集合中元素的个数论文1000字

集合中元素的个数论文1000字

集合中每一个对象称为集合的元素，元素就是集合中的所有研究对象，也就是组成集合的所有对象，|A|表示的是集合A中元素的个数，有的书上也用card(A)来表示集合A中元素的个数。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。扩展资料：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。对于幂集有定理如下：有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂。

集合中每一个对象称为集合的元素元素就是集合中的所有研究对象，也就是组成集合的所有对象|a|表示的是集合a中元素的个数，有的书上也用card(a)来表示集合a中元素的个数，但是一般在研究集合中元素个数的时候都是针对有限集来说的

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素 [1-2] [3] 。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A，B，S，T，表示集合，而用小写字母如a，b，x，y，表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S [2] 。基数集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集 [4] 。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集 [4] 。表示假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数 [4] 。地位编辑集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。 [5] 特性编辑确定性给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现 [6] 。互异性一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次 [6] 。无序性一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序 [6] 。分类编辑空集有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x²+1=0} ，称之为空集，记为∅。空集是个特殊的集合，它有2个特点：空集∅是任意一个非空集合的真子集。空集是任何一个集合的子集 [4] 。子集设S，T是两个集合，如果S的所有元素都属于T ，即 则称S是T的子集，记为 。显然，对任何集合S ，都有 。 [3] 其中，符号 读作包含于，表示该符号左边的集合中的元素全部是该符号右边集合的元素。如果S是T的一个子集，即 ，但在T中存在一个元素x不属于S ，即 ，则称S是T的一个真子集。 [5] 交并集图1 交集与并集图1 交集与并集交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}， 如图1所示。注意交集越交越少。若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A [5] 。并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}，如图1所示。注意并集越并越多，这与交集的情况正相反 [5] 。补集补集又可分为相对补集和绝对补集。相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A/B，即A-B={x|x∈A，且x∉B} [5] 。绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或∁u（A）或~A。有U'=Φ；Φ'=U [5] 。幂集设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。对于幂集有定理如下：有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂 [5] 。区间数学分析中，最常遇到的实数集的子集是区间。 [5] 设a，b(a

