几类张量乘积的介绍*
1 研究背景
张量在物理方面有很多应用,如相对论,流体力学,动力学,电磁学等,当时被应用的张量是被看作为物理量的.1916年爱因斯坦提出了具有划时代意义的广义相对论,这才使得其中被应用的张量得以重视,而张量分析在理论物理、力学等学科研究中的地位得以上升,使其成为一种重要的研究工具.直到19世纪,张量才作为数学名词被提出,是Gauss、Riemann、Christoffel等人将其应用在微分几何中.到了20世纪初,张量分解才被确定为一个新的数学分支,是由Ricci、Levi-Civita等人发展并确定的.1927年,Hitchcock对高阶张量进行了秩-1分解研究[1],这引起了一些学者的兴趣.Tucker在1966年将三阶张量作为主要研究对象,对其秩-1分解进行了系统研究[2].进一步地,Harshman在1970年重新定义了张量秩-1分解为PARAFAC分解,并作出其他成果,将张量应用在统计学中的多因子分析模型及其模型的求解中[3].21世纪以来,人们开始关注张量的自身结构.一些特殊张量如Hankel张量、Cauchy张量、Hilbert张量、B-张量、M-张量等[4-9],引起了人们浓厚的兴趣并开始对其进行研究.张量最优化是最优化方法的一个研究分支,也可以说是应用数学的一个新兴的分支.这个分支不是简单地从原有的研究领域派生出来的,它是集合了一些应用学科领域中的数学问题和方法、一些原有最优化领域研究分支的自然推广,以及和一些相关学科领域的逐渐渗透、交叉形成的.可以说这是一个正在形成中的学科方向.目前张量最优化包括的研究方向主要是指:张量分解、张量的低秩逼近、张量低秩恢复、张量特征值问题及主要是齐次多元多项式作为目标和约束的优化问题.这些研究涉及的理论、算法、应用研究都可以认为是张量最优化研究的范围.张量最优化这个词实际上只是近几年才开始被优化界命名认可并逐渐确定其研究范围的,其中的问题有些已经被研究很多年了.
其中张量运算中最重要的“乘法”已有多种定义,该文主要介绍其中几个较为典型的张量乘积定义.
2 张量的基本理论
一个张量是一个有方向(或维度)的数组,通过它的维度即它的每个下标索引来找到相应位置的张量元素,而其每个元素本身就是一个数.显然,一个0阶张量就可以看成是任意复数.一个一阶张量就是一个任意维的向量,且其有不变量为其长度,称为向量的模,记n维实向量空间为Rn;而二阶张量就等同于一个复矩阵,将矩阵的特征值(或奇异值)看成为它的不变量.定义一个集合,它是由所有从一个m维实向量空间V到一个n维实向量空间U的全体线性变换构成的,在代数学上这个集合就同构于所有实矩阵构成的线性空间,记为Rm×n. 类似的, 一个4阶张量A∈Rn1×n2×n3×n4可视为从Rn1×n2到Rn3×n4的线性变换(ni为任意正整数).则一个大于等于三阶的张量,可以把它看为超矩阵,则由其构成的空间可等价看成为由两个低阶线性空间之间的所有线性变换构成的.
一般,记一个大小I1×I2×…×Im的m阶张量A为
A=Ai1…im∈RI1×…×Im
(1)
其中,ir∈Ir,r∈{1,2,…,m}.当m>2时,称张量A为一个高阶张量(或超矩阵).特别地,当I1=I2=…=Im=n,则称A为m阶n维张量(m阶超立方体),且把由所有m阶n维实张量构成的集合记为Tm;n.当固定A的第k个下标ik=i后,得到的m-1阶张量,把它称为A的第k个切片(Ai(k)).注意(1)式中A在k-方向的第Ik个切片.
