流体流动也存在一些不足,如CFD模拟规整填料塔内流体流动的结果与实验值还有一定的偏差。这是由于对于许多问题所应用的数学模型还不够精确,还需要加强流体力学的理论分析和实验研究。

在化学反应工程中的应用研究

在化学反应工程中，反应物和生成物的化学反应速率与反应器、温度和压力等有着较大的联系，在实际的反应中可以利用计算流体力学进行数据的获取。但是这数据的获取具有一定的温度限制，当反应中温度过大，就会造成分子的剧烈运动，其运动轨迹的变化规律就会异常，在利用计算流体力学的模型计算中，计算数据与实际情况会发生较大的偏差。由于高温中分子的运动轨迹和运动速度难以获取，在计算流体力学的实际计算中，就要借助FLUENT进行三维建型，并利用测速反应器进行速度的测量，通过综合的比较分析，利用限元法进行数据的计算。可以得出不同环境下的反应器的流线、反应器内部的浓度梯度及温度梯度。通过CFD软件预测反应器的速度、温度及压力场，可以更进一步理解化学反应工程中的聚合过程，详细、准确的数据可以优化化学反应中的操作参数。

3结束语

计算流体力学对于化学工程的应用具有实际意义，并在经济效益的提高上具有重要的价值，在近几年，化学工程技术人员不断的计算流体力学中展开研究，以二维空间计算和模拟为基础，不断的完善三维空间的流量计算，并得出了一系列的流体流动规律。根据计算流体力学在化学工程中的广泛应用，在今后的化学工程发展中，应加强此类学科的教学与延伸，提供出更有效的反应设备和工艺操作。

参考文献

[1]余金伟,冯晓锋.计算流体力学发展综述[J].现代制造技术与装备,2013(06).

[2]舒长青,王友欣.计算流体力学在化学工程中的应用[J].化工管理,2014(06).

《 能源化学工程专业化工热力学教学思考 》

[摘要]《化工热力学》是能源化学工程专业一门理论性和逻辑性较强的专业基础课，文章阐述了作者在《化工热力学》课程教学过程中如何提高学生对学习本课程兴趣的教学实践和教学体会。通过明确教学内容和教学主线，改变传统的单一的课堂教学，将课堂教学与学科动态及工程实践密切结合，激发学生学习兴趣，培养学生自主学习能力和工程意识，以满足培养能源化学工程领域领军人物的要求。

[关键词]化工热力学;能源化学工程;教学实践;教学体会

化工热力学是化工类学生的专业必修课程之一，主要讲述热力学定律在化学工程领域的应用，包括化工过程中各种形式的能量之间相互转换规律及过程趋近平衡的极限条件等。它是培养学生分析和解决实际化工问题思维方法的重要专业理论基础课[1-3]。然而该课程的课程内容抽象、计算繁琐，学生感到非常难学又缺乏实际应用，在课程学习过程中学生产生恐惧和厌学心理，达不到良好的教学效果，因此，我们对该课程的教学内容和 教学方法 进行一些改革和尝试，希望激发学生学习的兴趣，进而更好地掌握这门课程，为后续专业课程的学习夯实基础。

武汉大学2013年新开设的能源化学工程专业是由1958年原武汉水利电力学院开办的“电厂化学”专业发展而来，主要面向电力行业及高效洁净能源领域(包括超临界火电、核电、生物质能、氢能、新型化学电源等)，培养掌握化学与化工基础理论及能源化学专业知识和技能的未来行业发展的领军人物。

目前，本专业主要有水处理、材料腐蚀与防护、化学监督与控制、能源化学四个主要研究方向。为了适应学校对新专业发展和一流学科建设的要求，2015年在本专业大三学生中新增设了《化工热力学》这门化工类专业的专业基础课程。如何调动学生的课堂积极性，培养学生的创新能力，夯实学生的专业基础，使他们在54学时的学习过程中理解并掌握本门课程的基本概念，并且将抽象的理论与实际的能源化学过程联系起来是本课程的核心教学任务。本文结合我校能源化学工程专业的培养目标，浅谈《化工热力学》的教学体会，着重对教学方式进行了探索和实践，为培养能源化学工程领域的领军人物奠定基础。

1明确教学内容与课程主线

结合我校《化工热力学》课程以工程应用为中心、专业研究方向覆盖面广等特点，我们选用了朱自强等编著、化学工业出版社出版的《化工热力学》作为教材[4]，同时，也鼓励学生使用部分参考教材(《化工热力学》，冯新等编，2008;《化工热力学(第二版)》，陈钟秀等编，2000;《化工热力学导论(原著第七版)》，.史密斯等编，刘洪来等译，2007)[5-7]。化工热力学发展时间较长，已形成较完整的知识体系，如何在54学时内有效地把关键知识点教授给学生是本课程教学实践的关键。