基础较差的学生在解数学题时往往容易出错，做错的原因不外乎两种：一是对概念的理解不透彻、不熟练；二是粗心大意而我们教师都很注重对前一种出错的预防，却对后一种出错讲得少如何才能帮助学生预防粗心大意而导致的错误呢？　　　　一、活用动词、引起注意、预防出错　　　　在课堂上适当活用动词，增加感情色彩，可以增加学生记忆，预防出错例如在讲授用配方法解一元二次方程时，对于方程x2+6x+7=0，首先要把常数项移到右边我在上课时这样讲解：我们把含x的项留在左边，把不含x的项“赶到”等式的右边学生听到“赶到”两字很新鲜，忍不住笑起来这样一来学生在笑中学到了知识，牢固掌握了配方法再例如在讲解补集的概念时，　　不管我如何讲解都有部分学生不能理解，求不出补集后来我换了另一种方式讲解：在图1中，集合A的图1补集就是把集合A从全集U中“挖”出来后剩下的部分这个“挖”字既形象，又生动，从而使学生牢固掌握了补集的概念　　　　二、抓关键词、理清概念、预防出错　　　　在数学概念的教学中，如能抓住概念中的关键词，可以起到事半功倍的效果例如在函数的教学中，讲完映射概念后，可给出这样一道题：　　给出下列四个对应：　　　　其中是映射的序号是（）　　　　学生看到题目十分茫然，只有部分学生选了（4），其他三个不知如何判断按道理，刚讲完映射的概念，马上做这题应该不会出现这种情况于是我要求学生再看一次概念，注意抓住两个关键词：“任意”“唯一”（映射概念是：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射）“任意”就是在集合A中任何一个元素，随意找一个元素，在集合B中都有“唯一”的，有且只有一个元素，只能是一个元素与之对应题目(2)中的集合A内的2，4没有对应，不符合“任意”;(3)中集合B有3，4与1对应，不符合“唯一”；而（1）（4）符合两个关键词，因此选（1）（4）后来我用同样的方法讲解函数的概念（函数概念是：设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数），同样是抓住关键词“任意”、“唯一”并让学生做下列练习：　　下列图形中表示函数图象的是（）　　　　学生充分抓住关键词“任意”、“唯一”，从而都能准确地选中D　　三、引用幽默、加深记忆、预防出错　在课堂上适当引用幽默、有趣的比喻可以增强学生的记忆，预防出错例如在讲解移项变号这个知识点时，不管如何强调移项要变号，但在解题时都有相当多的学生移项忘记变号后来我打了一个比喻：把等号两边比喻成男女厕所，“+”号比喻成男人，“-”号比喻成女人；“+”号移到另一边，就像男人进女厕所，必需变成女人才能入厕，即“+”必需变成“-”才能到另一边同理“-”号移到另一边，就像女人进男厕所，必需变成男人才能入厕，即“-”必需变成“+”才能到另一边把“移项变号”问题类比为“男女厕所”问题，学生一听就哈哈大笑这一笑，便记忆深刻（每当移项时仍笑声依旧），这一笑，就掌握了移项法则和要领虽然这个比喻不怎么恰当，但却事半功倍　　四、巧用括号、理清头绪、预防出错　　在数学教学中，在不改变数学概念和数学公式本质的前提下，适当添加括号，可以使学生减少出错的几率，也可以起到预防出错的作用例如一元二次方程的求根公式：x=-b±b2-4ac2a，在解方程6x2-13x-5=0时，运用求根公式求解，把a=6，b=-13，c=-5代入公式，学生经常算得：　　x=-13±(-13)2-4×6×(-5)2　　（正确的应是：　　x=-（-13）±(-13)2-4×6×(-5)2），因此我把公式添加括号变形为　　x=-（b）±b2-4ac2a，这样一来有力地预防了错误的出现又如我发现很多学生在解方程　　2x-66-5x+18=1时，去分母后出现　　4×2 x - 6 - 3×5 x + 1=24的错误，为了有效地防止学生再出现这种现象，我想出了一个有效的解决办法，就是去分母时要求学生必须先把分子加上括号后，即　　(2x-6)6-(5x+1)8=1　　，再去分母，即4(2x - 6)- 3(5x + 1)=再例如在讲解整式的乘法时有这样一道题：运用乘法公式计算　　(x+2)2-(x-2)2时，学生做题过程是　　(x+2)2-(x-2)2=x2+4x+4-x2-4x+4=8　　，出错的原因往往是忘记(x-2)2运用乘法公式展开后，因前面是“-”号，还应加括号即　　(x+2)2-(x-2)2=x2+4x+4-(x2-4x+4)为了有效防止类似情况发生，我要求学生做这类题时先用中括号把(x-2)2括起来即(x+2)2-［(x-2)2］，然后再运算(x+2)2-［(x-2)2］=x2+4x+4-(x2-4x+4)经过这样的要求后，学生几乎再也没有出现类似的错误 　　总之，在数学教学中如果能适当活用“动词”、抓“关键词”、引用 “幽默”和巧用 “括号”，对预防学生解题出错能起到事半功倍的效果