(1) (A+)++=A
定义1[10] 对于复数域上m阶n维张量A=(ai1i2…im),若存在λ∈C和非零向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn,使得
我们再采取CNKI高级搜索——作者“许钧”、主题词“翻译”全部检索结果的条形数据分布图来讨论一下许钧翻译研究的主题分布状况。我们此处主要讨论许钧的翻译研究成果,所以无关话题不计入讨论。如图3所示,有关翻译活动研究文献量共16篇,翻译理论10篇,后面几种“追忆似水年华”、“普鲁斯特”、“红与黑”研究都可以归为为“文学翻译”范畴,有16篇之多,其次,还有翻译批评、翻译学科、翻译史等。
提高众筹门槛,完善对于受捐人的审查机制。加强对项目的审查,只有项目通过审查后方可在平台公开筹款。平台应仔细审查受捐人的家庭情况、医保情况以及病情是否与筹款额度符合等。对于无资产或资产与市场行情不符者需给出理由并提供相应证据,平台可适当延长审核时间,保证信息的真实性。平台可将求助者个人的信用等级情况与众筹门槛相结合,与银行、房产、工商、公安、医疗、居委会等机构建立联合关系,搭建多部门信息核查平台,全面了解发起人自身的信誉状况以及项目本身的相关信息,从而保证项目的真实性。
则称λ为张量A的特征值,x为对应于λ的特征向量,其中Axm-1为n维向量,其中第i个分量为
且
她似笑非笑,眼神在那两人身上疾速刮过。很轻,但足以刮掉一层皮。网友说,这段,实力展现了殷桃演技的条理感。
张量A的特征值集合记为σ(A),ρ(A)=sup{|λ|:λ∈σ(A)}为张量A的谱半径.
3 张量广义乘积
2013年邵嘉裕在文[12]中给出张量的乘积定义.
定义2[12] 对于两个张量A=(ai1i2…im)∈Cn×n×…×n,B=(bi1i2…ik)∈Cn×n×…×n,分别为m≥2阶和k≥1阶n维张量,A与B的乘积C=A·B也写作C=AB是(m-1)(k-1)+1阶张量,其中
(2)
(2)AT为A的共轭专置,AT的元素为(AT)i1…iSk1…kN=ai1-iSk1…kN.
其中Axm-1满足定义1所述.
(1)A*为A的共轭专置,A*的元素为
(1)左分配律:(A1+A2)B=A1B+A2B,其中A1和A2具有相同的阶数.
(2)右分配律:A(B1+B2)=AB1+AB2,其中A为矩阵.
物料:LNG;工艺:气化站;用气量:1000 m3/h;场地规格:12 m×2 m×2 m;LNG槽车卸车压力:0.6 MPa;LNG储罐设计压力:0.88 MPa,最高工作压力:0.8 MPa;BOG、逃逸气体(escape air gas,以下简称EAG)处理系统:设计压力1.92 MPa,最高工作压力1.2 MPa;LNG温度:-162℃;气化后温度:-20~60℃[3-4]。
(4)数乘结合律:A(λB)=λm-1(AB),(λ∈C),
定义3[13] 张量广义乘积下的{1}逆
令若存在张量使得,对所有的y∈Cn
成立,其中s=(t-1)(k-1),则称X为张量A的一个k阶{1}-逆,记为A(1)k,记张量A所有k阶{1}-逆的集合为A{1}k.
定理1[13] 令若A(1)k存在且方程
A·x=b
可解,则为方程的一个解,其中x∈Cn,s=(t-1)(k-1).
定理2 [13] 令为非奇异张量,下列命题成立
(1)张量X为A的一个k阶{1}-逆当且仅当存在Z-O张量满足A·X=I+O.
(2)张量X为A的一个k阶{1}-逆,则X为非奇异张量.
(3)A(1)k存在当且仅当非奇异矩阵P满足A=(1+O)·P且A((1)2=P-1.
定理3[13] 令为非奇异张量,则A(l)k存在当且仅当A(l)2存在,其中k≥3.