由于本专业学生在大二《物理化学》课程中已经系统学习了理想气体相关的状态方程及其应用，因此在本课程教学中不再赘述，而是重点介绍工程实际应用较多的二参数状态方程、化工热力学分析、溶液热力学、流体相平衡和化学反应平衡等。在教学实践中，首先，详细分析《化工热力学》教材结构，围绕主线内容合理编排知识点;其次，建立好各知识点之间的逻辑关系，让学生在大脑中建立化工热力学框架图;最后，根据能源化学工程专业的需要，适当删减补充了教材内容，结合学科动态，增强化工热力学的应用能力，如燃料电池开路电压的计算、水/二氧化碳共电解制合成气过程中气体组成的计算等。

2改变单一课堂教学模式，培养学生自主学习能力

化工热力学课程设计的公式多而繁杂，学生在开始学习阶段容易产生恐惧厌学心理，传统的单一课堂教学模式具有“教师主导学生学习”的特点，与本课程“教师引导学生学习”的教学目的存在较大偏差。因此，应改变传统单一课堂讲授模式，充分采用“启发式”和“参与式”相结合的教学方法。

首先，教师在 课前预习 阶段设疑(提出问题)，促使学生思考，复习旧知识，预习新知识;其次，教师在教学实践过程中采用多媒体和板书相结合的教学方式解疑(解决问题)，并通过对例题和习题的讲解加深学生对化工热力学原理、方法和应用的理解，同时，教学过程中应避免陷于抽象的说教和枯燥的公式推导之中，重点讲述化工热力学知识点的应用条件和物理意义;最后，课堂教学结束后，教师主动与学生面对面交流答疑(探讨问题)，并设置思考题让学生查阅相关资料。通过“设疑—解疑—答疑”的渐进式教学方法达到对关键知识点举一反三的目的，同时，吸引学生注意力，培养学生自主学习能力，提高学生学习的积极性和主动性。

3课堂教学与工程实践密切结合，培养学生初步的工程观点

化工热力学由于理论性较强、基本概念多且抽象，而且本科生在学习过程中接触科研课题及工程实践的机会较少，将课堂教学内容与科研课题及工程实践紧密结合起来，建立“以应用为中心”、“探究式”的特色教学模式，紧密联系我校在能源化学工程领域(特别是超临界火电、核电、生物质能、氢能、新型化学电源等方面)开发利用的化学工程实际问题，把学科前沿领域的科研成果带入课堂，可以使他们强化科研思想、激发听课兴趣、培养创新能力;同时，可以让学生获取利用化工热力学基本原理解决工程实际问题提供思路和方法，培养学生初步的工程观点。

4考核方式方法研究

传统的期末一张考卷为准的考试方式不利于学生能力的培养，也不能全面地体现学生对所学知识的掌握程度，为了更加系统全面地评价学生对课程内容的认识情况，我们对课程的考核方式方法进行了改革探索。目前，课程成绩总评包括平时成绩和期末成绩两部分，其中平时成绩包括学生的课堂综合表现、课程预习、作业三个部分，各占10%;期末考试采用开卷方式考试，考试的题目偏重于对知识点的理解和其在能源化学过程中的应用。然而由于该课程的课程内容抽象、计算繁琐，教学过程中发现仍有部分学生存在畏惧厌学心理，因此，在今后的教学实践中应考虑进一步激发学生的学习兴趣，增强学生的主观能动性，在课堂教学中引入分组讨论，开展导向性的专题研究，将课程内容与能源化学过程(特别是学科动态)相结合，培养学生查阅资料和分工协作的能力，为学生下一步学习专业课程夯实基础。

5结束语

在《化工热力学》课程的教学实践和尝试中，首先要明确教学内容与主线，打破单一的学生被动听讲的模式，理论联系实际应用，调动学生学习的积极性和主动性，激发学生对教学内容的兴趣，并且在教学的过程中对教学方法进行改革创新，因材施教，为学生下一步学习更专业的能源化学工程知识和从事新能源行业工作奠定扎实的基础。

参考文献

[1]陆小华，冯新，吉远辉，等.迎接化工热力学的第二个春天[J].化工高等 教育 ，2008，3：19-21.

[2]梁浩，刘惠茹，王春花.《化工热力学》教学实践与尝试[J].广东化工，2010，37(1)：157-158.

[3]李兴扬，唐定兴，沈凤翠，等.化工热力学教学改革与体验[J].化工高等教育，2011，3：71-73.

[4]朱自强，吴有庭.化工热力学(第三版)[M].北京：化学工业出版社，2009.

[5]冯新，宣爱国，周彩荣，等.化工热力学[M].北京：化学工业出版社，2008.

[6]陈钟秀，顾飞燕，胡望明.化工热力学(第二版)[M].北京：化学工业出版社，2000.

[7]史密斯JM，范内斯HC，阿博特MM，等编;刘洪来，陆小华，陈新志，等译.化工热力学导论(原著第七版)(IntroductiontoChemicalEngineeringThermodynamics，SevenEdition).北京：化学工业出版社，2007.

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