集合中元素的个数论文

关于集合运算的应用收稿日期:2008-01-08作者简介:邓凤茹(1969-)，讲师，河北廊坊人，从事基础教育教学工作。1　简介集合论的运算集合论是最近发现的数学理论，在1871年集合论的创始人德国大数学家康托尔给出集合的第一定义，使“集合”成为数学基本概念之一，它也是整个数学大厦的基础，虽然集合论很“年轻”，但是它能够论证数学各个分支的统一性，例如代数式和几何式效果是相等的。下面简单介绍集合的概念和运算。1　集合的概念集合是指具有某种特定性质的事物的总体。组成这个集合的事物称为集合的元素;根据集合元素的个数集合分为有限集和无限集，同一性质的集合可以定义运算，集合的运算有三种:并、交、差。2　集合的运算设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集，简称并(或和)，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}　　由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，简称交(或积)，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}　　由所有既属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集，简称差，记作A-B，即A-B={x|x∈A且x|B}　　以上定义可推广到无限多个集合的运算2　在概率统计学中的应用1)概率的定义设(Ω，F)是可测空间，对每一个集合A∈F，有一实数与之对应，记为P(A)，如果它满足下面三个条件:(1)对每一个集合A∈F，有0≤P(A)≤1;(2)对必然事件Ω，有P(Ω)=1;(3)对任意集合Ai∈F(i=1，2，…n)，Ai∩Aj=Φ(i≠j)，恒有P(∪ni=1A i)=6ni=1p(A i)(1)　　则称实值函数P为(Ω，F)上的概率，P(A)就称为事件A的概率2)当A i∩A j≠Φ(i≠j)，(i，j=1，2…，n)时，公式一变成一般式即P(∪ni=1A i)=6ni=1p(A i)-6ni=16j>iP(A i∩A j)+6ni=16j>i6k>jP(A i∩A j∩A k)-…+(-1)n-1P(A 1∩A 2∩…∩A n)(2)由De Morgan定理(对偶律或摩根律)可得下述概率公式:P(∩ni=1A i)=P(∪ni=1A i)=P(Ω-∪ni=1A i)即P(∩ni=1A i)=1-[6ni=1p(A i)-6ni=16j>iP(A i∩A j)+6ni=16j>i6k>jP(A i∩A j∩A k)-…+(-1)n-1P(A 1∩A 2∩…∩A n)](3)注意:三个公式的适用条件当n=2时，为最简单的形式即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)　　当A∩B=Φ时，P(A∪B)=P(A)+P(B)(可加性)3　在组合数学中的应用1)集合中元素个数:设A为有限集合，A中元素个数为r，则称r为A的元素个数，记作:|A|=r2)推导一般公式|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|(当A∩B=Φ时，|A∪B|=|A|+|B|)|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-[|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|]+|A∩B∩C|推广到一般形式:∪ni=1A i=6ni=1|A i|-6ni=16j>i|A i∩A j|+6ni=16j>i6k>j|A i∩A j∩A k|-…+(-1)n-1|A 1∩A2∩…∩An|(4)由De Morgan定理(对偶律或摩根律)可得下述公式∩ni=1A i=∪ni=1A i=I-∪ni=1A i(I为全集，|I|=m)即∩ni=1A i=m-6ni=1|A i|-6ni=16j>i|A i∩A j|+6ni=16j>i6k>j|A i∩A j∩A k|-…+(-1)n-1|A 