4 张量爱因斯坦乘积
爱因斯坦在广义相对论的研究中定义了张量的一种乘积运算,称为张量的爱因斯坦乘积.
定义4[14] 对于两个张量A∈CI1×…×IS×K1×…×KN,B∈CK1×…×KN×J1×…×JM,张量爱因斯坦乘积A*NB为一个S+M阶I1×…×IS×J1×…×JM维张量,其元素为:
3.2 审评要点 COU是生物标志物资格认定中最重要的审评内容,也是生物标志物区别于其他药物研发工具的特点。它包括一个涵盖生物标志物名称、身份和在药物研发过程中使用目的的 “使用声明 (use statement)”,以及如何在特定环境中使用生物标志物的全面描述即 “合格使用的条件(conditions for qualified use)”[8]。 提供所需的数据以支持特定COU是申请人的义务。申请人在与FDA沟通的早期就应尽可能全面清楚地阐明COU,并在随后的资格认定程序中不断完善。
(3)
注:张量的爱因斯坦乘积满足结合律和分配律.
本文的仿真实验中SN=50,问题维度分别采用了D=30、100,蜜源更新限制阈值limit=SN×D,函数的最大评估次数MAX_FES=5000×D。 accept值表示每个函数每次运行结束后所能接受的值,若运行结束后的最优值小于该值,则表示运行成功。SR%表示函数运行的成功率,即运行结束后的最优值小于accept值的次数,除以总运行次数所得到的值,该值可评价算法的鲁棒性。AVEN表示各个函数达到accept值所消耗的平均函数评估次数,该值可评估函数的收敛速度,值越小表明收敛速度越快。若全部运行次数均未达到accept值则视为NA。
定义5[13] 令A∈CI1×…×IN×I1×…×IN,若存在张量X∈CI1×…×IN×I1×…×IN满足
如今国家越来越重视对学生的教育,除了学习内容传授外,对于学生综合素质的培养,也成为目前中小学教育的重点之一。在小学阶段,除了德育课堂可以对学生素质进行培养,在语文课堂教学中也可以融入核心素质的培养,通过一系列的课堂教学手段和精神渗透,来实现学生的素质教育。
A*N X=X*NA=E
那么A可逆,且X称为A的逆,写作A-1.
下面给出(3)式中B是一些特殊张量时的爱因斯坦积.当B∈CK1×…×KN时,A与B的爱因斯坦积*N是一个N阶I1×…×IS维张量,其元素为
张量A∈CI1×…×IS和向量b=(bi)∈CIN的爱因斯坦乘积即为张量第N阶上的N-模乘积A*Nb,是一个N-1阶,I1×…×IN-1维张量,其元素为
对于张量A=(ai1…iSk1…kN)∈CI1×…×IS×K1×…×KN则有以下结论[13]:
张量乘积具有以下性质[12]
例1 当k=1时,B=x∈Cn是n维列向量,且(m-1)(k-1)+1=1,则有
为A的Frobenius范数.
(4)除对角元(D)i1…iSi1…iS(1≤ij≤Ij,j≤1,2,…,S)外,其他元素都为零的张量为E-对角张量,记为D∈CI1…ISI1…IS.
定义6[13] 对于任意一个张量A,A∈CI1×…×IN×K1×…KM,它的逆可能不存在,若存在唯一一个X∈CK1×…×KM×I1×…IN,满足
(1) A*NX*NA=A
(2) X*NA*NX=X
由设备参数知产热量为629 kW,由图6(b)热力延时曲线得到全年的满负荷运行时间为3772 h,由于分布式供能系统提供的热水,无法替代用于消毒的这部分热负荷,因此系统全年的满负荷运行时间缩短,但考虑到以上因素在系统中可设置合理容量的蓄热水箱以平衡热负荷,使系统的运行时间得到延长。
(3)(A*N X)*=A*NX
(4) (X*NA)*=X*NA
则X被称为A的Moorre-Pensore逆,写作A+.