1∩A 2∩…∩A n|(5)公式(4)与公式(5)就是容斥原理3)推广容斥原理(1)|A∩B|=|A-(A∩B)|=|A|-|A∩B|同理|B∩A|=|B-(A∩B)|=|B|-|A∩B|即|A∩B|+|B∩A|=|A|+|B|-2|A∩B|(2)|A∩B∩C|=|A∩(B∪C)|=|A∩[I-(B∩C)]|=|A-[(A∩B)U(A∩C)]|=|A|-(|A∩B|+|A∩C|)+|A∩B∩C|同理可得:|A∩B∩C|=|B|-(|A∩B|+|B∩C|)+|A∩B∩C||A∩B∩C|=|C|-(|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|即|A∩B∩C|+|A∩B∩C|+|A∩B∩C|=|A|+|B|+|C|-2(|A∩C|+|B∩C|+|B∩C|)+3|A∩B∩C|(3)推广到一般情况|A 1∩A 2∩A 3∩…∩A n|+|A 1∩A 2∩A 3∩…∩A n|+…|A1∩A2∩A3∩…∩An|=6ni=1|A i|-26ni=16j>i|A i∩A j|+3 6ni=16j>i6k>j|A i∩A j∩A k|-…+n|A 1∩A 2∩…∩A n|令α(m)=6|Ai1∩Ai2∩…∩Aim|，β(1)=6|A i1∩Ai2∩…∩Ain|则上式可表示为:β(1)=C11α(1)-C11+1α(2)+C21+2α(3)-…+C1nα(n)同理可推广:β(m)=Cmmα(m)-Cmm+1α(m+1)+Cmm+2α(m+2)-…+(-1)n-m Cmnα(n)(6)公式(6)为广义的容斥原理(证明略)4　应用案例一个学校只有3门课程:数学，物理，化学。已知修这三门课的学生分别有170，130，120人;同时修数学、物理两门课的学生有45人;同时修数学、化学两门课的学生有20人;同时修物理、化学两门课的学生有22人;同时修三门课的学生有3人。问在该校众人抽一名，问他是只参加数学课程的概率是多少?解:设A为修数学课的学生集合;B为修数学课的学生集合;C为修数学课的学生集合;则有:|A|=170;|B|=130;|C|=120;|A∩B|=45;|A∩C|=20;|C∩B|=22|A∩B∩C|=3学校共有学生人数:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-[|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|]+|A∩B∩C|=170+130+120-(45+20+22)+3=336(人)只参加数学课程的人数:|A∩B∩C|=|A|-(|A∩B|+|A∩C|)+|A∩B∩C|=170-(45+20)+3=108则在该校众人抽一名，只参加数学课程的概率为:P(A∩B∩C)=|A∩B∩C||A∪B∪C|=108336≈3214(下转第39页)(上接第32页)5　结　语通过对集合运算在《概率统计》与《组合数学》两门课程中应用的讨论，我们可以归纳为函数式的应用问题，如果把求概率和求集合中元素的个数抽象成为函数，把对应法则统一看作f，x，y为变量，“+”表示“加”或“或”的含义“;3”表示“乘”或“与”，“x”表示“差”或“非”，则该函数满足下列性质:(1)f(x+y)=f(x)+f(y)-f(x y)(2)将上式推广到有限个元素中去为:f(6ni=1x i)=6ni=1f(x i)-6ni=16j>if(x i x j)+6ni=16j>i6k>if(x i x j x k)-…+(-1)n-1 f(x 1 x 2…x n)(3)由De Morgan定理可知下述等式(A常数)f(6ni=1x i)=A-[6ni=1f(x i)-6ni=16j>if(x i x j)+6ni=16j>i6k>if(x i x j x k)-…+(-1)n-1 f(x 1 x 2…x n)]注“:3”号可以省略不写，“∏”表示连乘号以上等式还可以推广到无穷多个变量的函数等式中去，并且该函数也可以应用于其它领域当中。参考文献:[1]卢开澄组合数学[M]北京:清华大学出版社，[2]梁之舜概率论及数理统计[M]北京:高等教育出版社，[3]同济大学应用数学系高等数学[M]北京:高等教育出版社，

集合中每一个对象称为集合的元素，元素就是集合中的所有研究对象，也就是组成集合的所有对象，|A|表示的是集合A中元素的个数，有的书上也用card(A)来表示集合A中元素的个数。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。扩展资料：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。对于幂集有定理如下：有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂。

集合中每一个对象称为集合的元素元素就是集合中的所有研究对象，也就是组成集合的所有对象|A|表示的是集合A中元素的个数，有的书上也用card(A)来表示集合A中元素的个数，但是一般在研究集合中元素个数的时候都是针对有限集来说的

关于元素的论文1000字

所谓微量元素，在环境地球化学中，是指仅占地球组成部分的01%的60余种元素，它们的含量一般在1×10-8～1×10-88之间。在医学领域，从人体的结构来看，占人体总重量万分之一以下者即为微量元素。 微量元素在人体内含量甚微，总量不足体重的万分之五。如铁、锌、铜、锰、铬、硒、钒、碘等。随着科学的进展，人们的认识不断扩大，这些微量元素的数目还会增加。 人体需要的元素都要通过食物与饮水来供应，但是，无论是宏量无素或微量元素，决非韩信带兵那样“多多益善”。也就是说，必须严格地控制在某一水平，多了或少了都会有不良后果，甚至会引起疾病。 对每一种必需元素人体都有对应的酶来“管制”它，使元素按人体需要控制在一定浓度。如果人体某一元素少了，酶就对摄人某元素化合物进行加工，合成人体所需的某元素化会物；反之，如果摄入某元素过量，酶就会把它“驱逐出境”，以保证它在一定浓度范围内。酶的这一工作保证元素的代谢和平衡。 由于酶在体内含量极微，所以人体调节元素代谢和平衡能力是有限的。这就要求人们应科学地摄人必需元素量，既不可太多，又不可太少，就是对宏量元素也是如此。例如人体摄入糖、脂肪等碳、氢、氧组成的化合物过量，也会得肥胖症、心血管病等；对微量元素同样如此，例如铁是微量元素，是红血球主要成分，缺少它，人体血红蛋白不易合成，导致贫血，但一旦多了，也会得多铁症，严重者会“铁中毒”死亡。 这里必须指出的是，有人对有毒无素和微量元素作用混淆不清，误称有毒无素为微量元素这是错误！同时，不可把微量元素称为有毒或有害元素。下面举二例来说明： 硒是微量元素，人体非它不可，它在人体内有抗细胞老化、抗癌等重要功能，如果缺硒就会导致心肌病变、贫血等疾病。但是，人体含硒量不可过高，过高也会引起恶心腹泻和神经中毒。如每天硒摄人量超过0001克，人会中毒，直至死亡。又如砷也有类似情况。尽管硒和砷的化合物剧毒，人体需要量极少，但决不可称它们为有毒元素 另外一例是，镉是有害元素，常混入铜矿锌矿等矿物中，在冶炼过程中、进入废渣，再被雨水冲刷进入河( 湖）水，被动植物吸收，造成镉污染，当隔进入人体，会跟人体蛋白质结合成有毒的镉硫蛋白，危害造骨功能，从而造成骨质疏松、骨萎缩变形、全身酸痛等。