定义7 [13] 称满足上述方程(i),(i=1,2,3,4)的张量X的为爱因斯坦乘积下的A{i}-逆,记为A(i).
Axm-1=λx[m-1]
定理4[13] 张量A∈CI1×…×IN×K1…×KN的M-P逆存在且唯一.
定理5 [13] 令A∈CI1×…×IN×K1×…×KN,则
2005年祁力群教授[10]和Lck-Heng Ling教授[11]分别提出了张量特征值的概念.
(2) (A+)*=(A*)+
(3) (kA)+=k+A+,k∈C
(4)
其中P和Q为正交张量
碾压工序完成后立即采用一布一膜覆盖方式进行养生,并配备喷雾式洒水车洒水,养生期为7d,在养生期间禁止车辆通行。
且(E-A*NA+)*NA=0
(3)结合律:A(BC)=(AB)C,A,B和C均为n维张量.
(7)若A=diag(a1,…,an)∈CI1×…×INK1×…×KN,则若A的对角元均非零,则A+=A-1.
定理6[13] 令张量A∈CI1×…×IN×K1×…×KN,则
A=U*NB*NV*
其中U∈CI1×…×IN×I1×…×IN和V∈CK1×…×KN×K1×…×KN为正交张量,B∈CI1×…×IN×K1×…×KN满足当(i1,…,iN)≠(j1,…,jN)时(B)i1×…×iN×k1×…×kN=0.
5 张量的直积
2013年同济大学邵嘉裕教授给出了张量直积的定义.
诚然,监狱和镣铐确实不是对思想的反驳。 那么什么东西可以反驳思想呢?可以用思想反驳思想,可以用理论反驳理论(尽管对理论的最好反驳是事实)。 什么东西可以反驳“瘙痒”的思想呢?很显然,已经被“瘙痒”打碎的理论无力承担这份责任。 我们知道,陀思妥耶夫斯基的“瘙痒”常被称为极端个人主义(ultra- individualism),也可以称为个性自由(freedom of personality)的辩护。 罗扎诺夫想出来的对付“瘙痒”的方法,是另一种形式的“瘙痒”。 正是多种“瘙痒”的并存,肯定了自由的无限可能性。 他说:
定义8[12] 对于两个张量A∈CI1×…×IK,B∈CI1×…×JK,张量直积的定义为
A⊗B(i1,j1)(i2,j2)…(ik,jk)=ai1i2…ikbj1j2…jk.
随着互联网技术的迅猛发展,在实现以资源共享为目的的表现过程中,精品资源共享课程已成为优质教学资源的载体。
根据该定义,很容易得到以下定理及应用.
定理7[12] 直积的运算律
污水生态处理技术以土地处理系统作为基础,是污水土地处理系统的进一步发展,它利用土壤基质的净化作用,同时在处理废水过程中要特别注意植物—微生物的共存体系,处理环境和基质的相互关系,以及对生态因子的优化和调控作用。植物的根系可以为土壤中的微生物提供栖息的环境并且可以吸收、利用和吸附富集的重金属等有害物质。因此在高盐度环境中盐生植物和耐盐微生物共存体对实际应用以及理论研究都具有极其重要的意义和广阔的应用前景。
分配律: (A1+A2)⊗B=A1⊗B+A2⊗B.
祭孔活动在校长李贵青气势浩荡的祭文中拉开帷幕。“童蒙之学,始于衣冠,先正衣冠,后明事理”,在主持人“正衣冠”的指令中,中和学子对自身的衣着进行了仔细的整理,寓意要养成知书达理的好作风。
交换律:A⊗(B1+B2)=A⊗B1+A⊗B2.
结合律: (λA)⊗B=A⊗(λB)=λ(A⊗B)(λ∈C).
定理8[12] 设张量A,C∈CI1×…×IN,B,D∈CJ1×…×JK,则有
(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD).
参 考 文 献
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