日本神通河两岸常见的骨痛病，镐是罪魁祸首。1972年世界卫生组织宣称，人体缺乏排镉功能，每日摄入量应为零，即不可摄入镉，因此，不要因为在人体查到残留的微量镉而误称它为微量元素。一句话，镉不可称微量元素。 对微量元素，虽然人体需要很少，但不可忽视摄取，主要是要提倡科学的饮食结构，摄取必需的微量元素，目前我国独生子女多，家庭常对他们过分宠爱，以致偏食，造成某些元素的缺乏，这是必须注意的。由于饮食结构不合理，美国儿童普遍缺铁，而中国儿童不同程度的缺锌。据上海有关部门统计，有75%儿童不同程度的缺锌，这是发人深省的数字啊！因此，我们要提倡“样祥吃，身体好”，同时还应多吃些粗粮、杂粮等。此外，要告诫孩子们不可偏食，更不可造成某些营养物过剩，保持营养平衡。 微量元素在人体中的主要功能是： 1�运载常量元素，把大量元素带到各组织中去。 2�充当生物体内各种酶的活性中心，促进新陈代谢。酶在生物体内是许多化学反应必不可少的催化剂，而许多微量元素却是酶的组成部分或激活剂。例如锌与200多种酶的活性或结构有关。 3�参与体内各种激素的作用。如锌可以促进性激素的功能，铬可促进胰岛的作用等。 铁。铁在人体中含量约为4—5克。铁在人体中的功能主要是参与血红蛋白的形成而促进造血。在血红蛋白中的含量约为72%。铁元素在菠菜、瘦肉、蛋黄、动物肝脏中含量较高。 铜。正常成人体内含铜100—200毫克。其主要功能是参与造血过程；增强抗病能力；参与色素的形成。铜在动物肝脏、肾、鱼、虾、蛤蜊中含量较高；果汁、红糖中也有一定含量。 锌。对人体多种生理功能起着重要作用。参与多种酶的合成；加速生长发育；增强创伤组织再生能力；增强抵抗力；促进性机能。锌在鱼类、肉类、动物肝肾中含量较高。 氟。是骨骼和牙齿的正常成分。可预防龋齿，防止老年人的骨质疏松。含氟量较多的食物有粮食(小麦、黑麦粉)、水果、茶叶、肉、青菜、西红柿、土豆、鲤鱼、牛肉等。 硒。成年人每天约需4毫克。硒具有抗氧化，保护红细胞的功用，并发现有预防癌症的作用。硒在小麦、玉米、大白菜、南瓜、大蒜和海产品中含量较丰富。 碘。通过甲状腺素发挥生理作用，如促进蛋白质合成；活化100多种酶；调节能量转换；加速生长发育；维持中枢神经系统结构。碘海带、紫菜、海鱼、海盐等中含量丰富。 微量元素与人类健康有密切关系。它们的摄入过量、不足、或缺乏都会不同程度地引起人体生理的异常或发生疾病。微量元素最突出的作用是与生命活力密切相关，仅仅像火柴头那样大小或更少的量就能发挥巨大的生理作用。值得注意的是这些微量元素必须直接或间接由土壤供给。根据科学研究，到目前为止，已被确认与人体健康和生命有关的必需微量元素有18种，即有铁、铜、锌、钴、锰、铬、硒、碘、镍、氟、钼、钒、锡、硅、锶、硼、铷、砷等。这每种微量元素都有其特殊的生理功能。尽管它们在人体内含量极小，但它们对维持人体中的一些决定性的新陈代谢却是十分必要的。一旦缺少了这些必需的微量元素，人体就会出现疾病，甚至危及生命。国外曾有报道：机体内含铁、铜、锌总量减少，均可减弱免疫机制(抵抗疾病力量)，降低抗病能力，助长细菌感染，而且感染后的死亡率亦较高。微量元素在抗病、防癌、延年益寿等方面都还起着不可忽视的作用。

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第一次回答可获2分，答案被采纳可获得悬所谓微量元素是针对宏量元素而言的。人体内的宏量元素又称为主要元素，共有11种，按需要量多少的顺序排列为：氧、碳、氢、氮、钙、磷、钾、硫、钠、氯、镁。其中氧、碳、氢、氮占人体质量的95%，其余约4%，此外，微量元素约占1%。在生命必需的元素中，金属元素共有14种，其中钾、钠、钙、镁的含量占人体内金属元素总量的99％以上，其余10种元素的含量很少。习惯上把含量高于01%的元素，称为常量元素，低于此值的元素，称为微量元素。人体若缺乏某种主要元素，会引起人体机能失调，但这种情况很少发生，一般的饮食含有绰绰有余的宏量元素。微量元素虽然在体内含量很少，但它们在生命过程中的作用不可低估。没有这些必需的微量元素，酶的活性就会降低或完全丧失，激素、蛋白质、维生素的合成和代谢也就会发生障碍，人类生命过程就难以继续进行。 另有两种可能必须的微量元素，为镍和砷，体内含量各为1ug/g。 目前，对于某些微量元素的功能尚不完全清楚，下面只作一简要介绍。 铁 铁是血液中交换和输送氧所必需的一种元素，生物体内许多氧化还原体系都离不开它。体内大部分铁分布在特殊的血细胞内。没有铁生物就无法生存。 锌 锌是一种与生命攸关的元素，它在生命活动过程中起着转换物质和交流能量的“生命齿轮”作用。它是构成多种蛋白质所必需的。眼球的视觉部位含锌量高达4%，可见它具有某种特殊功能。锌普遍存在于食物中，只要不偏食，人体一般不会缺锌。 铜 铜元素对于人体也至关重要，它是生物系统中一种独特而极为有效的催化剂。铜是30多种酶的活性成分，对人体的新陈代谢起着重要的调节作用。据报道，冠心病与缺铜有关。铜在人体内不易保留，需经常摄入和补充。茶叶中含有微量铜，所以常喝茶是有益的。 铬 在由胰岛素参与的糖或脂肪的代谢过程中，铬是必不可少的一种元素，也是维持正常胆固醇所必需的元素。 钴 钴是维生素B12分子的一个必要组分，B12是形成红细胞所必需的成分。 锰 锰参与许多酶催化反应，是一切生物离不开的。 钼 钼是某种酶的一个组分，这种酶能催化嘌呤转化为尿酸。钼也是能量交换过程所必需的。微量钼是眼色素的构成成分。在豆荚、卷心菜、大白菜中含钼较多。多吃这些蔬菜对眼睛有益。 碘 碘在体内的主要功能是参与合成甲状腺素。缺碘会导致甲状腺机能亢进，儿童缺碘会造成智力低下。 氟 氟是形成坚硬骨骼和预防龋齿所必需的一种微量元素。 人类生存的一个必要条件是需要呼吸，这样体内必须要有某些能与氧气或二氧化碳相结合的物质，以便输送氧气和排泄二氧比碳。这些物质是以铁为骨干的化合物。 高等动物都有一套复杂的系统，来接受生存环境带给它的信息，并通过神经把这些信息传输给生命的总指挥——大脑，然后大脑才能发出各种指令，指示体内的各个职能部门作出相应的反应。在这套传输和指挥系统中，金属同样起着关键的作用。 金属对于传宗接代也有很大的贡献。细胞之所以只能复制出和它相同的下一代细胞，就是因为每种细胞内都含有一种能传递遗传信息的核酸，它能指示各种氨基酸按规定的次序连接起来，形成规定的蛋白质，这个按遗传密码合成下一代蛋白质的过程是受某些金属控制的。 因此，人们愈来愈多地认为，人类的生存和发展绝对离不开这些必要的微量元素的吸收、传输、分布和利用。在人体内，微量元素的含量虽然远不如糖、脂肪和蛋白质那样多，但是它们的作用却一点也不亚于糖、脂肪和蛋白质。另外，科学家还通过研究认识到，利用这些微量元素绝对不是很简单的事情，并不像我们吃进米饭、馒头、鱼肉、蔬菜和水果那样的简单。例如，有人曾经设想，维生素B12分子结构的中心是一个钴离子，也就是说维生素B12是钴的化合物，那么，如果缺乏维生素B12，就应该多吃一点钴盐。但是事实却并非如此简单，吃了简单的钴盐，不但对治疗缺乏维生素B12的症状无效，反而略有毒性，只有服用维生素B12才真正有效。看来，利用微量元素还有很大的学问

合金元素在马氏体中的扩散系数

余永宁的《金属学原理》有一部分 看看有没有对你有用的

@楼:余永宁的《金属学原理》有一部分 看看有没有对你有用的 我刚才看了一下，我想查的是Ni元素，可是上面没有，还是谢谢你啦。请问还知道别的书或是文献上可能会有Ni元素在马我体中的扩散系数的吗?

@2楼:余永宁的《金属学原理》有一部分 看看有没有对你有用的 每两种金属元素的互扩散系数能不能查到，还是只能计算?

马氏体相变与马氏体
徐祖耀编
里面应该有

beefly个人文集用Gaussian计算超重元素

beefly出手，必是精品啊。

人家明明是beefly，你给改成了beerfly
beefly（蜜蜂飞）
beerfly（啤酒飞）
bee专家在你眼里成酒鬼啦
PS：不知bee专家酒量如何?

[ Last edited by yjcmwgk on 2011-1-8 at ... 蜜蜂飞也不准确。应该是“像牛肉一般地”

一只小蜜蜂啊，飞在花丛中啊

学习了